专题17 二次函数与一元二次方程、不等式（学生版）-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义

专题17二次函数与一元二次方程、不等式【知识点梳理】知识点一：一元二次不等式的概念一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式．知识点二：二次函数的零点一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点.知识点三：一元二次不等式的解集的概念使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集．知识点四：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.二次函数()的图象有两相异实根有两相等实根无实根知识点诠释：(1)一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；(2)表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；(3)解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集.知识点五：利用不等式解决实际问题的一般步骤(1)选取合适的字母表示题中的未知数；(2)由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；(3)求解所列出的不等式(组)；(4)结合题目的实际意义确定答案．知识点六：一元二次不等式恒成立问题(1)转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.知识点七：简单的分式不等式的解法系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”【题型归纳目录】题型一：解不含参数的一元二次不等式题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇题型三：含有参数的一元二次不等式的解法题型四：一次分式不等式的解法题型五：实际问题中的一元二次不等式问题题型六：不等式的恒成立与有解问题题型七：一元二次方程根的分布问题【典例例题】题型一：解不含参数的一元二次不等式例1．(2023·内蒙古呼伦贝尔·高一校考开学考试)解不等式：(1)；(2).例2．(2023·全国·高一专题练习)求解下列不等式的解集：(1)；(2)；(3)；(4)；(5).例3．(2023·高一课时练习)不等式的解集是___________________.变式1．(2023·高一课时练习)的解集为___________________.变式2．(2023·高一课时练习)不等式的解集为___________________.变式3．(2023·高一课时练习)不等式2x2＋x－15<0的解集为________．题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇例4．(2023·高一课时练习)已知不等式的解集为，则不等式的解集为______．例5．(2023·上海虹口·高一上外附中校考阶段练习)已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集为___．例6．(2023·青海海东·高一校考期中)已知是关于的二次方程的两根，则的大小关系是___________.变式4．(2023·高一课时练习)已知不等式的解集是，，则不等式的解集是____________.变式5．(2023·高一单元测试)若方程有唯一的实数根3，则不等式的解集为______．变式6．(2023·高一课时练习)若一元二次不等式的解集是，则的值是_____.变式7．(2023·高一课时练习)若不等式的解集为或，则的值为________．变式8．(2023·安徽滁州·高一校考开学考试)已知不等式的解集为，则不等式的解集为______．题型三：含有参数的一元二次不等式的解法例7．(2023·高一单元测试)解关于x的不等式.例8．(2023·高一课时练习)已知.(1)当时，解关于x的不等式；(2)当时，解关于x的不等式.例9．(2023·高一课时练习)解关于x的不等式.变式9．(2023·全国·高一专题练习)解下列关于的不等式．变式10．(2023·全国·高一专题练习)解下列关于的不等式．变式11．(2023·全国·高一专题练习)解下列关于的不等式：．题型四：一次分式不等式的解法例10．(2023·全国·高三专题练习)不等式的解集为________.例11．(2023·全国·高一专题练习)不等式的解集为_________．例12．(2023·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习)不等式的解集是___________.变式12．(2023·上海长宁·高三上海市延安中学校考开学考试)不等式的解集是________．变式13．(2023·安徽芜湖·高一芜湖一中校考阶段练习)不等式的解集是________．题型五：实际问题中的一元二次不等式问题例13．(2023·高一课时练习)某商品在最近天内的价格与时间(单位：天)的函数关系是；销售量与时间的函数关系是，则使这种商品日销售金额不小于元的的范围为(

)A． B．C． D．例14．(2023·高一课时练习)某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x(件)与单价P(元)之间的关系为，生产x件所需成本为C(元)，其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是(

)A．20≤x≤30 B．20≤x≤45C．15≤x≤30 D．15≤x≤45例15．(2023·浙江温州·高一校考阶段练习)某种汽车在水泥路面上的刹车距离(单位：)和汽车刹车前的车速(单位：)之间有如下关系：，在一次交通事故中，测得这种车刹车距离大于40，则这辆汽车刹车前的车速至少为(

)(精确到1)A．76 B．77 C．78 D．80变式14．(2023·天津滨海新·高一校考期中)某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是(

)A． B．C． D．变式15．(2023·江苏连云港·高一校考阶段练习)某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的征收木材税，这样每年的木材销售量减少万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则的取值范围是(

)A． B． C． D．题型六：不等式的恒成立与有解问题例16．(2023·全国·高一期末)已知不等式.(1)若不等式的解集是或，求的值；(2)若不等式的解集是，求的取值范围.例17．(2023·浙江杭州·高一杭师大附中校考期末)(1)，求实数a的取值范围;(2)，求实数a的取值范围.例18．(2023·云南楚雄·高一校考阶段练习)设.(1)若，求的解集；(2)若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；(3)解关于x的不等式.变式16．(2023·全国·高一专题练习)已知函数．(1)若，解关于x的不等式(结果用含m式子表示)；(2)若存在实数m，使得当时，不等式恒成立，求负数n的最小值．变式17．(2023·上海虹口·高一上海市复兴高级中学校考阶段练习)已知不等式：①，②，③．(1)分别求出不等式①与②的解集；(2)若同时满足①②的值也满足③，求实数的取值范围．变式18．(2023·四川·高一校考阶段练习)已知不等式﹣2x2+bx+c＞0的解集{x|﹣1＜x＜3}，若对任意﹣1≤x≤0，不等式2x2+bx+c+t≤4恒成立.则t的取值范围是______.变式19．(2023·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中)设，若关于x的不等式对任意的恒成立，则的最大值为_________．变式20．(2023·黑龙江大庆·高一大庆市东风中学校考阶段练习)已知当时,不等式恒成立.求a的取值范围_______(集合形式作答).题型七：一元二次方程根的分布问题例19．(2023·高一课时练习)关于的方程的两根均大于，则实数的取值集合为__________.例20．(2023·内蒙古·高一包钢一中校考阶段练习)关于的方程有一个正根和一个负根的充要条件是__________.例21．(2023·高一课时练习)已知函数的图像如图所示，求不等式的解集．变式21．(2023·湖北武汉·高一校考期中)已知一元二次方程．(1)写出“方程有一个正根和一个负根”的充要条件；(2)写出“方程有一个正根和一个负根”的一个必要而不充分条件，并给予证明．变式22．(2023·上海宝山·高一上海市行知中学校考期中)已知关于的一元二次方程，(1)若，求证：；(2)若时方程有两个不相等的正实数根，求实数的取值范围.【过关测试】一、单选题1．(2023·高一课时练习)关于x的方程至少有一个负根的充要条件是(

)A． B． C．或 D．2．(2023·高一课时练习)关于x的方程的解集不可能是(

)A． B． C． D．3．(2023·浙江·高一校联考期中)已知，则是成立的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．(2023·高一课时练习)若不等式的解集为，则函数的图象与x轴的交点为()A．和 B．C． D．和5．(2023·高一单元测试)若集合，，则(

)A．B．C．RD．或6．(2023·高一课时练习)已知不等式和不等式的解集相同，则实数的值分别为(

)A． B．C． D．7．(2023·高一课时练习)若，则等于(

)A． B．或 C． D．或8．(2023·湖南·高一校联考期中)若“”是“”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是(

)A．或 B．或C．或 D．或二、多选题9．(2023·高一课时练习)有纯农药液一桶，倒出8升后用水加满，然后又倒出4升后再用水加满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的，则桶的容积可能为(

)A．7 B．9 C．11 D．1310．(2023·江西·高一统考阶段练习)设，则函数的图象可能是(

)A． B．C． D．11．(2023·四川南充·高一四川省南充市白塔中学校考期中)已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是(

)A． B．的解集为C． D．的解集为12．(2023·内蒙古赤峰·高一校考阶段练习)下列命题不正确的是(

)A．集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的值为B．若一元二次方程的解集为R，则k的取值范围为C．设集合，，则“”是“”的充分不必要条件D．正实数满足，则三、填空题13．(2023·高一课时练习)当时，关于x的不等式的解集是__________．14．(2023·陕西渭南·高一校考阶段练习)如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为．给出下面四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是__________．15．(2023·辽宁·高一校联考阶段练习)若集合，，则______．16．(2023·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期末)若关于的不等式的解集中只有一个元素，则实数的取值集合为__.四、解答题17．(2023·高一课时练习)已知等式对任意实数m恒成立，求所有满足条件的实数对的集合.18．(2023·湖北宜昌·高一校考阶段练习)求解下列问题：(1)已知都是正数．若，求的最小值．(2)已知不等式的解集为或．求实数的值．19．(2023·高一课时练习)已知，不等式的解集为A，且满足，求实数a的取值范围.20．(2023·高一课时练习)某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为元/个，出厂价为元/个，日销售量为个，为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增