2024北京海淀区高二（下）期末数学试题及答案

2024北京海淀高二（下）期末数学本试卷共6页，共两部分。道题，共100分。考试时长分钟。试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，请将答题卡交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题440分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.(x−A.0B.2.已知函数f(x)5的展开式中，所有二项式的系数和为25C.1D.2sinx6=,则f(0)的值为xD.3.若等比数列n的前n项和Sn2n−1，则公比q=A.0B.1C.−1=1212A.B.−C.2D.24.下列函数中，在区间−1,0上的平均变化率最大的时x1A.y=xB.y=x23C.y=D.y=2x25.将分别写有2,0,2,4的四章卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0数的个数为A.9B.12C.18D.246.小明投篮3次，每次投中的概率为0.8，且每次投篮互不影响，若投中一次的2分，没投中得0分，总得分为X，则()=A.EX()=B.EX()=C.DX()=0.48D.DX0.962.44.87.已知一批产品中，A项指标合格的比例为80%，B项指标合格的比例为90%，AB两项指标都合格的比例为60%，从这批产品中随机抽取一个产品，若A项指标合格，则该产品的B项指标也合格的概率是372356A.B.C.D.348.已知等差数列a的前n项和为S，若a0、则“S有最大值”是“公差d0”的nn1nA.充分而不必要条件C.充分必要条件B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件()=(−)+()()(−)9.设函数fx1xax.若fxf0在上恒成立，则A.a=0B.a1D.a=1C.0a1第1页/共4页()()10.在经济学中，将产品销量为x件时的总收益称为收益函数，记为Rx，相应地把Rx称为边际收益函()=−数，它可以帮助企业决定最优的生产或销售水平.假设一个企业的边际收益函数Rx1000x(注:经济学中涉及的函数有时是离散型函数，但仍将其看成连续函数来分析).给出下列三个结论:①当销量为1000件时，总收益最大;②若销量为800件时，总收益为T，则当销量增加400件时，总收益仍为T;③当销量从500件增加到501件时，总收益改变量的近似值为500.其中正确结论的个数为A.0C.2B.1D.3第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题420分。+2x)的展开式中含x2项的系数为_________.412.某学校组织趣味运动会，一共设置了3个项目（其中只包含13个项目中随机选择2个参加，设李老师选择的2个项目中所含球类项目的数量为X，则X的所有可能取值为()=_________，数学期望EX_________.13.已知数列a1是公比为2的等比数列，若10，则12++=+________.n14.甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机.已知甲乙两人击中无人机的概率分别为0.50.4,且甲乙射击互不影响，则无人机被击中的概率为_________.若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为0.2；若恰好被两人击中，则被击落的概率为0.6，那么无人机被击落的概率为_______n=2−2n=.给出下列四个结论:①当=0时,15.已知数列n的前项和为Sn，满足11当n2时，Sna143=−;=−3时,S2024=2;②当③当④当=4时,nSn2;恒成立a1时，从第三项起为递增数列.n其中所有正确结论的序号为_________.三、解答题共4小题，共40分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。16.（本小题8分）()=(−)x1e−x2.x已知函数fx()(−)（Ⅰ）判断fx在,0上的单调性，并证明；()(+)（Ⅱ）求fx在上的零点个数.第2页/共4页17.（本小题10分）某公司有甲乙两条生产线生产同一种产品，为了解产品的质量情况，对两条生产线生产的产品进行简单随机抽样，经检测得到了A、B的两项质量指标值，记为q,q，定义产品的指标偏差ABQ=q−1+q−2，数据如下表：AB甲生产线抽样产品编号12345678910指标qAqBQ0.982.010.030.961.970.071.071.960.111.022.030.050.992.040.050.931.980.090.921.950.130.961.990.051.112.070.181.022.020.04乙生产线抽样产品编号12345678指标qAqBQ1.022.010.030.972.030.060.952.150.200.941.930.131.132.010.140.982.020.040.972.190.221.012.040.05假设用频率估计概率，且每件产品的质量相互独立.（I）从甲生产线上随机抽取一件产品，估计该产品满足q1且q2的概率；AB（II）从甲乙两条生产线上各随机抽取一件产品，设表示这两件产品中满足Xq2B的产品数，求的X()分布列和数学期望EX;(Ⅲ)已知Q的值越小则该产品质量越好如果甲乙两条生产线各生产一件产品，根据现有数据判断哪条生产线上的产品质量更好？并说明理由.18.（本小题分）x2+axx+b()=已知fxxa=−b=−1时，求曲线yfx=()在点f))处的切线方程;（I）当()()+()=f21（II）已知fx有两个极值点x,x，且满足fx0，求b的值;12()−++)（III）在（II）的条件下，若fxx1在上恒成立，求a的取值范围.第3页/共4页19.（本小题）已知数列A:a,a,满足aa,集合S=a+a1ij100设S中有m个1212ij元素，从小到大排列依次为b,b,12（I）若a=n,，请直接写出m,b,b；n1m（II）若a=2n,，求b；n（III）若iai+()，求j的最小值=jj20.（本小题14分）设函数f(x)=sinx+3cosx0).从下列三个条件中选择两个作为已知，使函数f(x)存在.（Ⅰ）求f(x)的最小正周期及单调递减区间；π（Ⅱ）若对于任意的x[,π]，都有f(x)c，求实数的取值范围c.2π条件①：函数f(x)的图象经过点(−,2)；65ππ条件②：f(x)在区间[−,]上单调递增；1212π条件③：x=是f(x)的一条对称轴.12注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅰ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分析解答，按第一个解答计分.21.（本小题15分）设n为正整数，集合n==t,t,.对于集合n中的任意元素12=(x,x,=(y,y,*=(xy,xy,)，和，定义12121122|=x+x+.，以及12（Ⅰ）若n5，==*=|=4，，，求；（Ⅱ）若n9，k的最大值；=,,(k2)均为中的元素，且A|i=3ik)|*=0ijk)，，求12nij,2,,(k2)n(n|0=0|k=n，|i−2（Ⅲ）若均为中的元素，其中，且满足01(0ik−，求k的最小值.第4页/共4页2024年高二年级学业水平调研数学参考答案2024.07一、选择题（共10小题，每小题440分）（1B（6B2B7C（）C（）C（）B（）D（5A（D二、填空题（共5小题，每小题420分）2（）（）0,1；（）①③④（）nn13（14）；三、解答题（共4小题，共40分）（16共8解f(x)在(,0)上单调递增，证明如下：因为f(x)(xxx2，所以fx)ex(xx2xex2xx(ex，x(,0)又因为所以fx)x(ef(x)在(,0)，从而ex2120，x2)0，所以上单调递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：fx)x(ex，x)因为，f'(x)0x2．令，得f(x)与fx)在区间)上的情况如下：)x(0,2)ln20,f'()f(x)↘极小↗因为f(0)(000210，f(2)(2222e2220，f(x)f(x)在)所以由零点存在定理及（17共10单调性可知，上恰有一个零点．解：（Ⅰ）记A表示“从甲生产线上随机抽取一件产品，该产品满足q1且q2AB3用频率估计概率，则P()．103所以该产品满足q1且q2的概率为.AB10（Ⅱ）由题意，X的所有可能取值为0，1，2.51151571P(X0)P(X2)，P(X，108161081082577.8所以X的分布列为X0121127P1616117118所以X的数学期望为012.16216（Ⅲ）甲生产线上的产品质量更好，0.8010因为甲生产线上Q值的平均值甲0.08，0.87乙生产线上Q值的平均值乙0.1，8所以甲生产线上Q值的平均值明显比乙小，所以甲生产线上的产品质量更好．744+5+5+4+3+5+2+691其它理由：计算甲生产品的Q值小于乙的概率810162（18共分）解a1b1时，f(x)x3lnxf0，，x31所以fx)1，2xxf1.所以yf(x)在点(f)yx1.所以曲线处的切线方程为b（Ⅱ）因为f(x)xaxx)，.xaxbxaxb2所以fx)1.x2x2f(x)x,x，12因为所以有两个极值点f)0有两个大于的变号零点，所以方程x2b0有两个不等正根，2b0a2baxxb0，解得ba00所以.12xxa012又因为f(1)f(x)0，2bbxaxxax0即有，，1122x121x(xx)aln(xx)b20整理得1212xx12代入12,x2a，a1可得(a)ab)b0，解得b1.b2ab又因为a0，所以可得a.2经检验，符合题意.1（Ⅲ）由（Ⅱ）可知b1且a2f(x)xax，从而，x因为f(x)x1在)上恒成立，1令g(x)f(x)x12xax1，x).xg(x)0在)上恒成立，易得g2aln1110，ax12xax12gx)2ga3，x2x2ah(x)2x2ax1，x)，h13a，对称轴x.令4a3413a2h3a0，x，4h(x)在h(x))单调递增，从而(x)3a0恒成立，gx)0在)也恒成立，x2g(x)在)单调递增，从而g(x)g0恒成立.3h3a02a2x210，有两个不等实根x,x（不妨设xx3434h(x)x1x，且当xx)时，(x)0gx)0，344x2g(x)在4]上g(x)g0g(x)0在)上恒成立”矛盾！4a的取值范围是[.（19共分）解m，b31，m.1ijaii12i2i12i2i21i98，1所以b,b,,b依次为12m122242721122122,123,3222,3124,2224,12225,45,16,,56,17所以202527.（Ⅲ）.先证明：j.方法：考虑从a,a,...,a这j个数中任取2个求和，j1j100这些和都不小于aa，j1j因为aaaa2024C24950C22926，ijj1j102j102j因为C277，所以j，即