2024北京通州区高一（下）期末数学试题及答案

2024北京通州高一（下）期末数学2024年7月本试卷共4页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，请将答题卡交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题440分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）复平面内点2)（A）1（B）−2（2）样本数据3，572，10，2的中位数是A−所对应复数的虚部为i（C）（D）−i（A）7（B）6（C）5a⊥b，那么向量b可以是（C）(−（D）2（3）已知向量a（-1,2，（A21）（B）(2−（D）−2)（4）在△ABC中，角,B,C所对的边分别为a,b,c，已知A=,a=b=2，则B=63（A）（B）（C）或（D）或344433（5）已知圆锥的底面半径是1，高为3，则圆锥的侧面积是（A）（B）（C）4（D）2（6）如图，在正方体−ABCD中，则AC与BC所成角为1111111（A）（B）（）（D）6432（7）在下列关于直线、m与平面、的命题中，真命题是（A）若l，且⊥，则l⊥（）若l⊥，且//，则l⊥（C）若//，l，m，则l//m（）若Dl⊥，且⊥，则l//（8）一个口袋内装有大小、形状相同的红色、黄色和绿色小球各2个，不放回地逐个取出2个小球，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有（A）2个小球恰有一个红球（C）2个小球中没有绿球（B）2个小球至多有1个红球（D）2个小球至少有1个红球（9）一个长为22，宽为2的长方形，取这个长方形的四条边的中点依次为A，B，C，D，依次沿，BC，CD，，折叠，使得这个长方形的四个顶点都重合而得到的四面体，称为“萨第1页/共7页1223（A）（B）（C）1D）2（10）达芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，把六片这样的达·芬奇方砖拼成下图的组合，这个组合再转换成几何体，则需要10个正方体叠落而成，若一个小球从图中阴影小正方体出发，等概率向相邻小正方体（具有接触面）移动一步，则经过两步移动后小球又回到阴影小正方体的概率为141357（A）B）C）（D）1212第二部分（非选择题共分）二、填空题共5小题，每小题525分。(−)=（）设复数z满足z1i（iz的模为．（12）从写有数字1，，3，4，5的5张卡片中有放回的抽取两次，两次抽取的卡片数字和为5的概率是．（13）已知a,b,c分别是△ABC的角,B,C的对边，若b=5，c=4，ABAC=−10，则A=积为（14）在正方形ABCD中，E是DC边上一点，且DE=2EC，点F为的延长线上一点，写出可以使得，△ABC的面．AF=AB+AD成立的，的一组数据(,)为．（15）如图，正方体ABCD的棱长为，E为BC的中点，F为线段CC上的动点，过点A，E，F−111111的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是．①直线1D与直线相交；1②当0时，S为四边形；29③当F为CC的中点时，平面截正方体所得的截面面积为；18345④当时，截面S与AD，CD分别交于M,N，则=．11113第2页/共7页三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（1612分）0,a=(−)b=(−).2,1已知向量a+2b；（Ⅰ）求（Ⅱ）若AB=a+b，BC=2a−b，CD=−a，求证：A，C，D三点共线.（1714分）在中小学生体质健康测试中，甲、乙两人各自测试通过的概率分别是0.6和0.8，且测试结果相互独立，求：（Ⅰ）两人都通过体质健康测试的概率；（Ⅱ）恰有一人通过体质健康测试的概率；（Ⅲ）至少有一人通过体质健康测试的概率．（1815分）ABCD−ABCDE,F1,DD分别是棱的中点．求证：1如图，在棱长为2的正方体中，点1111（Ⅰ）BD//平面CEF；1（Ⅱ）EF⊥平面1A；1B−CEF（Ⅲ）求三棱锥的体积．11（1915分）某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．为了解某校学生选科情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表，用频率估计概率.第1门第2门第3门第4门第5门第6门选考情况物理化学生物历史地理政治第3页/共7页高一选科人数高二选科人数高三选科人数806050704540355560204040354040606070（Ⅰ）已知该校高一年级有400人，估计该学校高一年级学生中选考历史的人数；（Ⅱ）现采用分层抽样的方式从样本中随机抽取三个年级中选择历史学科的5名学生组成兴趣小组，再从这5人中随机抽取2名同学参加知识问答比赛，求这2名参赛同学来自不同年级的概率；（Ⅲ）假设三个年级选择选考科目是相互独立的．为了解不同年级学生对各科目的选择倾向，现从高一、高二、高三样本中各随机选取1名学生进行调查，设这3名学生均选择了第k门科目的概率为P(k=，当P取得最大值时，写出kkk（2014分）a2+b2−c2在△ABC中，角,B,C所对的边为a,b,c，△ABC的面积为S，且S=．4（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c−b=bcosA，试判断△ABC的形状，并说明理由．（2115分）如图，七面体ABCDEF中，菱形ABCD所在平面与矩形ACEF交于AC，平面CDF与平面交于直线l．（Ⅰ）求证：∥l；BDAF（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，试求当为何值时，平面⊥平面？并证明你的结论．条件①：⊥；条件②：CE⊥AB．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．第4页/共7页参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）BCACDCBABD二、填空题（共5小题，每小题5分，共254（）（12）（13）：5323()（14）2,3（答案不唯一）三、解答题（共6小题，共85分）（16分）（15）②③④4,22a+2b=(−1,0)+(−)=(−)，a+2b=9+4=13………………6分（Ⅰ）1（Ⅱ）因为AC=AB+BC=a+b+2a−b=3a，所以=−a=−，3所以//ADC，所以A，C，D三点共线.（17）（共14分）………………12分A，乙通过体能测试为事件B,且事件A与事件B相互独立.则两人都通过体能测试的概率PPABPAPB0.60.80.48分=()=()()==51（Ⅱ）由事件A与事件B相互独立，则恰有一人通过体能测试的概率为()()()()()P=PB+AB=PAPB+PAPB=0.4+0.6=……………分2（Ⅲ）由事件A与事件B相互独立，则至少有一人通过体能测试的概率为()()()P=P+B+AB=P+PB+AB=+=………………14分3（18）（共15分）分别为BB,DD的中点，BB=DD，BB//DD，111111BE且=四边形为平行四边形，BD//EF，又平面CEF，BD平面CEF，BD//平面CEF.………………5分111（Ⅱ）四边形ABCD为正方形，BD⊥AC平面ABCD，平面ABCD，AA1⊥BDDAC⊥EF.DAA1⊥EF，又AC，AC,AA平面ACCA，111EF⊥平面ACCA.………………分11（Ⅲ）到平面BCCB距离为三棱锥的高h=CD=2,11121平面S=BCBE=21=1，1121312B−CEF=V=F−BCEh=12=故三棱锥的体积VS………………15分11B−C33第5页/共7页（19）（共15分）100人，其中选择历史学科的学生有20人20故估计高一年级选历史学科的学生有400100=80人.………………4分（Ⅱ）应从样本中三个年级选历史的学生中分别抽取人数为1,2,2，编号为A,A,A,A,A，………………6分123452从这5名运动员中随机抽取2名参加比赛,所有可能的结果为A,A，1A,A,A,A,A,A,A,A,A,A,A,A,A,A,A,A,A,A,共10.……8分513141523242534354设A为事件“这2名参赛同学来自不同年级”，为事件“这2名参赛同学来自相同年级”有A,A，A,A共2种.………………10分234则A5245()=−()=−所以事件A发生的概率PA1PA1=.………………分10（Ⅲ）k=6………………15分（20分）a2+b2−c212cosC（Ⅰ）在△ABC中，因为S=，则abC=，424π整理得tanC=1，且C，所以C2π=………………6分4（Ⅱ）由正弦定理得sinC−sinB=2sinBcosA，……………8分+B)=(sinAcosB+cosAsinB，sinAsinAcosB+cosAsinB−sinB=2sinBcosA，sinAcosB−cosAsinB=sinB，(−B)=B.……………10分于是A又,B(0,)，故0A−B，所以B=−(A−B)或−B，因此A=（舍去）或，所以B=AA=2BA=2B.πππA=,B=,424故△ABC为等腰直角三角形.………………14分（21）（共15分）ABCD中，AB//CD，又CD平面CDF，AB平面CDF，AB//平面CDF.又平面，平面ABF平面CDF=l.∥l………………6分（Ⅱ）证明：若选①第6页/共7页BDAF当=2时，平面⊥平面，取的中点M，连结OM,BM,DM如图所示设AC平面ABCD⊥平面ACEF，平面ABCD平面ACEF=AC矩形ACEF中AF⊥AC，⊥平面ABCD平面ABCD，⊥同理可得：CE⊥CDDCE=DAF=90因为菱形ABCD中CD=AD，矩形ACEF中CEAF，=，是的中点，假设平面⊥平面成立平面DEF平面=，且⊥=