2024北京海淀区高一（下）期末数学试题及答案

2024北京海淀高一（下）期末数学2024.07学校_____________班级______________姓名______________6页，共3道大题，19道小题。满分100分。考试时间90分钟。2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名。考生须知3．答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答。4．考试结束，请将本试卷交回。一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若复数z满足zi=2，则z的虚部为（A）2（C）−i（B）2（D）i31（2）已知向量a=b=(,)，则,22a=1（A）0（C）（B）2223（D）2π（3）函数f(x)Ax+=A)的部分图象如图所示，则其解析式为2π（A）f(x)（B）f(x)（C）f(x)（D）f(x)====2sin(2x++)41π2x)24π2sin(x+)3π2sin(x+)43ππ（4）若sin（A）=，且(,π)，则tan(−)=52431−（B）47第1页/共7页34（C）（D）7（5）在ABC中，点满足D=.若AD=AB+=AC,则44114（A）（B）3（C）3（D）41+2xx+x（6）已知函数f()=，则下列直线中，是函数f(x)对称轴的为π（A）x（C）x=0（B）x=6ππ2=x=（D）4π（7）在平面直角坐标系xOy中，点(3)，点P(cos,sin)，其中−[0,].若+=5,则2=ππ（A）（C）（B）（D）64ππ32π（8）在ABC中，已知aA==，则下列说法正确的是3433（A）当b=1时，ABC是锐角三角形（B）当b=时，ABC是直角三角形75（C）当b=时，ABC是钝角三角形（D）当b=时，是等腰三角形ABC33（9）已知a,b是非零向量，则“a⊥b”是“对于任意的R，都有（B）必要不充分条件a+b=a−b成立”的（A）充分不必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（10）定义域为[a,b]的函数y=f(x)的图象的两个端点分别为(a,f(aBb,fb.点M(x,y)是y=f(x)的图象上的任意一点，其中x=a+−b(0，点N满足向量ON为坐标原点.若不等式|MN|f(x)=−x+2x在上为k函数，则实数k的取值范围是=OA−OB,点O+恒成立，则称函数y=f(x)在[a,b]上为k函数.已知函数21（A）(0,+)（B）[,+)41（C）(,+)（D）)2二、填空题共5小题，每小题420分。第2页/共7页（）已知复数z满足z+1−i=0，则z=_______,z=_______．π（12）在ABC中，C=,CA=CB=2，点P满足CP=CA−CB，则CPCB=_______.3π（13）在ABC中，若asinB，则的一个取值为_______当A=k;=时，则k_______.2（14）一名学生想测算某风景区山顶古塔的塔尖距离地面的高度，由于山崖下河流的阻碍，他只能在河岸边制定如下测算方案：他在河岸边设置了共线的三个观测点A,B,C离为200m，并用测角仪器测得各观测点与塔尖的仰角分别为30°45°，60°.根据以上数据，该学生得到塔尖距离地面的高度为_______m.（15）已知函数f(x)sin(x=+)，g(x)|x|，给出下列四个结论：Ry=f(x)+g(x)是周期函数；①对任意的，函数π②存在0R，使得函数yf(x)g(x)在=+]上单调递减；2③存在0R，使得函数yf(x)g(x)的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形；=1RF(x)=f(x)g(x)M)，则M)的最大值为④对任意的，记函数.2其中所有正确结论的序号是．三、解答题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（169分）ππ已知函数f(x)=sin(x−)+sin(x+).62（Ⅰ）求f(0)的值和f(x)的零点；（Ⅱ）求f(x)的单调递增区间.（179分）已知OA=a,OB=b，|a=2,|b=1，a,b=.4（Ⅰ）求|a；（Ⅱ）若OQ=tOA，求AQ−OB)的最小值.第3页/共7页（18分）在ABC中，2A+A=0.（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若a7，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得=ABC存在且唯一确定，求ABC最长边上的高线的长.53条件①：sinC=；14条件②：ABC的面积为3；条件③：b10=.注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.（19分）a=已知n维向量(a,a,,an)，给定k，定义变换k：选取12i，再选取一个实数x，对a的坐标进行如下改变：若此时i若此时i++kkn，则将n，则将a,a,i1i+2同时加上x，其余坐标不变；a,a,及同时加上x，其余坐标不变．i1i+2若向量a经过有限次变换（每次变换所取的i,x的值可能不同）后，最终得到的向量t,t,12k满足1t2==，则称a为k阶可等向量．例如，向量2)经过两次变换可得：2i=，x12)i，x=−1(2,,3)(2,2)，所以2)是2阶可等向量．（Ⅰ）判断是否是2阶可等向量？说明理由；（Ⅱ）若取2,3,4的一个排序得到的向量(a,a,a,a)是2阶可等向量，求a3；+11234（Ⅲ）若任取a,a,的一个排序得到的n维向量均为k阶可等向量，则称(a,a,1212为k阶强可等向量.求证：向量)是5阶强可等向量.第4页/共7页参考答案一、选择题：题号答案12345678910BABDDBCABC二、填空题（共5小题，每小题4分，共20（）1+i1−i12）01（13）（答案不唯一）114）10062（15）①②③两空题，第一空2分，第二空２分，15题对一个给1分，对两个给2分，都对给4分，有错的则给0分三、解答题（共4小题，共40分）（16ππ112解：（Ⅰ）f(0)sin()sin()=−+1==−+分622ππf(x)=sin(x−)+sin(x+)625分ππ=sinxcos−cosxsin+cosx66ππ=sinxcos+cosxsin66……6分π=sin(x+)6ππ令x+=π，所以xπ=−．66π所以f(x)的零点为x=π−，kZ……7分8分6ππy=sinx(2π−,2π+kZ（Ⅱ）因为的单调递增区间为22πππ所以2π−−x+2π+.2622ππ所以2πx2π+332ππf(x)(2π−,2π+kZ所以函数的单调递增区间为分33（17第5页/共7页解：（Ⅰ）因为|ab|(ab)−=−1分=a−4ab+b……2分ab=|a||b|cosa,b=1……4分5分7分|a2−4+4=2（Ⅱ）因为−OB)=tOA−)tOA−OB)=t−t−t−=t=t22−t)−t−2−t+1……8分31818=t−)2−−4318所以当t=时，−OB)的最小值为−分4（18分）解：（Ⅰ）因为2AA所以2A+A−1=0+=022分3分(2cosA−A+=0所以,1所以A=,A=2A(0,π)A=1因为，所以舍1π所以cosA=,A=4分……6分23（Ⅱ）选择①πca因为A=，由正弦定理=3sinCsinAc7=3,得c=5……7分代入532法一：由余弦定理a2=b2+c2−bcA9分149=25+b2−2b代入得2b−b+=0所以所以b8或=b=5边最长，……10分53边上的高线h=csinA=……11分2法二：因为c5，=a=7CA，所以，9分ππ所以C，所以B，所以b为最长边……10分……11分3353边上的高线h=csinA=2选择②第6页/共7页12因为S=bcsinA103=……6分分所以bc40=π因为A=，由余弦定理a2=b2+2c−bcA9分3所以=bb=82+c2−=b2+c−2b=5c=8所以或c=5532所以最长边上的高线h=5sinA=11分（19是2阶可等向量．例如经过两次变换2可得：⎯⎯i=x1i，x=−1(2,(2,2)……2分（Ⅱ）设(a,a,a,a)进行一次变换后得(a,a,a,a)，123421234当i0时，=(a,a,a,a)=(a+x,a+x,a,a)12341234当i1时，=(a,a,a,a)=(a,a+x,a+x,a)12341234当i2时，=(a,a,a,a)=(a,a,a+x,a+x)12341234当i3时，=(a,a,a,a)=(a+x,a,a,a+x)12341234综上，我们得到+−+=(aa)(aa)(13x)(a2a4x)(13)(a2a4)．++−++=+−+1324因为(a,a,a,a)是2阶可等向量，即tt2t3t4=1==1234所以(13)(a2a4)1t)t2t)0．+−+=+−+=43a+a+a+a1+2+3+4所以a+a=a+a=1324==5……6分132422（Ⅲ）任取的一个排序，记为b=b,b,．12注意到，(a,a,是k阶可等向量，)是k阶可等向量．12等价于(a