山东省威海乳山市2025届数学九上期末学业质量监测模拟试题含解析

山东省威海乳山市2025届数学九上期末学业质量监测模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(每小题3分,共30分)1．二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）中，若b2＝4a，则（）A．y最大＝5 B．y最小＝5 C．y最大＝3 D．y最小＝32．如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（）A．﹣4+4 B．4+4 C．8﹣4 D．+13．方差是刻画数据波动程度的量．对于一组数据，，，…，，可用如下算式计算方差：，其中“5”是这组数据的（）A．最小值 B．平均数 C．中位数 D．众数4．如图，等腰直角三角形ABC的腰长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B和A→C的路径向点B、C运动，设运动时间为x(单位：s)，四边形PBCQ的面积为y(单位：cm2)，则y与x(0≤x≤4)之间的函数关系可用图象表示为（）A． B． C． D．5．如图，是二次函数图象的一部分，在下列结论中：①；②；③有两个相等的实数根；④；其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．一元二次方程3x2﹣x＝0的解是（）A．x＝ B．x1＝0，x2＝3 C．x1＝0，x2＝ D．x＝07．下列事件是必然事件的是（）A．抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上B．打开电视频道，正在播放《在线体育》C．射击运动员射击一次，命中十环D．方程x2﹣2x﹣1=0必有实数根8．已知点（3，﹣4）在反比例函数的图象上，则下列各点也在该反比例函数图象上的是（）A．（3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（﹣2，6） D．（2，6）9．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BA、CA的延长线上，=2，那么下列条件中能判断DE∥BC的是（）A． B． C． D．10．代数式有意义的条件是（）A． B． C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．圆内接正六边形一边所对的圆周角的度数是__________．12．如图是二次函数y＝ax2﹣bx＋c的图象，由图象可知，不等式ax2﹣bx＋c＜0的解集是_______．13．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（-2,4），B（1,1），则不等式ax2＞bx+c的解集是_________.14．方程（x+1）（x﹣2）＝5化成一般形式是_____．15．已知m,n是方程的两个根，则代数式的值是__________．16．如果向量a、b、x满足关系式2a﹣（x﹣3b）＝4b，那么x＝_____（用向量a、b表示）．17．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为120°，AB的长为20cm，扇面BD的长为15cm，则弧DE的长是_____．18．已知圆的半径为，点在圆外，则长度的取值范围为___________.三、解答题(共66分)19．（10分）一个不透明口袋中装有6个红球、9个黄球、3个绿球，这些球除颜色外没有任何区别.从中任意摸出一个球.(1)求摸到绿球的概率.(2)求摸到红球或绿球的概率.20．（6分）已知：在Rt△ABC中，AB=BC,在Rt△ADE中，AD=DE；连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM．（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图1，求证：BM=DM且BM⊥DM；（2）如果将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图2，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．21．（6分）如图，在四边形OABC中，BC∥AO，∠AOC＝90°，点A（5，0），B（2，6），点D为AB上一点，且，双曲线y1＝（k1＞0）在第一象限的图象经过点D，交BC于点E．（1）求双曲线的解析式；（2）一次函数y2＝k2x+b经过D、E两点，结合图象，写出不等式＜k2x+b的解集．22．（8分）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD相交于点O，点E在线段OB上，AE的延长线与BC相交于点F，OD2=OB·OE．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；（2）如果BC=BD，AE·AF=AD·BF，求证：△ABE∽△ACD．23．（8分）粤东农批﹒2019球王故里五华马拉松赛于12月1日在广东五华举行，组委会为了做好运动员的保障工作，沿途设置了4个补给站，分别是：A（粤东农批）、B（奥体中心）、C（球王故里）和D（滨江中路），志愿者小明和小红都计划各自在这4个补给站中任意选择一个进行补给服务，每个补给站被选择的可能性相同．（1）小明选择补给站C（球王故里）的概率是多少？（2）用树状图或列表的方法，求小明和小红恰好选择同一个补给站的概率．24．（8分）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量（件与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？25．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE=3，DF=3，求图中阴影部分的面积．26．（10分）箱子里有4瓶牛奶，其中有一瓶是过期的.现从这4瓶牛奶中任意抽取牛奶饮用，抽取任意一瓶都是等可能的.（1）若小芳任意抽取1瓶，抽到过期的一瓶的概率是；（2）若小芳任意抽取2瓶，请用画树状图或列表法求，抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率.

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【分析】根据题意得到y＝ax2+bx+4＝，代入顶点公式即可求得．【详解】解：∵b2＝4a，∴，∴∵，∴y最小值＝，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数最值问题，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质，准确表达出二次函数的顶点坐标.2、A【解析】试题分析：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=90°，∠ACD=15°，AD=CD=2，则S△ACD=AD•CD=×2×2=2；AC=AD=2，则EC=2﹣2，∵△MEC是等腰直角三角形，∴S△MEC=ME•EC=（2﹣2）2=6﹣1，∴阴影部分的面积=S△ACD﹣S△MEC=2﹣（6﹣1）=1﹣1．故选A．考点：正方形的性质．3、B【分析】根据方差公式的定义即可求解.【详解】方差中“5”是这组数据的平均数.故选B．【点睛】此题主要考查平均数与方差的关系，解题的关键是熟知方差公式的性质.4、C【解析】先计算出四边形PBCQ的面积，得到y与x的函数关系式，再根据函数解析式确定图象即可.【详解】由题意得：(0≤x≤4)，可知，抛物线开口向下，关于y轴对称，顶点为（0，8），故选：C.【点睛】此题考查二次函数的性质，根据题意列出解析式是解题的关键.5、C【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对各个结论进行判断．【详解】解：由抛物线的开口方向向上可推出a＞0，

与y轴的交点为在y轴的负半轴上可推出c=-1＜0，

对称轴为，a＞0，得b＜0，

故abc＞0，故①正确；

由对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点交于（2，0），（3，0）之间，则另一个交点在（0，0），（-1，0）之间，

所以当x=-1时，y＞0，

所以a-b+c＞0，故②正确；

抛物线与y轴的交点为（0，-1），由图象知二次函数y=ax2+bx+c图象与直线y=-1有两个交点，

故ax2+bx+c+1=0有两个不相等的实数根，故③错误；

由对称轴为直线，由图象可知，所以-4a＜b＜-2a，故④正确．

所以正确的有3个，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解答此类问题的关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，解题时要注意数形结合思想的运用．6、C【解析】根据题意对方程提取公因式x,得到x(

3x-1)=0的形式,则这两个相乘的数至少有一个为0,由此可以解出x的值.【详解】∵3x2﹣x=0，∴x（3x﹣1）=0，∴x=0或3x﹣1=0，∴x1=0，x2=，故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法,要根据方程的提点灵活选用合适的方法.7、D【分析】根据必然事件的定义逐项进行分析即可做出判断，必然事件是一定会发生的事件．【详解】A、抛掷一枚硬币，四次中有两次正面朝上是随机事件，故本选项错误；B、打开电视频道，正在播放《在线体育》是随机事件，故本选项错误；C、射击运动员射击一次，命中十环是随机事件，故本选项错误；D.方程中必有实数根，是必然事件，故本选项正确．故选：D．【点睛】解决本题要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，理解概念是解决基础题的主要方法．用到的知识点有：必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．8、C【解析】试题解析：∵反比例函数图象过点(3,-4)，即k=−12，A.∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；B.∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；C.∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确.D.∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；故选C.9、D【分析】只要证明，即可解决问题．【详解】解:A.，可得AE：AC=1：1，与已知不成比例，故不能判定B.，可得AC：AE=1：1，与已知不成比例，故不能判定；C选项与已知的，可得两组边对应成比例，但夹角不知是否相等，因此不一定能判定；D.，可得DE//BC，故选D.【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10、B【分析】根据二次根式和分式成立的条件得到关于x的不等式，求解即可．【详解】解：由题意得，解得．故选：B【点睛】本题考查了代数式有意义的条件，一般情况下，若代数式有意义，则分式的分母不等于1，二次根式被开方数大于等于1．二、填空题(每小题3分,共24分)11、30°或150°【分析】求出一条边所对的圆心角的度数，再根据圆周角和圆心角的关系解答．【详解】解：圆内接正六边形的边所对的圆心角360°÷6=60°，圆内接正六边形的一条边所对的弧可能是劣弧，也可能是优弧，

根据一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，

所以圆内接正六边形的一条边所对的圆周角的度数是30°或150°，故答案为30°或150°．【点睛】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力，涉及的知识点有正多边形的中心角、圆周角与圆心角的关系，属于基础题，要注意分两种情况讨论．12、x＜－1或x＞1【分析】根据二次函数的对称性求出与x轴的另一个交点坐标，然后根据函数图象写出x轴上方部分的x的取值范围即可．【详解】解：由对称性得：抛物线与x轴的另一个交点为（-1，0），

∴不等式ax2﹣bx＋c＜0的解集是：x＜－1或x＞1，

故答案为：x＜－1或x＞1．【点睛】本题考查了二次函数与不等式组，二次函数的性质，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键．13、x＜-2或x＞1【分析】根据图形抛物线与直线的两个交点情况可知，不等式的解集为抛物线的图象在直线图象的上方对应的自变量的取值范围．【详解】如图所示：

∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，

∴二次函数图象在一次函数图象上方时，即不等式的解集为：或．

故答案为：或．【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式组．解答此题时，利用了图象上的点的坐标特征来解不等式．14、x2﹣x﹣7＝1．【分析】一元二次方程，b，c是常数且的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．【详解】解：方程（x+1）（x﹣2）＝5化成一般形式是x2﹣x﹣7＝1，故答案为：x2﹣x﹣7＝1．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：，b，c是常数且a≠1）特别要注意a≠1的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．15、1【分析】由m，n是方程x2-x-2=0的两个根知m+n=1，m2-m=2，代入到原式=2（m2-m）-（m+n）计算可得．【详解】解：∵m，n是方程x2-x-2=0的两个根，

∴m+n=1，m2-m=2，

则原式=2（m2-m）-（m+n）

=2×2-1

=4-1

=1，

故答案为：1．【点睛】本题主要考查根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，，x1x2=.16、2a﹣b【解析】根据平面向量的加减法计算法则和方程解题．【详解】2a2ax=2故答案是2a【点睛】本题主要考查平面向量，此题是利用方程思想求得向量的值的，难度不大．17、cm【分析】直接利用弧长公式计算得出答案．【详解】弧DE的长为：.故答案是：.【点睛】考查了弧长公式计算，正确应用弧长公式是解题关键．18、【分析】设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，则d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．【详解】点P在圆外，则点到圆心的距离大于圆的半径，因而线段OP的长度的取值范围是OP＞1．故答案为.【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．熟记点与圆位置关系与数量关系的对应是解题关键，由位置关系可推得数量关系，同样由数量关系也可推得位置关系．三、解答题(共66分)19、(1)；(2).【分析】（1）由题意可知绿球占总数的六分之一，因此摸到绿球的概率为六分之一，（2）红球和绿球共有9个，占总数的二分之一，因此摸到红球或绿球的概率为二分之一．【详解】解：解：(1)，(2).【点睛】本题考查随机事件发生的概率，关键是找出所有可能出现的结果数和符合条件的结果数．20、（1）证明见解析（2）当△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角时，（1）中的结论成立【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线的性质得出BM=DM，然后根据四点共圆可以得出∠BMD=2∠ACB=90°，从而得出答案；(2)连结BD，延长DM至点F，使得DM=MF，连结BF、FC，延长ED交AC于点H，根据题意得出四边形CDEF为平行四边形，然后根据题意得出△ABD和△CBF全等，根据角度之间的关系得出∠DBF=∠ABC=90°．【详解】解：（1）在Rt△EBC中，M是斜边EC的中点，∴．在Rt△EDC中，M是斜边EC的中点，∴．∴BM=DM，且点B、C、D、E在以点M为圆心、BM为半径的圆上．∴∠BMD=2∠ACB=90°，即BM⊥DM．（2）当△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角时，（1）中的结论成立．证明：连结BD，延长DM至点F，使得DM=MF，连结BF、FC，延长ED交AC于点H．∵DM=MF，EM=MC，∴四边形CDEF为平行四边形，∴DE∥CF，ED=CF，∵ED=AD，∴AD=CF，∵DE∥CF，∴∠AHE=∠ACF．∵,，∴∠BAD=∠BCF，又∵AB=BC，∴△ABD≌△CBF，∴BD=BF，∠ABD=∠CBF，∵∠ABD+∠DBC=∠CBF+∠DBC，∴∠DBF=∠ABC=90°．在Rt△中，由,，得BM=DM且BM⊥DM．【点睛】本题主要考查的是平行四边形的判定与性质、三角形全等、直角三角形的性质，综合性比较强．本题解题的关键是通过构建全等三角形来得出线段相等，然后根据线段相等得出所求的结论．21、（1）；（2）＜x＜1．【分析】（1）作BM⊥x轴于M，作DN⊥x轴于N，利用点A，B的坐标得到BC＝OM＝2，BM＝OC＝6，AM＝3，再证明△ADN∽△ABM，利用相似比可计算出DN＝2，AN＝1，则ON＝OA﹣AN＝1，得到D点坐标为（1，2），然后把D点坐标代入反比例函数表达式中，求出k的值即可得到反比例函数解析式；（2）观察函数图象即可求解．【详解】解：（1）过点B作BM⊥x轴于M，过点D作DN⊥x轴于N，如图，∵点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6），∴BC＝OM＝2，BM＝OC＝6，AM＝3，∵DN∥BM，∴△ADN∽△ABM，∴，即，解得：DN＝2，AN＝1，∴ON＝OA﹣AN＝1，∴D点坐标为（1，2），把D（1，2）代入y1＝得，k＝2×1＝8，∴反比例函数解析式为；（2）由（1）知，点D的坐标为（1，2）；对于，当y＝6时，即6＝，解得x＝，故点E（，6）；从函数图象看，＜k2x+b时，x的取值范围为＜x＜1，故不等式＜k2x+b的解集为＜x＜1．【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的关系及相似三角形的判定与性质，关键是根据题意及相似三角形的性质与判定得到反比例函数的解析式，然后利用反比例函数与一次函数的关系进行求解即可．22、（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）由题意，得到，然后由AD∥BC，得到，则，即可得到AF//CD，即可得到结论；（2）先证明∠AED=∠BCD，得到∠AEB=∠ADC，然后证明得到，即可得到△ABE∽△ADC.【详解】证明：（1）∵OD2=OE·OB，∴．∵AD//BC，∴．∴．∴AF//CD．∴四边形AFCD是平行四边形．（2）∵AF//CD，∴∠AED=∠BDC，．∵BC=BD，∴BE=BF，∠BDC=∠BCD∴∠AED=∠BCD．∵∠AEB=180°∠AED，∠ADC=180°∠BCD，∴∠AEB=∠ADC．∵AE·AF=AD·BF，∴．∵四边形AFCD是平行四边形，∴AF=CD．∴．∴△ABE∽△ADC．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，平行四边形的判定和性质，以及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，正确找到证明三角形相似的条件.23、（1）；（2）【分析】（1）共有4个补给站，所以小明选择补给站C（球王故里）的概率是；（2）用树状图或列表表示出所有的情况数，从中找出小明和小红恰好选择同一个补给站的情况数，利用概率公式求解即可．【详解】解：（1）在这4个补给站中任意选择一个补给站服务，每个补给站被选择的可能性相同，∴小明选择补给站C（球王故里）的概率是；（2）画树状图分析如下：共有16种等可能的结果，小明和小红恰好选择同一个补给站的结果有4种，∴小明和小红恰好选择同一个补给站的概率为＝．【点睛】本题主要考查树状图或列表法求随机事件的概率，掌握概率公式是解题的关键．24、（1）（2），，144元【分析】（1）利用待定系数法求解可得关于的函数解析式；（2）根据“总利润每件的利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．【详