新教材人教B版必修第二册5. 用样本估计总体

5.用样本估计总体

r学习目标11.正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差2能根据实

际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并

做出合理的解释3会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征.

知识梳理梳理教材夯实基石出

------------------------------------------------------N---------------

知识点一

在分层抽样时，如果总体分为攵层，而且第，层抽取的样本量为均，第，层的样本均值为；J，

样本方差为寸，…，匕记〃=%j,所有数据的样本均值和方差分别为x（可口），

尸j=i

s2=^[njSj+nj（xj-x）2].

j=l

知识点二用样本的数字特征来估计总体的数字特征

众数众数是最高长方形的中点所对应的数据

（1）在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图面积相簧，由此可以估计

中位数中位数的值，但是有偏差；

（2）表示样本数据所占频率的等分线

（1）平均数等于每个小矩形的面枳乘以小矩形底边中点的横坐标之和;

平均数

（2）平均数是频率分布直方图的重心,是频率分布直方图的平衡点

一般来说，在估计总体的数字特征时，只需直接算出样本对应的数字特征即可.

知识点三用样本的分布估计总体的分布

同数字特征的估计一样，分布的估计一般也有误差.如果总体在每一个分组的频率记为兀I,

兀2，…，兀"，样本在每一组对应的频率记为Pl，02，…，Pn>一般来说，:Z（叫一。》2=。（兀1

LI

-pi）2+（©—p2）2+…+（兀“一p,,）2]不等于零.同样，大数定律可以保证，当样本的容量越来越

大时，上式很小的可能性将越来越大.

■思考辨析判断正误

1.样本的平均数描述了样本数据的平均水平.（V）

2.方差越大、数据越集中在平均数左右.（X）

3.中位数是样本数据中最中间位置的数据.（X）

4.用样本估计出的总体中位数一定是样本数据中的某个数.(X)

题型探究探究重点提升素养

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一、分层随机抽样的均值与方差的计算

例1(多选)某分层随机抽样中，有关数据如下:

样本量平均数方差

第1层4542

第2层3581

第3层1063

则下列叙述正确的是(结果保留两位小数)()

A.第1,2层所有数据的均值为

B.第1,2层所有数据的方差为

C.第1,2,3层所有数据的均值约为

D.第1,2,3层所有数据的方差约为

答案AD

解析第1,2层所有数据的均值为：x12=石能X4+石林X8=,A正确；第1,2层所有

4535

数据的方差为留=方标X[2+(4—月+行能X[l+(8—%=,B不正确；第1,2,3层所有

数据的均值为M=^X4+||x8+版乂6心，C不正确；第123层所有数据的方差约为S2=

款[2+(4-)2]+1|X[l+(8-)2]+|§X[3+(6-)2,D正确.

反思感悟运用公式求分层随机抽样的均值与方差时要注意

(1)清楚公式中各个符号的含义，避免代入数据混乱.

(2)运算要格外仔细，并按要求保留有效小数.

跟踪训练1某培训机构在假期招收了A,B两个数学补习班，A班10人，B班30人，经过

一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A班的平均成绩为130分，方差为115,8班的

平均成绩为110分，方差为215.求在这次测试中全体学生的平均成绩和方差.

解依题意x人=130,次=115,

xB=110,51=215,

'X=10+30XI30+10+30X110=115,

.••全体学生的平均分为115分.

全体学生成绩的方差为

10__30——

2

S2=10+3()"'+(x4一x)4+]o+30阂+(xB—x)]

=10+30。15+225)+]0+30(215+25)

=85+180=265.

二、用样本的数字特征估计总体的数字特征

例2甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示:

⑴填写下表;

平均数方差中位数命中9环及以上

甲71

乙3

(2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析：

①从平均数和方差结合分析偏离程度；

②从平均数和中位数结合分析谁的成绩好些；

③从平均数和命中9环及以上的次数相结合看谁的成绩好些；

④从折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力.

一1

解(1)乙的射靶环数依次为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10,所以x乙=元(2+4+6+8+7+7+8+9+9

7+8

+10)=7；乙的射靶环数从小到大排列为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10,所以中位数是一1一=;甲的射

靶环数从小到大排列为5,6,6,777,7,8,8,9,所以中位数为7.于是填充后的表格如下表所示：

平均数方差中位数命中9环及以上

甲771

乙73

(2)①甲、乙的平均数相同，均为7,但s爷说明甲偏离平均数的程度小，而乙偏离平均

数的程度大.

②甲、乙的平均水平相同，而乙的中位数比甲大，说明乙射靶成绩比甲好.

③甲、乙的平均水平相同，而乙命中9环以上(包含9环)的次数比甲多2次，可知乙的射靶

成绩比甲好.

④从折线图上看，乙的成绩呈上升趋势，而甲的成绩在平均线上波动不大，说明乙的状态在

提升，更有潜力.

反思感悟在日常生活中，当面对一组数据时，相比每一个观测值，有时我们更关心的是能

反映这组数据特征的一些值，例如上述数据，我们可以从平均数、中位数、百分位数、众数、

极差、方差、标准差等角度进行比较.

跟踪训练2为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换，已知某校

使用的100支日光灯在必须换掉前的使用天数如下表：

181〜211〜241〜271〜301〜331-361〜

天数151—180

210240270300330360390

日光灯数1111820251672

(1)试估计这种日光灯的平均使用寿命；

(2)若定期更换，可选择多长时间统一更换合适？

解(1)各组的平均值分别为由此可估计这种日光灯的平均使用寿命为X1%+X11%

+X18%+X20%+X25%+X16%+X7%+X2%=(天).

(2)52=-^J[1X(-)2+11X(-)2+18X(-)2+20X(-)2+25X(-)2+16X(-)2+7X(-)2+

2X(-)2]=2,故标准差g46(天).

由上可知这种日光灯的平均使用寿命为天，标准差约为46天，故可在222天到314天内统一

更换较合适.

三、频率分布直方图与数字特征的综合应用

例3已知一组数据：

125121123125127129125128130129

126124125127126122124125126128

(1)填写下面的频率分布表；

分组个数累计频数频率

[,)

[,)

[,)

[,)

[,]

合计

(2)作出频率分布直方图；

(3)以这组数据为样本估计总体的众数、中位数和平均数.

解⑴

分组个数累计频数频率

[,)r2

[,)i;3

[,)正下8

[,)正4

[,]3

合计201

⑵

(3)在［,)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数为1255设中位数为

X,则+(x—)X=,解得x=125.75.使用“组中值”求平均数：^=X+X+X+X+X=

125.8.

所以可估计总体的众数为，中位数为，平均数为125.8.

(学生留)反思感悟利用频率分布直方图求数字特征

⑴众数是最高的矩形的底边的中点；

⑵中位数左右两侧直方图的面积相等；

(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.

跟踪训练3某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组，绘

制成如图所示的频率分布直方图.求：

(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数;

（2）高一参赛学生的平均成绩.

解（1）由题图可知众数为65,

又因为第一个小矩形的面积为，

所以设中位数为60+x,则+xX=,得x=5,

所以中位数为60+5=65.

（2）依题意，平均成绩为55X+65X+75X+85X4-95X=67,

所以高一参赛学生的平均成绩约为67.

随堂演练基础巩固学以致用

1.为评估一种农作物的种植效果，选了〃块地作试验田.这〃块地的亩产量（单位：kg）分别

为乃，X2,…，为，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）

A.X|,X2，…，X”的平均数

B.Xi,X2,•••,X"的标准差

C.Xl，X2,­••,X"的最大值

D.Xl，X2,•••,X”的中位数

答案B

解析因为可以用极差、方差或标准差来描述数据的离散程度，所以要评估亩产量稳定程度,

应该用样本数据的极差、方差或标准差.故选B.

2.如图，样本A和8分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为xA和XB，样本

标准差分别为SA和SB,则（）

A.X6XB，SA>SBB.XX8，SA>SB

C.XA>XB，SA<SBD.XA<xB，SA<SB

答案B

解析由题图知，A组数据分布在［,10］内，8组数据分布在［10,15］内，显然XA<XB.

又由图形可知，B组数据的分布比A组的均匀，变化幅度不大，故8组数据比较稳定，方差

较小，从而标准差较小，所以SA>SB.

3.某台机床加工的1000只产品中次品数的频率分布如下表：

次品数01234

频率

则次品数的众数、平均数依次为（）

A.0,B.0,1C.4,1D.,2

答案A

解析数据为出现的频率为p：（i=l,2,…，ri）,则xi,X2,-,%,的平均数为XIPI+XM+…

+x,p”.因此次品数的平均数为OX+1X+2X+3X+4X=1.1.由频率知，次品数的众数为0.

4.样本容量为9的四组数据，它们的平均数都是5,它们的柱形统计图如图所示，则标准差

最大的一组是（）

5数据

第一组

0.31

0.|LEE

（）34567数据58数据

第四组

A.第一组B.第二组

C.第三组D.第四组

答案D

解析方法一第一组中，样本数据都为5,数据没有波动幅度，标准差为0；

第二组中，样本数据为4,4,4,555,6,6,6,标准差为半；

第三组中，样本数据为334,4,5,6,6,7,7,标准差为芈；

第四组中，样本数据为2,22,2,5,8,8,8,8,标准差为2y.

故标准差最大的一组是第四组.

方法二从四个柱形图可看出第一组数据没有波动性，第二、三组数据的波动性都比较小，

而第四组数据的波动性相对较大，利用标准差的意义可以直观得到答案.

5.甲、乙两位同学某学科的连续五次考试成绩用茎叶图表示如图所示，则平均分数较高的是

,成绩较为稳定的是.

899

答案甲甲

一—11

解析x甲=70,xi=68.5i=gX(22+l2+l2+22)=2,X(52+12+12+32)=7.2.

-课堂小结------------------------------------------------------------------------

1.知识清单：

(1)样本的数字特征.

(2)用样本的数字特征估计总体的数字特征.

(3)用样本的分布估计总体的分布.

2.方法归纳：数据处理.

3.常见误区：样本的数字特征只能估计总体的特征，不能替代总体.

课时对点练注重双基强化落实

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g基础巩固

1.在用样本频率分布估计总体分布的过程中，下列说法中正确的是()

A.样本容量一定时总体容量越大，估计越精确

B.总体容量与估计的精确度无关

C.总体容量一定时样本容量越大，估计越精确

D.总体容量一定时样本容量越小，估计越精确

答案C

解析当样本容量越大时，估计总体越精确.

2.为了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高为m；从南方抽

取了200个男孩，平均身高为m.由此可估计我国13岁男孩的平均身高为()

A.mB.mC.mD.m

答案B

解析从北方抽取了300个男孩，平均身高为m,从南方抽取了200个男孩，平均身高为m,

则这500个13岁男孩的平均身高是汽go=(m),据此可估计我国13岁男孩的平均身

高为m,故选B.

3.(多选)甲、乙两名同学六次数学测验成绩(百分制)如图所示，下面说法正确的是()

9

628

620878

0926

A.甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数

B.甲同学的平均分比乙同学高

C.甲同学的平均分比乙同学低

D.甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差

答案CD

一1

解析甲的中位数为81,乙的中位数为，故A错误；甲的平均分x=/76+72+80+82+

一1

86+90)=81,乙的平均分x'=5(69+78+87+88+92+96)=85,故B错误，C正确；甲

的极差为18,乙的极差为27,且甲的成绩比较均衡，故甲的成绩的方差小于乙成绩的方差.故

选CD.

4.甲、乙两人在-一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的柱形统计图如图所示，则()

345678910环数078910,环数

甲乙

A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数

B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数

C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差

D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

答案C

解析由柱形统计图知：

甲射靶5次的成绩分别为4,5,6,7,8；

乙射靶5次的成绩分别为5,5,5,6,9,

4+5+6+7+8—5+5+5+6+9

所以x甲==6；x=6.

所以x甲=x"故A不正确.

甲的成绩的中位数为6,乙的成绩的中位数为5,故B不正确.

jl=|[(4-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(7-6)2+(8-6)2]=|xi0=2,

11I?

si=g[(5-6)2+(5-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(9-6)2J=5X12=亍

I?

因为2<5，所以播<s2,故C正确.

甲的成绩的极差为8—4=4,乙的成绩的极差为9—5=4,故D不正确.故选C.

5.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十

分制)的统计图如图所示，假设得分分值的中位数为“，众数为，及，平均数为三，则()

［频数

i（）—

8----

™T-

2寸

-・riU2T2rr2r

n3-45678910得分/分

A.nte=nto=xB.〃k=x

C.me<tno<xD.mo<me<x

答案D

解析由柱形统计图可知，30名学生的得分依次为2个3分，3个4分，10个5分，6个6

分，3个7分，2个8分，2个9分，2个10分.中位数为第15,16个数（分别为5,6）的平均数,

即恤=,5出现次数最多，故mo=5.

—2X3+3X4+10X5+6X6+3X7+2X8+2X9+2X10

x=30

比5.97.

于是得m<><tne<x.

6.在某市2019年“创建文明城市”知识竞赛中，考评组从所有2000份试卷中抽取200份

试卷进行分析，其分数的频率分布直方图如图所示，则本次竞赛分数在区间［60,70）上的人数

大约有.

答案800

解析根据频率分布直方图，分数在区间［60,70）上的频率为X10=,...可估计分数在区间

［60,70）上的人数为2000X=800.

7.为了鉴定某种节能灯泡的质量，对其中100只节能灯泡的使用寿命进行测量，结果如下表:

（单位：小时）

寿命450550600650700

只数2010301525

则这些节能灯泡使用寿命的平均数是

答案

解析这些节能灯泡使用寿命的平均数是

450X20+550X10+600X30+650X15+700X25

100

=597.5.

8.某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分

成六段[40,50),[50,60),…，[90,100]后得到如图所示的部分频率分布直方图.在统计方法中，

同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，观察图形的信息，据此估计本次考试数学成绩

的平均分为.

答案71

解析在频率分布直方图中，所有小长方形的面积和为1,

设[70,80)的小长方形面积为x,则(+X2++)X10+x=l,

解得x=,即该组■频率为，所以本次考试的平均分为45X+55X+65X+75X+85X+95X

=71.

9.甲、乙两台机床在相同的技术条件下，同时生产一种零件，现在从甲、乙生产的零件中分

别抽取4()件、60件，甲的平均尺寸为10,方差为20,乙的平均尺寸为12,方差为40.那么

全部100件产品的平均尺寸和方差分别是多少？

解甲机床生产的零件的平均尺寸、方差分别为

x甲=10,5%=20,

乙机床生产的零件的平均尺寸、方差分别为

x乙=12,51=40,

所以100件产品的平均尺寸

—4°X甲+6°xZ,400+720

*=-40+60--100-'

所以100件产品的方差

.1,,40X60,1,

-X[40s3+60s?.X(10—12)2]=诉X[(40X20+60X40)+24X4]=32.96.

4U十OU4U十OU1UU

10.某网站从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取2000名进行调查，将受访用

户按年龄分成5组：]0,20),[20,30),…，[50,60],并整理得到如图所示的频率分布直方图.

⑴求a的值；

(2)从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取一人，估计其年龄低于40岁的频率;

(3)估计春节期间参与收发网络红包的手机用户的平均年龄.

解(1)根据频率分布直方图可知10X(a++++)=1,解得a=0.035.

(2)根据题意，得样本中年龄低于40岁的频率为10X(++)=,

所以从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取一人，估计其年龄低于40岁的频率

为0.75.

(3)根据题意，得春节期间参与收发网络红包的手机用户的平均年龄约为15X+25X+35X+

45X+55X=(岁).

g综合运用

11.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下表，则这100人的成绩的标准差为

()

分数54321

人数2010303010

AS-C.3D.§

答案B

〒心山,5X20+4X10+3X30+2X30+1X10

解析平均数为---------------示K---------------=3.

1Q

故$-2=而X[20X(5-3)2+10X(4-3)2+30X(3-3)2+30X(2—3)2+10X(l—3)2]=5.

故s<=噜

12.为了了解某校学生的视力情况，随机抽查了该校的100名学生，得到如图所示的频率分

布直方图.由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数和为40,后6组的频数和为87.

设最大频率为a,视力在到之间的学生人数为仇则。，。的值分别为()

频率「

组距一]

04.34.44.5464.74.84.95.05.15.2视力

A.,B.,96

C.27,D.27,96

答案B

解析由频率分布直方图知组距为，由前4组的频数和为40,后6组的频数和为87,知第4

组的频数为40+87—100=27,即视力在到之间的频数最大，为27,故最大频率“=0.27.视

力在到之间的频率为1——=,故视力在到之间的学生人数〃=X100=96.

13.某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班.其中甲班有40人，乙班有50人.现分析两个班

的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模

兴趣班的平均成绩是分.

答案85

解析由题意得，该校数学建模兴趣班的平均成绩是4°义9°卜5。义81=85(分).

14.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得

到频率分布直方图如图，则

［频率

组距

0.040---------------1--------1

0.0叫

0.03(“

0.025..............J——------------