2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第2章　§2.5　指数与指数函数（含解析）

第第页§2.5指数与指数函数课标要求1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．知识梳理1．根式(1)一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．(3)(eq\r(n,a))n＝a.当n为奇数时，eq\r(n,an)＝a，当n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))2．分数指数幂正数的正分数指数幂：SKIPIF1<0＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，n>1)．正数的负分数指数幂：SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，n>1)．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈R)．4．指数函数及其性质(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1增函数减函数常用结论1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)eq\r(4,－44)＝－4.(×)(2)2a·2b＝2ab.(×)(3)指数函数y＝ax与y＝a－x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．(√)(4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(×)2．已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b等于()A．不确定B．0C．1D．2答案C解析由函数y＝a·2x是指数函数，得a＝1，由y＝2x＋b是指数函数，得b＝0，所以a＋b＝1.3．已知关于x的不等式(eq\f(1,3))x－4≥3－2x，则该不等式的解集为()A．[－4，＋∞)B．(－4，＋∞)C．(－∞，－4)D．(－4,1]答案A解析不等式(eq\f(1,3))x－4≥3－2x，即34－x≥3－2x，由于y＝3x是增函数，所以4－x≥－2x，解得x≥－4，所以原不等式的解集为[－4，＋∞)．4．eq\r(3,－43)＋(eq\f(1,2))0＋SKIPIF1<0×(－eq\f(1,2))－4＝________.答案5解析eq\r(3,－43)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0＋SKIPIF1<0×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))－4＝－4＋1＋0.5×16＝5.题型一指数幂的运算例1计算：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5\f(1,16)))0.5－2×SKIPIF1<0－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2＋π)))0＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))－2；(2)2eq\r(3)×3eq\r(3,1.5)×eq\r(6,12).解(1)原式＝SKIPIF1<0－2×SKIPIF1<0－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2＝SKIPIF1<0－2×SKIPIF1<0－2＋eq\f(9,16)＝eq\f(9,4)－2×eq\f(9,16)－2＋eq\f(9,16)＝eq\f(9,4)－eq\f(9,8)－2＋eq\f(9,16)＝－eq\f(5,16).(2)原式＝SKIPIF1<0SKIPIF1<0＝6×3＝18.思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加．②运算的先后顺序．(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．跟踪训练1(多选)下列计算正确的是()A.eq\r(12,－34)＝eq\r(3,－3)B．SKIPIF1<0C.eq\r(\r(3,9))＝eq\r(3,3)D．已知x2＋x－2＝2，则x＋x－1＝2答案BC解析对于A，eq\r(12,－34)＝eq\r(12,34)＝SKIPIF1<0＝eq\r(3,3)≠eq\r(3,－3)，所以A错误；对于B，SKIPIF1<0＝－9a(a>0，b>0)，所以B正确；对于C，eq\r(\r(3,9))＝SKIPIF1<0＝eq\r(3,3)，所以C正确；对于D，因为(x＋x－1)2＝x2＋2＋x－2＝4，所以x＋x－1＝±2，所以D错误．题型二指数函数的图象及应用例2(1)(多选)已知实数a，b满足等式3a＝6b，则下列可能成立的关系式为()A．a＝bB．0<b<aC．a<b<0D．0<a<b答案ABC解析由题意，在同一平面直角坐标系内分别画出函数y＝3x和y＝6x的图象，如图所示，由图象知，当a＝b＝0时，3a＝6b＝1，故选项A正确；作出直线y＝k，当k>1时，若3a＝6b＝k，则0<b<a，故选项B正确；作出直线y＝m，当0<m<1时，若3a＝6b＝m，则a<b<0，故选项C正确；当0<a<b时，易得2b>1，则3a<3b<2b·3b＝6b，故选项D错误．(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．答案(0,2)解析在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．∴实数b的取值范围是(0,2)．思维升华对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．跟踪训练2(多选)已知函数f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1，b≠0)的图象不经过第三象限，则a，b的取值范围可能为()A．0<a<1，b<0B．0<a<1,0<b≤1C．a>1，b<0D．a>1,0<b≤1答案ABC解析若0<a<1，则函数y＝ax的图象如图所示，要想f(x)＝ax－b的图象不经过第三象限，则需要向上平移，或向下平移不超过1个单位长度，故－b>0或－1≤－b<0，解得b<0或0<b≤1，故A，B正确；若a>1，则函数y＝ax的图象如图所示，要想f(x)＝ax－b的图象不经过第三象限，则需要向上平移，故－b>0，解得b<0，即C正确，D错误．题型三指数函数的性质及应用命题点1比较指数式的大小例3已知a＝1.30.6，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))－0.4，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))0.3，则()A．c<b<aB．a<b<cC．c<a<bD．b<c<a答案D解析a＝1.30.6>1.30＝1，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))－0.4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))0.4，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))0.3，因为指数函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))x是减函数，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))0.4<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))0.3<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))0＝1，所以b<c<1，所以b<c<a.命题点2解简单的指数方程或不等式例4已知p：ax<1(a>1)，q：2x＋1－x<2，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析∵ax<1，当a>1时，y＝ax是增函数，∴p：{x|x<0}．对于不等式2x＋1<x＋2，作出函数y＝2x＋1与y＝x＋2的图象，如图所示．由图象可知，不等式2x＋1<x＋2的解集为{x|－1<x<0}，∴q：{x|－1<x<0}．又∵{x|－1<x<0}⊆{x|x<0}，∴p是q的必要不充分条件．命题点3指数函数性质的综合应用例5已知函数f(x)＝eq\f(8x＋a·2x,a·4x)(a为常数，且a≠0，a∈R)是奇函数．(1)求a的值；(2)若∀x∈[1,2]，都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围．解(1)f(x)＝eq\f(1,a)·2x＋eq\f(1,2x)，因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即eq\f(1,a)·eq\f(1,2x)＋2x＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)·2x＋\f(1,2x)))，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,2x)))＝0，即eq\f(1,a)＋1＝0，解得a＝－1.(2)由(1)知a＝－1，所以f(x)＝eq\f(1,2x)－2x，x∈[1,2]，所以eq\f(1,22x)－22x≥meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x)－2x))，所以m≥eq\f(1,2x)＋2x，x∈[1,2]，令t＝2x，t∈[2,4]，设y＝eq\f(1,2x)＋2x，则y＝t＋eq\f(1,t)，t∈[2,4]，由于y＝t＋eq\f(1,t)在[2,4]上单调递增，所以m≥4＋eq\f(1,4)＝eq\f(17,4).所以实数m的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17,4)，＋∞)).思维升华(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．跟踪训练3(1)(多选)已知函数f(x)＝eq\f(ex－1,ex＋1)，则下列结论正确的是()A．函数f(x)的定义域为RB．函数f(x)的值域为(－1,1)C．函数f(x)是奇函数D．函数f(x)为减函数答案ABC解析因为ex>0，所以ex＋1>0，所以函数f(x)的定义域为R，故A正确；f(x)＝eq\f(ex－1,ex＋1)＝1－eq\f(2,ex＋1)，由ex>0⇒ex＋1>1⇒0<eq\f(1,ex＋1)<1⇒－2<－eq\f(2,ex＋1)<0⇒－1<1－eq\f(2,ex＋1)<1，所以函数f(x)的值域为(－1,1)，故B正确；因为f(－x)＝eq\f(e－x－1,e－x＋1)＝eq\f(\f(1,ex)－1,\f(1,ex)＋1)＝eq\f(1－ex,1＋ex)＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，故C正确；因为函数y＝ex＋1是增函数，所以y＝ex＋1>1，所以函数y＝eq\f(2,ex＋1)是减函数，所以函数y＝－eq\f(2,ex＋1)是增函数，故f(x)＝eq\f(ex－1,ex＋1)＝1－eq\f(2,ex＋1)是增函数，故D不正确．(2)函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大eq\f(a,2)，则a的值为________．答案eq\f(3,2)或eq\f(1,2)解析当a>1时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递增，由题意可得，f(2)－f(1)＝a2－a＝eq\f(a,2)，解得a＝eq\f(3,2)或a＝0(舍去)；当0<a<1时，函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，由题意可得，f(1)－f(2)＝a－a2＝eq\f(a,2)，解得a＝eq\f(1,2)或a＝0(舍去)，综上所述，a＝eq\f(3,2)或a＝eq\f(1,2).课时精练一、单项选择题1．下列结论中，正确的是()A．若a>0，则SKIPIF1<0＝aB．若m8＝2，则m＝±eq\r(8,2)C．若a＋a－1＝3，则SKIPIF1<0＝±eq\r(5)D.eq\r(4,2－π4)＝2－π答案B解析对于A，根据分数指数幂的运算法则，可得SKIPIF1<0，当a＝1时，SKIPIF1<0＝a；当a≠1时，SKIPIF1<0≠a，故A错误；对于B，m8＝2，故m＝±eq\r(8,2)，故B正确；对于C，a＋a－1＝3，则SKIPIF1<0＝a＋a－1＋2＝3＋2＝5，因为a>0，所以SKIPIF1<0＝eq\r(5)，故C错误；对于D，eq\r(4,2－π4)＝|2－π|＝π－2，故D错误．2．已知函数f(x)＝ax－a(a>1)，则函数f(x)的图象不经过()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案B解析y＝ax(a>1)是增函数，经过点(0,1)，因为a>1，所以函数f(x)的图象需由函数y＝ax(a>1)的图象向下平移超过1个单位长度得到，所以函数f(x)＝ax－a的图象如图所示．故函数f(x)的图象不经过第二象限．3．已知a＝31.2，b＝1.20，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－0.9，则a，b，c的大小关系是()A．a<c<bB．c<b<aC．c<a<bD．b<c<a答案D解析因为b＝1.20＝1，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－0.9＝30.9，且y＝3x为增函数，1.2>0.9>0，所以31.2>30.9>30＝1，即a>c>b.4．设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减，则a的取值范围是()A．(－∞，－2]B．[－2,0)C．(0,2]D．[2，＋∞)答案D解析函数y＝2x在R上是增函数，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减，则函数y＝x(x－a)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))2－eq\f(a2,4)在区间(0,1)上单调递减，因此eq\f(a,2)≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，＋∞)．5．“关于x的方程a(2|x|＋1)＝2|x|没有实数解”的一个必要不充分条件是()A．a≤eq\f(1,2)B．a>1C．a≤eq\f(1,2)或a≥1D．a<eq\f(1,2)或a≥1答案C解析a(2|x|＋1)＝2|x|，因为2|x|＋1>0，所以a＝eq\f(2|x|,2|x|＋1)＝1－eq\f(1,2|x|＋1)，因为2|x|≥20＝1，所以2|x|＋1≥2,0<eq\f(1,2|x|＋1)≤eq\f(1,2)，eq\f(1,2)≤1－eq\f(1,2|x|＋1)<1，要使a(2|x|＋1)＝2|x|没有实数解，则a<eq\f(1,2)或a≥1，由于a<eq\f(1,2)或a≥1不能推出a≤eq\f(1,2)，故A不成立；由于a<eq\f(1,2)或a≥1不能推出a>1，故B不成立；由于a<eq\f(1,2)或a≥1⇒a≤eq\f(1,2)或a≥1，且a≤eq\f(1,2)或a≥1不能推出a<eq\f(1,2)或a≥1，故C正确；D为充要条件，不符合要求．6．已知函数f(x)＝2x－2－x＋1，若f(a2)＋f(a－2)>2，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1)B．(－2,1)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D．(－1,2)答案C解析令g(x)＝2x－2－x，定义域为R，且g(－x)＝－g(x)，所以函数g(x)是奇函数，且是增函数，因为f(x)＝g(x)＋1，f(a2)＋f(a－2)>2，则g(a2)＋g(a－2)>0，即g(a2)>－g(a－2)，又因为g(x)是奇函数，所以g(a2)>g(2－a)，又因为g(x)是增函数，所以a2>2－a，解得a<－2或a>1，故实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞)．二、多项选择题7．已知函数f(x)＝|2x－1|，实数a，b满足f(a)＝f(b)(a<b)，则()A．2a＋2b>2B．∃a，b∈R，使得0<a＋b<1C．2a＋2b＝2D．a＋b<0答案CD解析画出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示．由图知1－2a＝2b－1，则2a＋2b＝2，故A错误，C正确；由基本不等式可得2＝2a＋2b>2eq\r(2a·2b)＝2eq\r(2a＋b)，所以2a＋b<1，则a＋b<0，故B错误，D正确．8．已知函数f(x)＝m－eq\f(ex,1＋ex)是定义域为R的奇函数，则下列说法正确的是()A．m＝eq\f(1,2)B．函数f(x)在R上的最大值为eq\f(1,2)C．函数f(x)是减函数D．存在实数n，使得关于x的方程f(x)－n＝0有两个不相等的实数根答案AC解析因为函数f(x)＝m－eq\f(ex,1＋ex)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝m－eq\f(e0,1＋e0)＝0，解得m＝eq\f(1,2)，此时f(x)＝eq\f(1,2)－eq\f(ex,1＋ex)，则f(－x)＝eq\f(1,2)－eq\f(e－x,1＋e－x)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,1＋ex)＝eq\f(1,2)－eq\f(1＋ex－ex,1＋ex)＝eq\f(1,2)－1＋eq\f(ex,1＋ex)＝eq\f(ex,1＋ex)－eq\f(1,2)＝－f(x)，符合题意，故A正确；又f(x)＝eq\f(1,2)－eq\f(ex,1＋ex)＝eq\f(1,2)－eq\f(ex＋1－1,1＋ex)＝eq\f(1,1＋ex)－eq\f(1,2)，因为ex>0，所以ex＋1>1，则0<eq\f(1,1＋ex)<1，所以－eq\f(1,2)<f(x)<eq\f(1,2)，即f(x)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，故B错误；因为y＝ex是增函数，y＝ex>0，且y＝eq\f(1,x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝eq\f(1,1＋ex)－eq\f(1,2)是减函数，故C正确；因为f(x)是减函数，所以y＝f(x)与y＝n最多有1个交点，故f(x)－n＝0最多有一个实数根，即不存在实数n，使得关于x的方程f(x)－n＝0有两个不相等的实数根，故D错误．三、填空题9．SKIPIF1<0＝________.答案81解析原式＝SKIPIF1<0＝2－1＋8＋(23×32)＝81.10．已知函数f(x)＝SKIPIF1<0有最大值3，则a的值为________．答案1解析令g(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))g(x)，∵f(x)有最大值3，∴g(x)有最小值－1，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,\f(3a－4,a)＝－1，))解得a＝1.四、解答题11．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值．解令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当a>1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4