2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第8章　§8.1　直线的方程（原卷版）

第第页§8.1直线的方程课标要求1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)．知识梳理1．直线的方向向量设A，B为直线上的两点，则eq\o(AB,\s\up6(→))就是这条直线的方向向量．2．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.3．直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα.(α≠90°)(2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).4．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)不含直线x＝x1和直线y＝y1截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用常用结论1．直线的斜率k与倾斜角α之间的关系α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0不存在k<0牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．3．斜率为k的直线的一个方向向量为(1，k)．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角．()(2)直线的斜率越大，倾斜角就越大．()(3)若直线的倾斜角为α，则斜率为tanα.()(4)经过P0(x0，y0)的任意直线方程可表示为y－y0＝k(x－x0)．()2．已知点A(2,0)，B(3，eq\r(3))，则直线AB的倾斜角为()A．30°B．60°C．120°D．150°3．过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_____．4．直线x＋(m＋1)y＋m＝0(m∈R)所过的定点坐标为________．题型一直线的倾斜角与斜率例1(1)若直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，eq\r(3))为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A．[－eq\r(3)，1]B．(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，1))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(3),3)))∪[1，＋∞)延伸探究本例(1)条件不变，则直线l的倾斜角的取值范围是________．(2)已知直线l的方程为xsinα＋eq\r(3)y－1＝0，α∈R，则直线l倾斜角的范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3)))跟踪训练1(1)已知直线l的一个方向向量为p＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)，cos\f(π,3)))，则直线l的倾斜角为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)(2)在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的边AB所在直线斜率为2eq\r(3)，则边AC所在直线斜率的一个可能值为________．题型二求直线的方程例2求符合下列条件的直线方程：(1)直线过点A(－1，－3)，且斜率为－eq\f(1,4)；(2)斜率为eq\f(3,4)，且与两坐标轴围成的面积为6；(3)直线过点(2,1)，且横截距为纵截距的两倍．跟踪训练2(1)过点P(1,4)在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条(2)在△ABC中，若A(2,3)，B(－2,0)，C(2,0)，则∠BAC的角平分线所在直线l的方程是()A．2x－y＋1＝0 B．2x－y－1＝0C．2x－3y－2＝0 D．3x－y－1＝0题型三直线方程的综合应用例3已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．延伸探究1．在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．2．在本例条件下，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．跟踪训练3(1)若直线l：(a－2)x＋ay＋2a－3＝0经过第四象限，则a的取值范围为()A．(－∞，0)∪(2，＋∞)B．(－∞，0)∪[2，＋∞)C．(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))D．(－∞，0)∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))(2)已知直线kx－y＋2k－2＝0恒过定点A，点A在直线mx＋ny＋2＝0上，其中m，n均为正数，则eq\f(2,m)＋eq\f(2,n)的最小值为()A．4 B．4＋4eq\r(2)C．8 D．4－4eq\r(2)课时精练一、单项选择题1．在x轴与y轴上截距分别为－2,2的直线的倾斜角为()A．45°B．135°C．90°D．180°2．已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c不过()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．已知直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，若l过点A(－4,3)，则直线l的方程为()A．y－3＝－eq\f(3,2)(x＋4)B．y＋3＝eq\f(3,2)(x－4)C．y－3＝eq\f(3,2)(x＋4)D．y＋3＝－eq\f(3,2)(x－4)4．直线l的倾斜角是直线eq\r(3)x－y－1＝0的倾斜角的2倍，且过点(eq\r(3)，－1)，则直线l的方程为()A.eq\r(3)x－y－4＝0 B．2eq\r(3)x－y－7＝0C.eq\r(3)x＋y－2＝0 D.eq\r(3)x＋y－4＝05．已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(4,3)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程为()A．4x－3y＋1＝0 B．3x－4y－1＝0C．4x＋3y＋1＝0 D．3x＋4y－1＝06．已知直线l：y＝eq\f(1,2)x＋1与y轴交于点P，将l绕点P逆时针旋转45°后与x轴交于点Q，要使直线l平移后经过点Q，则应将直线l()A．向左平移eq\f(1,6)个单位长度B．向右平移eq\f(1,6)个单位长度C．向左平移eq\f(5,3)个单位长度D．向右平移eq\f(5,3)个单位长度二、多项选择题7．已知直线l的方程为ax＋by－2＝0，则下列判断正确的是()A．若ab>0，则直线l的斜率小于0B．若b＝0，a≠0，则直线l的倾斜角为90°C．直线l可能经过坐标原点D．若a＝0，b≠0，则直线l的倾斜角为0°三、填空题8．已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为________．9．过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_______________．10．已知点A(2,4)，B(4,2)，直线l：y＝kx－2，则直线l经过定点________，若直线l与线段AB有公共点，则k的取值范围是________．四、解答题11．根据所给条件求直线方程．(1