2022年高考数学指数函数与对数函数考点练习含答案

专题7指数函数与对数函数

一、单选题(本大题共10小题，共50.0分)

1.已知函数y=loga（x+3）-1（其中a>0且a力1）的图象恒过定点A,若点A也在函数

f（x）=3x+b的图象上，则/。0前4）的值为（）

A.IB.IC.ID.I

9999

2.已知2a=6b=10,则3,ab,a+b的大小关系是（）

A.ab<a+b<3B,ab<3<a+bC.3<a+b<abD.3<ab<a+b

3.如图，点O为坐标原点，点A(l,l),若函数y=aX(a>0,且aH1)及logbX(b>0,且

b#1)的图象与线段OA分别交于点M,N,且M,N恰好是线段OA的两个三等分

点，则a,b满足（）

A.a<b<1

B.b<a<1

C.b>a>1

D.a>b>1

4.已知定义在R上的偶函数f(x)在(-8,0)上单调递增，则()

A.f(2-l)<f(logj6)<f(log41)

B.f(24)<f(lOg4i)<f(logi6)

C.f(logi6)<f(24)<f(log4i)

D.f(logj6)<f(log4i)<f(24)

5.科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得

至ij：任画一条线段，然后把它分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中

间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了由4条小线段构成的折线，称为“一次

构造”；用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到由16条更小的线段构成的

折线，称为“二次构造”；…；如此进行“n次构造”，就可以得到一-条科赫曲线.若

要在构造过程中使得到的折线的长度大于初始线段的100倍，则至少需要构造的次数

是()(取lg3x0.4771,lg2x0.3010)

A.16B.17C.24D.25

6.我国于2021年5月成功研制出目前国际上超导量子比特数量最多的量子计算原型机

“祖冲之号”，操控的超导量子比特为62个,已知1个超导量子比特共有“|0>,

|1>”2种叠加态，2个超导量子比特共有“|00>,|01>,|10>,|11>”4种叠加

态，3个超导量子比特共有“|000>,|001>,|010>,|011>,|100>,|101>,

|110>,|111>”8种叠加态，…,只要增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就呈

指数级增长.设62个超导量子比特共有N种叠加态，则N是一个位的数.(参

考数据：lg2*0.3010)()

A.18B.19C.62D.63

7.给出下列四个命题：

①函数f(x)=2a2x-i_1的图象过定点G，—1)；

②已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x20时，1^)=*(*+1).若1^)=-2,则

实数a=-1或2；

③若10ga(>l，则a的取值范围是G，l)：

④对于函数f(x)=Inx,其定义域内任意X1力X2,都满足f(士言)>&喈也.

其中所有正确命题的个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.已知m>l,n>1,且Inm-Inn=2n-m,下列结论正确的是()

①G)m<G)n；②巳>震；(3)]ogn2021>logn2021；

A.①④B.②③C.①②D.②④

9.已知关于x的不等式logax>4x(a>0且a于1)的解集为1|0<x<1},则a=()

A.卫B.：C.7D.2

224

10.已知Igm+Ign=0(m>0且mHl,n>0且n=1),则函数f(x)=m*与函数g(x)=

—10gnX的图象可能是()

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

11.下列说法中正确的有(把你认为正确的序号全部写上)

2

(1)［(-2)］4=-1;

(2)己知logaf<1,则a>［；

(3)函数y=的图象与函数y=-3-的图象关于原点对称；

(4)函数y=lg(-x2+x)的递增区间为(一8,1.

12.有浓度为90%的溶液100g,从中倒出10g后再倒入10g水称为一次操作，要使浓度低

于10%,这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg2=0.3010,Ig3=

0.4771).

x

13.函数f(x)=a+loga(x+1)在［0,1］上的最大值和最小值之和为a,则a的值

为_________

14.如图，已知过原点O的直线与函数9=1殁声的图象交于A,B两点，分别过A,B作

y轴的平行线与函数》=10gg图象交于C,D两点，若BC〃x轴，则四边形ABCD的

面积为.

三、解答题(本大题共3小题，共30分)

15.(1)已知一13唳941,求函数y=(；广1-4(力+2的最大值和最小值.

(II)已知函数g(x)=(a+l)x-2+l(a>0)的图像恒过定点A,且点A又在函数f(x)=

log百(x+a)的图像上.求不等式g(x)>6的解集.

16.设f(x)=aX(a>0,且awl),其图象经过点(会同)，又g(x)的图象与f(x)的图象关于

直线y=x对称.

(1)若f(2m)=4,f(n)=25,求2m+n的值；

(2)若g(x)在区间NTU,c］上的值域为且n-m=|,求c的值.

17.(1)已知TWlogfWl,求函数y=G)'T—4(|)'+2的最大值和最小值.

(2)已知函数g(x)=(a+1尸-2+i(a>0)的图像恒过定点A,且点A又在函数f(x)=

log机(x+a)的图像上.

①求不等式g(x)>6的解集；②若h(x)=*$,求h(l-e)+h(f)的值.

专题7指数函数与对数函数

一、单选题(本大题共10小题，共50.0分)

18.已知函数y=loga(x+3)-1(其中a>0且a力1)的图象恒过定点A,若点A也在函数

f(x)=3x+b的图象上，则,。哂4)的值为()

A.IB.IC.ID.I

9999

【答案】A

【解析】解：•函数y=loga(x+3)—l(a>0,aH1)的图象恒过定点A(-2,-l),

将x=-2,丫=一1代入丫=3*+1)得：3-2+b=—l,

：•b1=--1-0,

9

•••f(x)=3x一拳

则f(log94)=f(log32)=3iog32—三

=2C---10=一8.

99

故选A.

19.已知2a=6b=10,则3,ab,a+b的大小关系是()

A.ab<a+b<3B,ab<3<a+bC.3<a+b<abD.3<ab<a+b

【答案】D

【解析】解：因为：2a=6b=10,

所以2ab=10bt6ab=1Qa,

以上两式相乘可得2ab.6ab=1Qa.“b,

即12ab=ioa+b,所以ab<a+b,

又因为2a=6b=10,

则a=log210>log28=3,b=log610>log66=1,

所以ab=log210xlog610>3x1=3,

所以3<ab<a+b.

故选D.

20.如图，点。为坐标原点，点A（l,l）,若函数y=aX（a>0,

且a力1）及logbX（b>0,且b*1）的图象与线段OA分别交

于点M,N,且M,N恰好是线段OA的两个三等分点，

则a,b满足（）

A.a<b<1

B.b<a<1

C.b>a>1

D.a>b>1

【答案】A

【解析】解：由图象可知，函数均为减函数，所以0<a<l,0<b<l,

因为点O为坐标原点，点

又M、N恰好是线段OA的两个三等分点，

1,6通2限，、

——<----=-----<1

27279

a<b<1,

故选：A.

21.已知定义在R上的偶函数f(x)在(-8,0)上单调递增，则()

A.f(2-5)<f(logj6)<f(log4i)

B.f(24)<f(log4l)<f(logi6)

C.f(logi6)<f(24)<f(log4i)

D.f(10gi6)<f(10g4i)<f(2-5)

4b

【答案】D

【解析】解：因为1。826=-1。846,1084：=—10845,而函数y=log,x是增函数,

45

所以log46>log45>1,

而由函数y=2乂的图象得°v2一;<1，

因此log46>log45>1>2-5>o-

又因为定义在R上的偶函数f(x)在(-8,0)上单调递增，

所以函数f(x)在(0,+8)上单调递减，

因此f(log46)<f(log45)<

即f(㈣6)<f(log41)<f(24).

故选D.

22.科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得

至任画一条线段，然后把它分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中

间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了由4条小线段构成的折线，称为“一次

构造”；用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到由16条更小的线段构成的

折线，称为“二次构造”；…；如此进行“n次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若

要在构造过程中使得到的折线的长度大于初始线段的100倍，则至少需要构造的次数

是()(取lg3〜0.4771,lg2=0.3010)

A.16B.17C.24D.25

【答案】B

【解析】解：设初始长度为a,各次构造后的折线长度构成一个数列｛an｝，

由题知a】=(a,an+i=gan，则｛a4为等比数歹U，

•••an=a.C)n,

假设构造n次后，折线的长度大于初始线段的100倍,

畔=0n>100,

IglOO

・•・n>log4100=

lg4Tg3'

IglOO2

----------------------------q16

lg4-lg32x0.3010-0.4771

：・n>17

故至少需要通过构造的次数是17.

故选B.

23.我国于2021年5月成功研制出目前国际上超导量子比特数量最多的量子计算原型机

“祖冲之号”，操控的超导量子比特为62个,已知1个超导量子比特共有“|0>,

|1>”2种叠加态，2个超导量子比特共有“|00>,|01>,|10>,种叠加

态，3个超导量子比特共有“|000>,|001>,|010>,|011>,|100>,|101>,

|110>,|111>”8种叠加态，.…只要增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就呈

指数级增长.设62个超导量子比特共有N种叠加态，则N是一个_______位的数.(参

考数据：Ig270.3010)()

A.18B.19C.62D.63

【答案】B

【解析】解：由题意得：62个超导量子比特共有N=262种叠加态，

N=262=10lg262-1062lg2

X1018.662-JQ0.662x1018,

又1=100<io0-662<IO1=10,

所以N是一个19位的数.

故选B.

24.给出下列四个命题：

①函数f(x)=2a2XT-1的图象过定点

②已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当xNO时，f(x)=x(x+1).若f(a)=-2,则

实数a=-1或2；

③若loga^>l，则a的取值范围是G，l)；

④对于函数f(x)=Inx,其定义域内任意X1kx2,都满足f(空)>吗0乜

其中所有正确命题的个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】解：对于①函数f(x)=2a2x-i-i的图象，令2x-l=0,解得x=[,当x=]

时,啜=1，

故函数的图像经过定点G，l),故①错误;

②已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，

当x>0时，f(x)=x(x4-1).

当xVO时，-x>0,故f(-x)=(-x)(-x+1),整理得：f(x)=x(l-x),

故f(x)=FW与空煞

若f(a)=—2,显然a<0,

所以a(l-a)=-2,解得a=-1或2(舍去)，

则实数a=-l,故②错误；

③若loga：>1=logaa，可得0Va<l,且a则a的取值范围是G，l)，故③正确;

④对于函数f(x)=Inx,其定义域内任意XiOx2,故函数为增函数，故利用函数的图像

都满足f(第)>竺◎?).

故④正确.

故选B.

25.已知m>l,n>1,且Inm-Inn=2n-m,下列结论正确的是()

①(护<(y：②巳〉震；(3)logn2021>logn2021!④m-g>n-A.

A.①④B.②③C.①②D.②④

【答案】A

【解析】解：由条件可得Inm+m=Inn+n+n>Inn+n,

易知函数f(x)=Inx+x在(0,+8)上单调递增，所以

m>n,故®m<(<n,^<^1,logm2021<logn2021,

又丫=X+:在(1,+8)上单调递增，

所以m+工>n+S即m—三〉n-三，所以①④正确.

故选A

26.已知关于x的不等式1。8@*>4*5>0且241)的解集为卜|0<*<^，则a=()

A.红B.；C.iD.2

224

【答案】A

【解析】解：logaX>4x(a>0且a*1),显然y=4*和y=logaX的图象如图所示：

{x|0<x<》，

设点A为两个函数图象的交点，则A(：,2),

所以loga：=2,即a=¥.

故选A.

27.已知Igm+Ign=0(m>。且mH1,n>0且nH1),则函数f(x)=m*与函数g(x)=

一lognX的图象可能是()

【答案】B

【解析】解：Igm+Ign=0,mn=1.

Vg(X)=一lognX的定义域是(0,+8),排除A.

若m>l,则0<n<l,此时f(x)=mx是增函数，g(x)=-lognX是增函数，排除D;

若0<m<l,则n>l,此时f(x)=mx是减函数，g(x)=-lognX是减函数，排除C;

故B正确.

故选B.

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

28.下列说法中正确的有(把你认为正确的序号全部写上)

(1)[(-2)2]4=-|；

(2)已知loga[<1，则a>j

(3)函数y=3X的图象与函数y=-3^的图象关于原点对称；

(4)函数y=lg(-x2+x)的递增区间为(一8,斗

【答案】(3)

【解析】(1)[(一2)2]4=[22]4=2T=\故(1)不正确.

(2)当a>1时，loga<1>EPloga^<logaa,所以a>：,所以a>l.

当0<a<l时，loga|<1,即loga：<logaa,所以a<：,所以0<a<：.

综上，a>1或0<a<：,故(2)不正确.

X

(3)因为f(x)=3,f(-x)=3-x,-f(-x)=-3-x,

所以y=与y=-3-x的图象关于原点对称，故(3)正确.

(4)f(x)=lg(-x2+x)的定义域为(0,1),故(4)不正确.

29.有浓度为90%的溶液100g，从中倒出10g后再倒入10g水称为一次操作，要使浓度低

于10%,这种操作至少应进行的次数为(参考数据：Ig2=0.3010,lg3=

0.4771).

【答案】21

【解析】解：每操作1次，浓度变为上一次的90%,

设至少操作x次才能使其浓度低于10%，

故0.9x0,9X<0.1,即0.9X+1<0.1,

则lg0.9x+i<IgO.l,

即(x+l)lg0.9<lg?=-1,

—1—111

即x+1>1-=--=V—=——-——«21.834,

'lg0.9lg9-ll-21g31-2X0.4771

即x>20.834.

故x的最小值为21.

故答案为21.

x

30.函数f(x)=a+loga(x4-1)在［0,1］上的最大值和最小值之和为a,则a的值

为_________

【答案】|

【解析】解：y=a*与y=loga(x+1)具有相同的单调性.

x

•••f(x)=a+loga(x+1)在［0,1］上单调,

1

・•・f(0)+f(l)=a,即a°+logal4-a4-loga2=a,

化简得l+loga2=0,解得a=g

故答案为：|

31.如图，已知过原点O的直线与函数"=log/的图象交于A,B两点，分别过A,B作

y轴的平行线与函数。=10g/图象交于C,D两点，若BC〃x轴，则四边形ABCD的

面积为.

【答案］-3lofoS

【解析】解：设点A、B的横坐标分别为X1、x2,由题设知，X1>1,x2>1.

则点A、B纵坐标分别为loggXi、log8x2,

根据题意设直线AB的方程为y=kx,

则10g8Xi=kX],log8X2=kx2,

因为X]>1,x2>1.所以loggXI>0,log8x2>0,

所以为幽=皿，

XlX2

点C、D坐标分别为(Xi，log2Xi),(x2,log2x2),

由于BC平行于X轴知10g2X]=10g8X2，即得log2X]=110g2X2，1X2=X;，

代入XzloggXi=Xilog8X2得xfloggXi=BxJoggXj.

由于X]>1知loggX1力0,xf=3xi，考虑X]>1,解得X]=V3>

于是点A的坐标为(W,log8遮)即A(百,，log23),

B(3V3,ilog23),C(V3,ilog23),D(3V3,|log23),

梯形ABCD的面积为S=|(AC+BD)xBC

=<x1/23+log23)x2^/5=^^loga3-

23v

故答案为挈1喻3.

三、解答题(本大题共3小题，共30分)

32.(I)已知一1Slog资W1,求函数y=(：尸-1一4©尸+2的最大值和最小值.

(H)已知函数g(x)=(a+1广2+i(a>0)的图像恒过定点A,且点A又在函数f(x)=

logV3(x+a)的图像上.求不等式g(x)>6的解集•

【答案】(I)解：由T41翼x<1得；4x42.

令t=(沪则:《t4当，

所以y=管2-4t+2=4(t一》2+1.

.•.当t=[,即G)x=]，x=10^,ymin=1；

当t=；，即G)x=；,x=2B^,ymax=

(U)解：g(x)=(a+1尸-2+i(a>0)的图象恒过定点A(2,2),

由log〃(2+a)=2,解得：a=1.

所以g(x)=2X~2+1.

所以不等式g(x)>6变为：2*-2+i>6,解得：x>2+log25.

所以不等式g(x)>6的解集为：(2+log25,+8).

33.设f(x)=aX(a>0,且aRl),其图象经过点又g(x)的图象与f(x)的图象关于

直线y=x对称.

⑴若f(2m)=4,f(n)=25,求2m+n的值；

(2)若g(x)在区间c］上的值域为［m,n］,且n-m=£求c的值.

【答案】解：(1)因为函数f(x)=ax(a>0且a*1