2021上资格证数学科目三理论精讲基础知识2-1

2021上教师资格证数学科目三

基础知识2

一、函数的概念

二、基本初等函数

三、分段函数与反函数第二节函数

四、函数的三大性质

五、三角函数

(P9

认识

函数的概念

（一）映射

集合X

原像（X）

【注意】一对一、多对一是映射

一、函数的概念

（一）映射

【例】下列图象中，表示的是X到y的一个映射的有（）.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【注意】映射是一对一、多对一的关系。

认识

一、函数的概念

(一)映射

设X、y是两个非空集合，如果存在一个法则f,使得对X中每个元素X,按法则了,在丫中有

唯一确定的元素》与之对应，那么称/为从x到y的映射。

记作fix-Y

y称为元素x(在映射/T)的像，并记作/(%),即y-f(x)

x称为元素y(在映射./T)的一个原像，集合X称为映射型定义域，记作Df,即D尸X、

X中所有元素的像所组成的集合称为映射顺值域，记作4或/(X),

即Rf=f(X)={/(x)|㈤。

①或

考点1:映射类型判定

、函数的概念

I选+简+解I

（一）映射

1.设/是从集合X到集合y的映射，若R尸K即丫中任一元素y都是X中某元素的像，则称

然x到y上的映射或满射；

2.若对x中任意两个不同元素1。2,它们的像（1）。（2）,则称/为x到y的单」

3.若映射/既是单射，又是满射，则称为一一映射（或双射）。

:满射：值域都有源：

［单射：源不同则像不同；

、一二说

举个栗子方法总结：

①证明单射：令1w2,证明(1)w

I可截图I；(2)I

[②证明满射：集合丫中取任意(1),证明得

'、在_鼻属于%----------------------------'

例1：函数g：RTR定义为g(x)=2

例2：函数g：RTR定义为g(x)=x

(P10

举个栗子

【例】R是实数集合，+是正实数集合，规定/：XT10（Ve）,

证明逐氏到+的一个双射。

「方法总结：1।

；①证明单射：令1W2,证明（l）Hi

＞鼠崇明满射：集合y中取任意（1）,证明得

i在1属于X。：

、----------------------------

举个栗子=，则=log

log_

【例】火是实数集合，+是正实数集合，规定XTIO(ve),

证明逐E到+的一个双射。

证明：

v1,2e并且1h2(1)=io1wio2(2)

由于=

治汐是兽射°+,3=巳使A)=10=,即四满射。

综上所述/是双射。

!教

一、函数的概念

（二）函数的概念

A设/、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系/；使对于集合力中的任

意一个数X,在集合8中都有唯一确定的如（X）和它对应，

那么就称尸：4-5为从集合/到集合8的一个函数。

记作：y=/（x），x^Ao

（其中，x叫做自变量，x的取值范围4叫做函数的定义域；与x的值相对应的M直叫

做函数值，函数值的集合&）|6｝叫做函数的值域。）

A构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

（P10

函数知识点鸟瞰考点2：指对塞函数定义、

图象性质及计算公式

应用（初+高）

1.定义

常见函数案+教（高）

2.函数的三要素

（一）指数函数（1）定义域

（二）对数函数（2）值域

（3）对应关系

（三）幕函数

3.三大性质：

（四）分段函数与反函数单调性、奇偶性、周期性

(P10

二、基本初等函数

应用（初+高）

（一）指数函数案+教（高）

1.定义

一般地.函数y=d（Q>0.且awl）叫做指数函数.其中x是自变量，函数的定义

域为Ro

2.指数函数（。>0,且awl）的图象与性质

1匠1]0<«1

卜

卜i

y

y/V

图象/

3X3X

①x£R；②y£(0,+s);③过定点(0,1)

性质

④当x>0时j>1,xVO时,0VyV1④当王>0时,0V.V1,xVO时,y>l

⑤在R上是增函数.⑤在R上是减函数.

--------------------------e10

二、初等函数应用（初+高）

(一)指数函数案+教（高）

3.公式

(1),o=1(。。)

ru

(2)a(f=。+5(r，s£R,a>0)o

(3)—=ar~5(r,sGR,a>0)

ao

rrr

(4)(ab)=ab(^>0,/J>0,rER)o

(5)(。)，=(〃，sER,〃>0)o

(6)4〜=下(rGR,。>0)o

77

(7)a=Va(Q>0,r,5EN*,S>1)O

①11

二、基本初等函数应用（初+高）

案+教（高）

（二）对数函数

1.定义

函数

;y=log,X（Q＞。，且"1）：

X✓

叫做对数函数，其中X是自变量，函数的定义域是（0,+8）。

注意：对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：片21ogj,

都不是对数函数，而只能称其为对数型函数。

两个重要对数：①常用对数：以10为底的对数，卜己作lgN；|

②自然对数：以无理数e=2.71828…为底的对数J记作方底。|

①11

应用（初+高）

（二）对数函数案+教（高）

应用（初+高）

（二）对数函数案+教（高）

3.公式

★(1)特殊：log/=0,logj2=1,log—=-1(6f>0,且QW1)。

"a

★(2)和式：log“(,N)=log*f+log户(Q〉0且owl,M>0,N〉0)。

★(3)差式：log”*=b&M-log“N(a>0且QW1,M>0,N>0)0

①12

例:

（二）对数函数

3.公式

★换底：(〉且(且

(4)log6J”也40,1,c>0,cwl,b>0)o

"log/

n

★(5)指系：logmb=—\og(b(a>0,且“wl,b>0,m,nER,m^O)o

am

(6)还原：J°g“x=k)gaQX(Q>0且QWl,X>0)o

(7)倒数：logb=—!—(Q>0且qwl,力〉0且bwl)o

log/

Pl2

二、基本初等函数应用（初+高）

（三）幕函数案+教（高）

1.定义

一般地，形如

Z一_—.、

；y=xa（xER）；

、✓

的函数称为幕函数，其中a为常数。

注意：①幕函数的解析式必须是/=犬的形式，前面的系数必须是1,没有其他项。

②定义域与a的值有关。

一

（P13

二、基本初等函数应用（初+高）

案+教（高）

（三）累函数

2.幕函数的图象与性质y=xa（aGR）

1_

y=xy=3y=攵y=3y=x-\

性£\

定义域RRR0,+)CX火且X

值域R0,+)R0,+)c火且％0

奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数

x0,+）时，增X0,+）时，减

单调性增增增

x（-,0时，减X，0）时，减

①13

与〃集合〃的友谊小白船翻了吗?

【例1】(2015年上半年-初级中学-选择题)已知集合屈=上4=~1]},

N={y[y=e-x,x《。},则集合A/CN=()。

A.(-00,1]1]

C.0D.{1}

'(P13

换汤不换“药〃呀~

[例2](2015年上半年-高级中学-选择题)已知集合“=9卜=/，xe[-Ll]k

、>

N=[y]y=3。x>o},则集合A/nN=()。

A.(-oo,1]B.{1}

C.0D.(-1,1]

(P14

“特殊值法〃很简单

【例3】（2013年下半年-高级中学-选择题）若1,0<x<y<\,则下列关系式正

确的是（）o

A./>VB.xa>ya

C.logva>logvaD.logflx>log。y

(P14

〃特殊值法〃很简单

【例3】（2013年下半年-高级中学-选择题）若1,0<X<^<1,则下列关系式正

确的是（）o

A./"'B.xa>ya'

C.logYa>logvaD.logflx>logfly

(P14

论。函数的单调性是解题的关键。对于选择题，还可以选择特值法。A项：因为a>1,

所以y—，递增，因为0cxvy<1,所以/<ay,错误。B项：因为a>1,所以y=xa

递增，因为0<x<y<l,所以rvy。，错误。C项：因为logra<0,logi<0,底数

大于0小于1时，真数相同，底数不同，底数越小，对数越大，所以bgxQAlog/,正确。D

项：因为。>1,所以y=logqX递增，因为0<x<y<l,所以log“x<logj,错误。

法2：特值法，令。=2,x=-,v=~

4-2

力项：V2<V2,错误。3项：一<—错误。.

C项:log2>log12,正确。

xD项：log2—<log2—,错误。

4.

(P14

认识

三、分段函数与反函数

(一)分段函数

1.定义：在定义域的不同部分用不同的解析式表示的函数称为分段函数。

2.儿种常见的分段函数

x,x>0,

(1)绝对值函数：y=x=<0,x=0,

-X,X<0o

Lx>0,

(2)符号函数：y=sgnx=<0,x=0,

—1,X<0o

Lx为有理数,

(3)狄利克雷函数：D(x)=4

0,x为无理数。①15

考点3：求反函数

三、分段函数与反函数

(二)反函数

1.定义：原函数=()=反函数()，记作(1)

(P15

＞三、分段函数与反函数

(二)反函数

2.性质

(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。

(2)函数存在反函数的充要条件是函数的定义域与值域一一对应。

(3)一个函数与它的反函数在相应区间上的单调性一致。

(P15

»三、分段函数与反函数

（二）反函数

2.性质

（4）反函数是相互的。

（5）定义域、值域相反，对应法则互逆。

（6）原函数一旦确定，反函数即确定（“三定”（在有反函数的情况下,

即满足性质（2））。

(P16

考点3：求反函数

L＞三、分段函数与反函数’、..............7二

同

（二）反函数

3.求反函数步骤：

（1）反解：把"寸'（X）看作是X的方程，解出X寸（y）；

（2）互换：将x,＞互换得歹寸（x）,注明其定义镀（即原函数的值域）.

例：已知函数=2-3,求其反函数-1。

就是一个算术题……

【例】（2013年下半年-高级中学-简答题）设/（x）=ge1求―（x）J（x）与广（x）

的图象关于哪条直线对称？

4

(P16

就是一个算术题……

【例】(2013年下半年-高级中学-简答题)设/(x)=；e、。求广(x)J(x)与广(x)

的图象关于哪条直线对称？

(1)解：令y二/(戈)二;e',则x=ln2y

故/T(x)=ln2x(x>0),关于歹=x对称。

一

①16

考点4：函数单调性、奇偶性

知识点鸟瞰

的定义及判定方法

1.定义应用（初+高）

常见函数

2.函数的三要素案+教（高）

（一）指数函数（1）定义域

（2）值域

（二）对数函数（3）对应关系

.三大性质：

（三）幕函数3

单调性、奇偶性、周期性

（四）分段函数与反函数

(P16

四、函数的三大性质应用

(一)单调性

增函数减函数

一般地，设函数/(%)的定义域为，/

/X,X2

如果对于定义域内某个区间。上的任意两个自变量।

定义

当X1VX2时，都有f］》</(2X那么就说函()(),那么就说

当X1VX2时,“都有fx>fX

数/(%)在区间。上是增函数函数/(%)在区间£注是减函数

y=f(x)

图象

：/(Xi)：f(x2)

描述0X~X

Opi~%.X.2

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

(P16

四、函数的三大性质

应用

（一）单调性

【注】函数的单调区间只能是其定义域的子

2.函数的单调区间与单调性的判定方法:1

!区间，不能把单调性相同的区间合在一起写

（1）定义法

1成并集。

①任取1,2&D,且K

2；：例：判断函数=，的单调性。

④定号（即判断差（1）-（2）的正负）；

⑤下结论（指出函数（）在给定的区间D上的单调性）.

P16

四、函数的三大性质

应用

（一）单调性

2.函数的单调区间与单调性的判定方法:

（1）定义法：作差判正负

（2）图象法（从图象上看升降）

（3）导数法

设函数厂/（x）在区间（*6）内可导，如果恒有/（x）>0,则函数产/（x）在

区间（。，6）上是增函数；如果恒有/（x）<0,则函数产/（工）在区间（*6）上是

减函数；如果恒有广（x）=0,则函数片/（x）在区间（。，6）上为常数函数。

(P17

谁说数学不用背

【例】(2016年下半年-初级、高级中学-论述题)函数单调性是刻画函数变化规律的重

要概念，也是函数的一个重要性质。

(1)请叙述函数严格单调递增的定义，并结合函数单调性的定义，说明中学数学课程中函

数单调性与哪些内容有关(至少列举出两项内容)；

(2)请列举至少两种研究函数单调性的方法，并分别简要说明其特点。

(P17

【参考答案】

函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的性质方面，如函数的定义域、值域、

最大值、最小值中有重要应用；在解不等式、证明不等式的过程中也有重要应用，同时在研究数列的

性质等其它数学内容的方面也有重要的应用。

（2）方法一：定义法。定义域中任意XI,X2,若Xl>%2,有f（xi）>f（%2）,则称函数危）在定义域上单调

递增；有益1）〈心2）,则称函数/。）在定义域上单调递减。定义法判断函数单调性比较适应于容易得出

加⑴与外。大小关系的函数。定义法思路清晰，是解决定义域问题的最直接的方式，但是对一些不太容

易判断出八XI）与/（X2）大小关系的函数，定义法研究函数的单调性比较麻频。

方法二：导数法。先确定函数的定义域，求出原函数的导数/J）,若导数/口）>0,则函数在定义域内

单调递增；若导数/«<0,则函数在定义域内单调递减。导数法适用于函数在其定义域内可导且能判

断/口）与0的大小关系的情况，多用于定义法解决不了和用定义法解题相对比较繁琐的题型。

4

（P17

(P7

第一节结束了，会了吗？

【例】（2015年上半年-高级中学-选择题）Vm6ER,"。＜6’是ua3\a/b”成立

的（）o

A.充分条件但不是必要条件

B.充分必要条件

C.必要条件但不是充分条件

D.以上都不是

映射简+应用（初+高）

函数的概念O/-----!案例+教（高）

--------------函数的概念

总结

指数函数

e基本初等函数/对数函数

鬲函数

第二节］4分段函数与反函数

单调性

卜函数的三大性质q奇偶性

预习：

周期性

函数余下内容

'三角函数

不等式、复数

应用

＞四、函数的三大性质案+教(高)

(二)奇偶性

奇函数

对定义域内任意,有对定义域内任意,有

定义XX