新教材人教A版必修第二册6. 3. 1 平面对量根本定理作业

20212022学年新教材人教A版必修其次册6.3.1平面对量根本

定理作业

1、在正方形中，“、N分别是3C、8的中点，假设AC=XAM+〃AN,

那么实数'+〃=()

;

2j_41

A.3B.3c.3D.2

AD=-ABBE^-BC

2、设RE分别是ARC的边上的点,2,3,假设

DE=AAB〃均为实数),那么

+〃AC(2,4+〃=|()

2j_j_j_

A.3B.3c.5D.2

uum

3如图AB=a,AC=b,DC=3BD,AE=2，E那C么°E=()

BDC

L375-3：

——a+—b—a——b

A.34B.124

3^173-57

C.43D.412

4、在Q旬中，C为线段上的一点，满意AC=2C3,假设℃=》。4+丁03,

那么()

21121331

x=—y=—x=—y=—x=­y=—x=—y=—

A.3,-3B.3,-3C.4,“4D.4,-4

5、在AABC中,假如AD,BE分别为BC,AC上的中线，且AO=a,BE=b,那

么BC为()

24222424

A.3。+3bB.3a_3bc.3a—3bD.—3。+3b

6、在AABC中，D在BC上，BD=2DC,设AB=a,AC=b,那么AD=()

L+LL+4L+4L—4

A.33B.33C.22D.22

52

|AB|=4,OC=-OA——OB

7、AB是圆。：炉+产=16的两个动点,33,假设“分

别是线段AB的中点，那么℃°"=()

A.8+473B.8-473

8、在AABC中，H为BC上异于B,C的任一点，”为AH的中点，假设

AM=AAB+RAC

)

j_2j_j_

A.2B.3c.6D.3

9、在四边形中，假设A。，3c不共线，E,尸分别为AB,8上的点,

-1--1

AE=-ABDF=-DC

且3,3，那么加=()

-AD+-BC-AD+-BC

A.33B.33

1.11.2

-AD——BC-AD+-BC

C.33D33

10、向量.力不共线，c=ka+b,2=4一匕，假如图11,那么()

A.k=l且。与“同向B.k=l且。与“反向

C.k=—1且。与d同向D.k=—1且C与d反向

e+e

A.-4^i+B,-q—3e2c.-3^D.~\^2

12、以下各组向量中，可以作为基底的是()

A弓=(1,2),02=(-2,1)Bq=(O,O),02=(2,3)

。.弓=(-3,4),02=(6,-8)。q=(2,-3),"-

13、在ABC中，DB=—3OC，假设AO=/AB+4AC,那么44的值为.

14、假设向量”二（1'2）,"=（X'4）能构成平面上的一组基底，那么实数x的取值

范围是.

15、如图，B是AC的中点，BE=2OB,P是平行四边形BCDE内（含边界）的一

点,且=有以下结论：

①当x=0时，ye[2,3]；

15

x=—,y——

②当P是线段CE的中点时，22.

③假设x+y为定值1,那么在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段;

④x-y的最大值为-1；

其中你认为正确的全部结论的序号为.

16、如图，在平行四边形AB。中，石为3c的中点，尸为的中点，假设

umn1umuum

AF=-AB+nAD

2,那么〃=

17、在平面直角坐标系内,A(0,5),B(-l,3)),C(4,t).

(I)假设t=3,求证△ABC为直角三角形.

(II)假设AB=MC,求实数入、t的值.

18、四边形ABCD中，AB=(6,1),BC=(x,y),CD=(-2,-3).

⑴假设BC//D4,试求x与y满意的关系式；

(2)满意(1)的同时又有AC，8。，求x,y的值及四边形A3CD的面积.

19、设a,b是两个不共线的向量，AB=ka+2b,BC=a+b,CD=a—2b.

(1)假设平面内不共线的四点0,A,B,C满意303=。4+2℃,求实数k的值;

⑵假设A,C,D三点共线，求实数k的值.

参考答案

I、答案C

将向量AM、AN用AB、A0表示，进而可将AB、A。用AM、AN表示,再由向

量加法的平行四边形法那么得出AC=AB+AD,代入可求得实数;I、〃的值，由此可

得出〃的值.

—..--1-

AM=AB+BM=AB+-AD

详解：由于2,①；

AN=AD+DN=AD+-AB

2,②

424-2-

AD=-AN——AMAB^-AM——AN

由①②得33,33

(42、/42、22

:.AC=AB+AD=\-AM——AN+-AN——AM\=-AM+-AN

(33)133)33

由于AC=4AM+〃AN,所以“=〃=〃=

应选：C.

名师点评

此题考查利用平面对量的根本定理求参数，解答的关键在于选择适宜的基底表示向量，

考查计算力量，属于中等题.

2、答案D

BE=-BC..„

由可得3,转化以A为起点的向量表示，将AE用AD6，AC表示，再由

DE=AE-AD,结合条件，即可求解.

详解

2222

BE=-BC:.BE=-BC,AE-AB=-AC——AB

3333

AE=-AC+-ABAD=-AB,:.AD=-AB

3322

—•--1-2-12

DE=AE-AD=——AB+-AC,A=——，产一

6363,

"=5

应选:D.

名师点评

此题考查向量的线性运算及几何意义，考查向量根本定理，属于根底题.

3、答案D

将A3,AC作为平面对量的一组基底，再结合DC=38D,AE=2EC,运算即可得解.

详解：由于℃==

_.3―1—3一,［一Q—5

DE=DC+CE=-BC+-CA=-(AC-AB)——AC=——AB+—AC

所以4343412,

又AB=a,AC=b,

-3-5-

DE=--a+—b

所以412

应选：D.

名师点评

此题考查了平面对量根本定理，重点考查了平面对量的线性运算，属于根底题.

4、答案B

由AC=2CB,利用向量三角形法那么可得OC-OA=2(OB-OC)，化为

OC=—OAH—OB„„_„,小口

33，又0c=+利用平面对量根本定理即可得出.

详解：AC=2CB)

...OC-OA=2(OB-OC),化简得。。3°+3°',

又OC=xOA+yOB

应选：B.

名师点评

此题主要考查平面对量根本定理的应用，依据向量的和差运算将向量进行分解是解决此

题的关键.

5、答案A

依据题意画出示意图，结合向量的线性运算，用基向量表示目标向量即可.

详解：依据题意，作图如下:

BC=b+-AC=b+-\a+-BC

22{2

24-

BC=—a+—b

整理可得：33

应选：A.

名师点评

此题考查用基底表示向量，属简洁题.

6、答案A

30=20。转化为以A为起点的向量表示，即可求解.

详解

BD=2DC,AD-AB=2AC-2AD

1?12

AD=-AB+-AC=-a+-b

3333

应选：A.

名师点评

此题考查向量的线性运算，以及向量根本定理，属于根底题.

7、答案C

详解

OM=~OA+~OB

由题意22那么

OCOM=\-OA--OB]\-OA+-OB\=-OA1--OB"+-OA■0B

(33八22J632

,又圆的半径

UUH兀

为4,一"，那么°4°8两向量的夹角为3.那么0A08=8,OA2=OB2=16,

所以0coM=12.故此题答案选C.

名师点评：此题主要考查平面对量的根本定理.用平面对量的根本定理解决问题的一般

思路是:先选择一组基底，并且运用平面对量的根本定理将条件和结论表示成基底的线

性组合,在基底未给出的状况下进行向量的运算,合理地选取基底会给解题带来便利.进

行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中.

8、答案A

依据题意，用ABAC表示出A”,与40,求出4〃的值即可.

详解

解：依据题意，设BH=xBC,那么

-1-1111

AM=-AH^-(AB+BH)=-(AB+xBC)=-AB+-x(AC-AB)

'2/'2/12/

=^(l-x)AB+^xAC

AM=AAB+juAC

A+//=—(1-jt)+—x=—

应选：A.

名师点评

此题主要考查了平面对量根本定理的应用，关键是要找到一组适宜的基底表示向量，是

根底题.

9、答案B

AO=-AC

连接AC,在AC取一点°,使得3，连接0E,0尸，结合题意易知E0和8C,

。产和AD的关系，进而可得结果.

AO=-AC

详解：连接A。，在A。取一点°,使得3,连接°£,OF.

AE=­ABDF=-DCEO=~BCOF=-AD

由于3,3,所以33,所以

12

EF=EO+OF=-BC+-AD

33.

应选：B.

名师点评

此题主要考查了平面对量根本定理的应用，但是此题不好建立坐标系，作帮助线结合向

量共线定理是解题的关键，属于中档题.

10、答案D

分析：利用向量共线的充要条件列出方程组，求出即可

详解.c//d,:.c=Ad,

1=4k

(

a+b-A、ka-b]),a,b不—共线,，'_1J1__”2)解得.

k=—1

彳=_d-—ci-b-—(a+Z>)=-c,

应选D.

名师点评：此题考查向量共线的向量形式的充要条件，属于根底题.

11、答案B

建立平面直角坐标系，分别求得A氏。的坐标，再得到。力的坐标求解.

详解：如下图：

建立平面直角坐标系：

那么4(3,-2),网2,1),。(3,1),

所以a=CA=(0,—3)=—3e2,b=CB=(-1,0)=—ex

所以a+心=_'-Be?.

应选：B

名师点评

此题主要考查平面对量的根本定理以及根本运算，还考查了数形结合的思想和运算求解

的力量，属于根底题.

12、答案A

推断各选项中的两个向量是否共线，可得出适宜的选项.

详解

对于A选项，【。，2),己2=(-2,1),由于1x1-2x(-2)*0,那么。和62不共线,A

选项中的两个向量可以作基底；

对于B选项，弓=(0,0),02=(2,3),那么耳和共线，B选项中的两个向量不能作基

底；

对于C选项，，=(—'4),02=(6,-8),那么02=-2e「c选项中的两个向量不能作

基底；

■_(13、1

对于D选项，92=(2，-3),124人那么241,D选项中的两个向量不能作

基底.

应选：A.

名师点评

此题考查基底概念的理解，解题的关键就是所找的两个向量不共线，考查推理力量与计

算力量，属于根底题.

13、答案二3

16

依据DB=-3DC,利用向量的加法法那么和平面对量根本定理得到

13

-AB+-AC

40=44再依据=+利用待定系数法求解.

详解：由于=—3QC,

AD=AB+BD^AB+^-BC

所以4，

=AB+总（AC-AB）=看AB+Jc

又^由于.AD=4AB+4AC

所以44-4.

44=』

所以16,

3

故答案为：16

名师点评

此题主要考查平面对量的根本定理以及加法法那么，还考查了运算求解的力量，属于根

底题.

14、答案{x|x，2}

不共线的两个向量可以作为基底，由此列不等式，解不等式求得了的取值范围.

详解

要使向量"=°=（"'4）能构成平面上的一组基底，那么“力不共线，即lx4W2》,

解得"2.

故答案为：

名师点评

本小题主要考查能够作为基底的条件，考查平面对量的坐标运算，属于根底题.

15、答案②③④

利用向量共线的充要条件推断出①错，③对；利用向量的运算法那么求出°尸，求出x,

y推断出②对,利用三点共线解得④对

详解

对于①当据共线向量的充要条件得到P在线段BE上，故l<y<3,故①错

OP=OE+EP=3OB+-（EB+BC）

对于②当P是线段CE的中点时，2、>

=3OB+-（-2OB+AB}=--OA+-OB

2,,22故②对

对于③x+y为定值1时，A,B,P三点共线，又P是平行四边形BCDE内（含边界）的一

点，故P的轨迹是线段，故③对

对④，OP=XOA+yOB=xOA-y（-OBl令出对,那么枕=xOA-y（0F）,

当尸,A尸共线，那么尤一丁=1,当4支平移到过B时，x-y的最大值为-1,故④对

故答案为②③④

名师点评

此题考查向量的运算法那么、向量共线的充要条件，考查推理力量，是中档题

16、答案一3

4

AF=-(AD+AE)AE=AB+BE=AB+-AD

2,将2代入即可得到答案.

AF=-(AD+AE)=-\AD+AB+-AD\=-AB+-AD

详解：连接AE,2212124,

n=—3

那么4.

2

故答案为：4.

名师点评

此题考查平面对量的根本定理的应用，考查同学简洁的数学运算力量，是一道简洁题.

1

入二—

17、答案⑴见；(H)4,t=13.

试题分析：(I)求得AC=(4，-2),AB=(-1,-2),直接利用向量垂直的充要条件可证

明三角形为直角三角形；(II〕化简AB=(-1，-2)=XAC=M4,t-5),利用向量相等的充

要条件列方程组可求出入，t的值.

详解

(I)在平面直角坐标系内，A(0,5),B[1,3),C(4,t).

由于t=3,那么：AC=(4,-2),AB=(-L-2),

所以：AC-AB=-4+4=0,

所以：△ABC为直角三角形.

(II)由于AB=XAC,

所以AB=(-1,-2)=XAC=(4A,入t-5人),

1一1二4入

那么＞2二人(t-5)，

1

入二■一

解得4,t=13.

1

入二-一

所以4,t=13.

名师