立体几何外接球的10种归类-【题型·技巧培优系列】2022-2023年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第三册）（解析版）

专题H-1立体几何外接球的，0种归类

。常考题型目录

题型1墙角模型................................................................................4

♦类型1两两垂直型（特别是四个面都是直角三角形）........................................4

♦类型2对棱垂直推理两两垂直............................................................11

♦类型3对棱相等模型....................................................................15

题型2直棱柱的外接球（汉堡模型）.............................................................19

♦类型1直棱柱的外接球..................................................................19

♦类型2直棱锥的外接球..................................................................22

题型3切瓜模型...............................................................................27

题型4正棱锥与普通棱锥的外接球..............................................................34

题型5两个直角三角形拼接模型................................................................41

题型6圆锥的外接球...........................................................................44

题型7圆柱的外接球...........................................................................47

题型8圆台的外接球...........................................................................49

题型9棱台的外接球...........................................................................52

题型10二面角型外接球........................................................................59

Q知识梳理

知识点一.正方体长方体的外接球

1.长方体的外接球:长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R，则2R=7求+按+Q

2.正方体的外接球：正方体的棱长为。，外接球半径为R,贝y/3/J

3.墙角模型(补成长方体)

(1)若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示.

(2)若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示.

(3)正四面体可以补形为正方体如图3所示，

(4)若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示

知识点二.直棱柱的夕席球(汉堡模型)

1.直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形)

图1图2

【例如】直三棱柱内接于一球

勾股定理：。。?+口厅二口厅，则Z7=户+勺

2.计算公式口=后不；其中2=鉴

知识点三.直棱锥的夕燧球（侧棱垂直底面的三棱锥）补形成直棱柱

题设：PA,平面ABC

第一步：将平面ABC画在小圆面上，A为小圆面直径一端点；

作小圆面的直径AD,连接PD,则PD必过球心。；

第二步：H为MBC的外心，所以0H」平面ABC;算出小圆面的半径HD=r,OH=^PA;

第三步、用勾股定理：R=Vr2+OH2

知识点四.切瓜模型

I.当棱锥的侧面垂直与底面垂直时

2.假设平面ABC_L平面BCD,其中ri为平面BCD的外接圆半径4为它的垂面

A

ABC的半径，/为两个垂面的交线。

结论：

二心二+心目

知识点四.正棱锥和普通的棱锥外接球

题设：P的投影落在AABC的外心上

第一步:确定球心0的位置，取3BC的外心H,则P,0,H三点共线；

第二步:算出小圆面半径AH=r,算出棱锥的高PH=h;

第三步:勾股定理：OH2+AH2=OA2

即：（h-R）2+r2=R2,解出R

题型分类

题型1墙角模型

♦类型1两两垂直型（特别是四个面都是直角三角形）

【方法总结】方法:找三条两两垂直的线段，直接用公式（2R）2=/+〃+C2，即2火=，4+法+C2,

求出H

常见的类型：

【例题1-1］（2022春•浙江杭州•高一校联考期中）已知三棱锥。一Z7Z7O中，□口=4,□□=5，口□=6,

侧棱PA,PB,PC两两垂直，则三棱锥外接球表面积为.

【答案】?

【分析】以□□、口口、口为棱构造一个长方体，三棱锥口-。口。的外接球就是长方体的外接球，表

示棱长，求得外接球半径，由此能求得该球的表面积.

【详解】三棱锥口-OZ7E勺侧棱DO,00,00两两垂直，且长度分别为OO=4，□口=5，口口=6,

旦口，口，口,。都在同一个球面上（如图所示）,

以口口、□□、。。为棱构造一个长方体，这个球就是长方体的外接球,

设正方体的相邻三条棱长分别为x,y,z,

则4+=16,U+O2=25,行+U=36,

故仃+仃+厅=弓，

2

设三棱推夕忖妾球半径为R,则（2。2=^+^+O=y,

••.该球的表面积为O=4TTQ2=4TTx弓=?.

ON

故答案为：—

【变式1-1]1.（2023・高一单元测试）三棱锥A-BCD中，口平面BCD,□□1口口,2口口=□□=

CD=2,则该三棱锥的外接球表面积为（）

.3n-9n_

A-TB-TC.9nD.36n

【答案】C

【分析】由题可知，可将三棱锥补成长方体，求长方体的外接球的表面积即可.

【详解】由口£71平面BCD,口□，知三棱锥A-BCD可补形为以AD,DC,BD为三条棱的长方

体，如图所示,

三棱锥的外接球即长方体的外接球，长方体的对角线是外接球的直径，设外接球的半径为R,

则（202=□仃+口己+□仃=1+4+4=9,所以该三棱锥的外接球表面积为Z7=4n仃=9n.

故选：C.

【变式1-D2（2023・全国•高一专题练习底直三棱柱口口14中，口口=口口=2，□口1=2V2,

z□□口=》则此三棱柱外接球的表面积为（）

A.4TlB.8nC.16nD.24Tl

【答案】c

【分析】由条件得该直三棱柱底面为等腰直角三角形，补全为长方体求外接球半径即可得表面积.

【详解】

因为□□=口口=2,乙□□□=T，所以△。。力等腰直角三角形，

将直三棱柱-4□、&补全为如图长方体。。。〃-口口、a4,

则长方体的外接球即直三棱柱的外接球，

因为□口=口口=2,=2V2,所以外接球直径2。=□□、=旧+22+（2V2）2=4,

所以外接球半径0=2,表面积。=4n仃=16TL

故选：C.

【变式1-1]3.（2023・高一课时练习）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方

早1000多年在《九章算术》中揩底面为矩形且T则棱垂直于底面的四棱锥称为阳马如图口-□□□口

是阳马，强□□□□,□口=5,口口=3,□□=4.则该阳马的外接球的表面积为（）

【答案】B

【分析】由题目条件有OO1口□,□□\□□,□□工则阳马的外接球与以OO,口□,OO为

长宽高的长方体的外接球相同.

【详解】因礴□□□□,£7£7u平面ABCD,£7Z7u平面ABCD,

则。£71口口,□□1口口,又因四边形ABCD为矩形，则。。1

则阳马的外接球与以S,口□‘长宽高的长方体的外接球相同.

又口口=5,口口=3,.则外接球的直径为长方体体对角线，故外接球半径为：□=

、□日+口己+口曰_V32+42+52_5夜

2―2一—'

则外接球的表面积为：0=4TT4=4TTq=50n.

故选：B

【变式1-1]4.（2022春・甘肃兰州•高一兰州五十一中校考期末）在三棱锥。一□□田,□□=□□=

4,□□=8,口口=8,Z7Z71口口,□□工□□,则该三棱锥外接球的表面积为.

【答案】80£7

/标'作口口,口揖口口,E，根据已知条件可得的外接球即为O-

。口£75勺外接球，连接口£7,应用勾股定理、线面垂直的判定可得£701面£7。。、□□遹口□口，再

由线面垂直的性质有OO1口□、口□、口□,则。◎口口。口两两垂直，进一步得到口一口□口曲

外接球即长宽高分别为的长方体的夕14妾球，即可求外接球的面积.

【详解】由题设，A为等腰直角三角形，作□□“口邑口口,。依于E,

所以。边长为4的正方形，则0-005勺外接球即为。-。的外接球,

连接OZ7,又□□工口四口口工口口,

而□□IOU,UEJc□口=U,故ZZ7Z71面Z7ZZ7ZZ7,又口ZZ7u面ZZ7/Z7O,

所以。Z7_LDO,即。。J_DC,

在□□△口□为口d+C[3=口U,又□口=□□=4,口□=口口=8,故。^+口邙■=g,

所以□□工□口,而□□工□道口口门口□=□,取□□遹□□□,又□□遁□□□,

所以OZ7J.口□,即口□,

综上,口□,口口,口。两两垂直，则〃-。叱7。的外接球即长宽高分别为口口□口,。。的长方体的外接

球，

所以。-£7000勺外接球半径。=竿='力"炉=2V5,则外接球的表面积为40行=80口.

故答案为：80口.

【点睛】关键点点睛：作口□“□□,□□“□翦□口，口故才E,连接£70,应用勾股定理、正方形性

质及线面垂直的判定和性质证明口□,。口两垂直，转化为求长方体的外接球面积.

【变式1-1]5.（2021春・山西吕梁・高一统考期末）如图，在边长为2的正方形。。口。中，U,侬■别

是口□,。口勺中点，将^□口□,△□□口,△口口叫到沿口口,口□,斤起，模口,口,Z7E点

重合于点方，则四面体方-勺外接球的表面积为（）

A.240B.12/7C.6口D.3D

【答案】C

【分析】由四面体方-or7。的棱o'a方a方。两两垂直，将它补形成长方体，求出该长方体的体对角

线即可得解.

【详解】依题意，O£71[JLJ.dUl.do,£7£71DD,且。'。=2,方£7=Z7£7=1,如图:

D

幺'1-・\-----------二

于是得四面体o'-go。可以补形成以。'ao'a方o为相邻三条棱的长方体，该长方体与四面体o'-

s中）外接球相同，

四面体方-。口。的外接球的半径R,则有2R为长方体的体对角线长,

即20=\lJlJ2-+d[3+£7'/^=V6,从而有40。2=£7（2O）2=6a

所以四面体。'-。。型外接球的表面积为6/7

故选：C

【变式1-1]6.（2022春・河北石家庄•高一校考期中）已知长方体〃。。。-方。'中，dd=V3,

OZ7'=1,方。与平面OO。'方所成角的正弦值为f,则该长方体的外接球的表面积为.

【答案】5口

【分析】作。口，口口,垂足为E,连接方。，BE,证得NOO'0是Z7'a与平面口O。'。'所成的平面角，

进而可以求出。口’的长度，然后根据长方体的对角线是其外接球的直径，进而可以求出球直径，从而结合

球的表面积公式可以求出结果.

【详解】作□口，垂足为E,连接BE,因为口廿L平面□□□,且口廿u平面口口仃廿,

所以平面£7001平面。口方方,又因为平■面口口口0平面口口U仃,O£7u平面ABC,所以£701平

面口口仃仃,因此N/J方侬方O与平面£70。’方所成的平面角.

又口口=।'I,DD=J（V3）2+DO=+nd.

J（可+俨

V3r

.­.sinz£7£7'O=—=《=f,解得。〃'=1.

d口J3+Z7O2

故该长方体的体对角线为J12+（75）2+[2=倔设长方体的外接球的半径为O,则2。=V5，解得〃=坐

2

.,该长方体的外接球的表面积为。==4£7x停）=50.

故答案为：5A

♦类型2对棱垂直推理两两垂直

【方法总结】特别的：正四面体、正三棱锥对棱相互垂直、四个面全都是直角三角形）

【例题1-2]（2022•高一课时练习）如图在正三棱锥口口3,口,侬别是棱。中）中点，皿

棱叩上的一点，目口□=；□□,□□\□口,若□口=2V2,则此正三棱锥O一勺外接球的体

A.12Z7B:口C.8V3L7D.A△口

【答案】D

【分析】根据题意证明oaoa。。两两垂直，将三棱锥放入棱长为2的正方体，两者外接球体积相同，

求得正方体外接球体积即可得出答案.

【详解】因为在△口口仔,口，二分别是棱oa口厅勺中点，

所以,因为口口人口口,所以立7_L□口,

因为三棱锥。一口为正三棱锥,所以OO1对棱垂直)，

又因为oaoou面uuc□□=□,

所以□□上面口口口,因为口□,UUu面口口口,所以。DJ.□□,□□，口口,

在□□4口口唧,口d+DCP=口已,

因为三棱锥〃。班正三棱锥,所以△是等腰三角形，△口口。是等边三角形，

所以£70=,□□=

所以口^+Z7ZJ2=ud,即□口,

所以口□,口口,。。两两垂直，

将此三棱锥放入正方体中，此正方体的面对角线长等于。。长,为2代，

则该正方体棱长为2,外接球半径6l(l)2+(警?=V3,

正方体外接球体积O=I口仃4£7x(V3)3=4靠口,

此正三棱锥。-的外接球体积和正方体外接球体积相同，为48a

故选：D

【变式1-2]1.(2017・辽宁沈阳•高一东北育才学校校考阶段练习)在正三棱推S-ABC中，外接球的表

面积为36n,M,N分别是SC,BC的中点，且MNXAM,则此三棱锥侧棱SA=()

A.1B.2C.V3D.2V3

【答案】D

【分析】利用球的表面积公式，算出球的半径R=3.由题意可证出MN_L平面SAC,可得SB_L平面SAC,

从而得出NASB=NBSC=NASC=90°.因此将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角

线就是球的直径，利用正方体对角线公式即可算出SA长.

【详解】取AC的中点E,连结BE、SE,

,・三棱锥S-ABC正棱锥,.-.SA=SC,BA=BC.

又.E为AC的中点,.-.SE±AC且BE±AC

,..SE、BE是平面SBE内的相交直线，

・•.AC_L平面SBE,又SB在平面SBE内

可得SB_LAC

又「MN是ASBC的中位线，

.-.MNllSB,可得MN_LAC

又「MN，AM，又AM,AC是平面SAC内的相交直线,

平面SAC,结合MNIISB,可得SB_L平面SAC

又.三棱推S-ABC是正三棱锥，

.-.zASB=zBSC=zASC=90o,

因此将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，

设球的半径为R,可得=36n,解得R=3,

.,Jm2+g+口仃=20=6,解之得SA=2V3

故选：D

s

【变式1-2]2.（2022春•广西南宁•高一校联考期末）在正三棱锥DDDV，□□工,

则正三棱锥。。夕卜接球的表面积为.

【答案】75n

【分析】将正三棱锥口-塞卜成正方体，根据正方体的对角线即为外接球的直径，求得外接球半径,

即可求得答案.

【详解】由正三棱锥的性质可得，。£7,OZ7,口口=£70=5,

则将正三棱锥卜成如图所示的正方体，

则正三棱锥口一口口》卜接球即为正方体的外接球，

所以正三棱锥〃一口口受卜接球的半径为叵冬运=竽，

所以正三棱锥。-006卜接球的表面积为4Tlx与=75TT,

故答案为：75n

【变式1-2】3.（2023・高一单元测试）正三棱锥勺侧棱长为2,%口。0勺中点，目口口LUU.

则三梭推。-005卜接球的表面积为.

【答案】12n

【分析】根据等腰三角形三线合一性质和线面垂直判定可知平面。OO,从而得到SJ.由

线面垂直判定可得OO1平面OO。，进而确定三棱锥。-。。与正方体的一角，通过求解正方体的外

接球表面积即可得到结果.

【详解】与□伊氤,□□=口□,=□□.：.£7/71口□,口□，口口,

又UEJc□口=口,口口,口口（2^^口口口，：.□□L平面□□□,

■■□□u淬面□□□,：.\□□,又，□□,UUc□□=U,UU,UUcSp.®UUU,

•••□□L平面□□□,又三棱锥口-口口%正三棱锥，二侧面为全等的等腰直角三角形，

.•・三棱锥Z7-Z7OH）如图所示的棱长为2的正方体的一角，

•••该正方体的外接球即为三棱锥。-Z7O。的外接球，

・•・正方体外接球半径。=述2+2?+*=V3，，所求外接球表面积。=4口炉=12TT.

故答案为：12n.

♦类型3对棱相等模型

【方法总结】方法：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB=CD,

AD^BC,AC=BD）

第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；

第二步：设出长方体的长宽高分别为“，"c,AD=BC=x,AB^CD^y,AC=BD=z，列方

程组，

\a2+b2^x2

222

<b-+c2=y2=(2H)2^a1+b2+C2=十)+，一

c2+a1-z2

补充：VA_BCD=ahc一■-abcx4=—abc

第三步：根据墙角模型，2/?=力2+从+。2=/_y-±-

222

2+y2+z2^x+y+z~

R),R=，求出R,.

8

【例题1-3]（2023・全国•高一专题练习）四面体口一UUg,口口=□□=5,UU=□□=UU=

□□=6,则此四面体外接球的表面积为一.

【答案】n

【分析】将四面体放入长方体中，使得六条棱分别为长方体六个面的面对角线，则长方体的外接球即为四

面体口-勺外接球，利用数据计算长方体的体对角线即为外接球的直径，可得球的表面积.

【详解】将四面体。-放入长方体中，使得六条棱分别为长方体六个面的面对角线,

如图：

则长方体的外接球即为四面体。-£70〃的外接球，

又长方体的体对角线即为外接球的直径2〃，

设长方体的长宽高分别为a口,a,

则有4+£^=36,£^+2^=36,£^+£^=25,

所以炉+4+仃=:=44,

所以外接球的表面积为4Tl炉=yTl,

故答案为：yn

【变式1-3]1.在三棱锥P-/跋中，期=跋=5,□□=□□=尺,口口=□□=2^5,则三棱锥

。-46C的外接球的表面积为（）

A.72TB.8nC.24nD.29n

【答案】D

【分析】将棱锥补全为长方体，由长方体外接球直径与棱长关系求直径，进而求其表面积.

【详解】三麒P-/48C中，PA=BC=5,□□=口口=6,口口=DD=3/5,

构造长方体使得面对角线分别为5,2后,旧,则长方体体对角线长等于三棱锥外接球直径20，如图所示,

222

设长方体棱长分别为a,b,c,则炉+d=20,D+D=25ILf+LJ=13,

贝！]仔+d+厅=29,即4仔=29,外接球表面积和d=2尔.

故选：D

【变式1-3]2.如图，在三雌口一口口供,□□=□□=/,□□=□□=2,口口=口口=y/5,

则三棱锥。一仍卜接球的体积为（）

A.\l2UB.y/3DC./6UD.60

【答案】C

【分析】将三棱锥。-£700放到长方体中，设长方体的长、宽、高分别为a□，口，求出口口得三

棱锥P-ABC

外接球的半径，即得解.

【详解】解：由题意，口口=口口=6,口口=00=2,口口=□口=V5,将三跳£7-口□朋

到长方体中，可得长方体的三条对角线分别为2,45,

设长方体的长、宽、高分别为aa。，

则J厅+O2=y/3,J厅+d=2,y/cf+n2=V5,

解得£7=1,0=42,0=43.

所以三棱锥。一。。仍卜接球的半径〃=*3+£/+3=苧.

••・三棱锥。一8乙外接球的体积£7=90炉=<60.

故选：C

【变式1-3]3.在三棱锥口一口口收,□口=□口=4,□□=□口=5,□口=□口=<11,则三

棱推O-。口。6勺外接球的表面积为（）

A.26n.B.72nC.8n.D.24rx

【答案】A

【分析】根据给定条件，构造面对角线长分别为4,5,V??的长方体，求出其体对角线长即可求解作答.

【详解】三棱锥£7-UDD¥,□□=□口=4,□□=□口=5,□口=□口=肝,

构造长方体，使得面上的对角线长分别为4,5,777,则长方体的对角线长等于三棱锥5卜接球

的直径，如图，

222Z2

设长方体的棱长分别为则0+^=16IU+D=25,D+D=77,则£7?+£/+=

26.

因此三棱锥。-z7oa外接球的直径为信，

所以三棱锥。-006卜接球的表面积为布•（争2=2瞅.

故选：A

题型2直棱柱的外接球（汉堡模型）

【方法总结】方法：存在一条棱垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），

它的外接圆半径是「，满足正弦定理）

♦类型1直棱柱的外接球

【例题2-1]（2021春・浙江•高一校联考期中）如图，在直三棱柱ABC—4口1□内,底面AABC是以角

B为直角的等腰直角三角形，且腰长为2,D为BC的中点，三棱柱体积O=4V2

求三棱柱的外接球的表面积和体积；

【答案】表面积160,体积券O;

【分析】先由三棱柱体积求出,再找出球心，勾股定理求出半径，即可求出外接球的表面积和体积；

Q)

易知口□□□=~x2x2=2，三棱柱体积〃=口口、=2口口、=4V2，解得=20取口口

中点。,取中点ZZZ|,

连接交口a于口，易知匚为△口口阖外心,口为△口口1a的外心，为外接球的球心，口口=

V22+22=2A/2,

22

故外接球半径为竿='（2"2闾一=2,故外接球表面积为4Ox22=16£7,体积为23=£7.

【变式2-1】1.直三棱柱ABC-44G的六个顶点都在球。的球面上，若AB=8C=1,NABC=120°,

A4,=26，则球0的表面积为（）

A.47rB.8/C.16%D.24%

【答案】OAiBiCi的外接求半径为百/弁=2ar=l,R2=r2+（竿）2=4,R=2.S球=4nR2=16n

1—1l—lLJJUN

【变式2-1］2.（2021・高一课时练习）在直三棱柱口口。一口1口1口］中，乙口口□=90°,□□、=V3,

设其外接球的球心为0,已知三棱锥。-的体积为V3,则球0表面积的最小值为.

【答案】27£7

【分析】设口口=口，。0=O,球的半径为Z7,连接口口1,□1U交于点D,取口田氤口'连接口□,

即％三棱柱外接球球心，根据三棱锥体积可得aO司关系，表示出。，根据基本不等式可求得中］最小

值，从而得到球的表面积的最小值.

【详解】如图，因为三棱柱og-4&a是直三棱柱，目乙□□口=9。°,

设口口=口,口口=。，球的半径为。，连接。a,a/于点。，取口唧氤口,连接s,

则二型」三棱柱六个定点的距离相等，即a为三棱柱外接球球心，目口口=；□□、吟,

又因为三棱锥。—型体积为V3，即:x（□□*?=V5,即12,

所以口=《口守+口仃=＜写B+倒=]竿+仁加口+卜竽,

当且仅当。=口=2狗时等号成立,

所以球中）表面积最小值为O=4Z7炉=270,

故答案为：27a

【点睛】思路点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真解析图形，明确切

点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体

各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对

角线长等于球的直径.

【变式2-1]3.一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面

上，且该六棱柱的体积为g,底面周长为3,则这个球的体积为

O

【解析】设正六边形边长为。，正六棱柱的高为力，底面外接圆的关径为r，则a,底面积为

2

号h=1:.h=62+(-)=1,R=\,球的你只

【变式2-1]4.若球福直三棱柱SO-O7O7O7的外接球，三棱柱的高和体积都是4,底面是直角三

角形，则球。表面积的最小值是.

【答案】2On

【分析】由题意作图，可得外接球半径月满足口?=（玲刍2+（今2,根据题意可得£7。=2.

由球的表面积公式可得。纵=（C2+/J2+16）0,结合基本不等式即可得出结果.

【详解】由题意得，在底面直角三角形△口口袋,设口口=口，口口=□,/口=90°,小,

设三棱柱的外接球的半径为/?,则d=（^^）2+（乎，

又三棱柱的高和体积都为4,所以斑#=口皿口7口口乂4=4,得口口=2,

二棱柱2

所以三棱柱外接球的表面积为：

□g4皿=4口[（^^）^+（%=40（呼+4）=（g16）0

>（2口口+16）口=2。口当且仅当。=□=后寸等号成立），

所以外接球的表面积的最小值为20D

故答案为：20U

♦类型2直棱锥的外接球

【例题2-2]（2022春•黑龙江哈尔滨・高一哈尔滨市第六中学校校考期末）四棱锥口-口外接球

0的半径为2,£7。，平面ABCD,底面ABCD为矩形则平面PAD截球0所得的截

面面积为（）

A.4nB.3nC.2nD.n

【答案】B

【分析】根据外接球的球心到所有顶点距离相等,故可得球心。为。。的中点，即可根据截面的性质求解

截面圆半径.

【详解】由题意可知，球心取的中点，因为□口,□□工口□,口口=口所以平

面OOaROBl中点故平面。。£曲距离为:1,故截面圆的半径为V?=7=73,截面面积

o

为n（VS）=3n

故选：B

【变式2-2]1.（2023春•全国•高一专题练习）已知在三棱推口一口。。中,□□上平面□□□,口口=

2b,0=4,00=2,则三棱锥0—00》卜接球的表面积为（）

A.亍B.15nC,—D.20n

【答案】C

【分析】求出三棱锥口o卜接球板平面口口。所得小圆圆心a位置及半径，再确定球心中位置，

并求出球半径即可计算作答.

【详解】因平面□□口,□□U平面口□□则□□工DDlHU，而□口=2V3,□□=

□□=A,

则£7。=口口=2=口口,三棱锥口一OZ7〃的外接球漪平面SU所得小圆圆心&是正△□□口

中心，口、□=2，

连口□「则。a_L平面口。£7,取线段中点O,则球型球心。在过E垂直于直线勺垂面上,

连口口,如图，

则四边形OOO4是矩形口□、=□□=；□□=用，因此球比勺半径。。有:口曰=口中+口子=

13

~31

所以三棱锥卜接球的表面积0=Qm

故选：C

【变式2-2]2.（2022春・重庆巴南•高一重庆市实验中学校考期末）在三棱锥。-□□功,□□]

口□,口口=□□=□□=2,口口=4,□□=2V5,则三棱锥。一005卜接球的表面积是（）

A.52ZJB.竽C.嘤D.平

【答案】B

【分析】利用勾股定理证得OO13,再根据线面垂直的判定定理可得。O_L平面。OO,故三棱锥

。。口的外接球在过底面△外接圆圆心且垂直于底面△ooo的直线上，利用正弦定理求得△□□□

外接圆的半径为。，再根据三棱锥卜接球的半径为次出外接球半径，即可得出答案.

【详解】解：由口口=2,口口=4,口口=2通.

可得£7行=口存+口d,所以OO1口□,

又□□L□□，□□门口□=□,且。。，£7Z7u平面。£7〃，

所以Z7Z7,平面口OZ7,

故三棱锥。-外接球在过底面4口。5卜接圆圆心且垂直于底面△8。的直线上，

由正弦定理，可得△仍卜接圆的半径为口=；x磊=2，

2sinoOV3

所以三棱锥口一。口。外接球的半径为0=J（钥2+仔=旧+目=碧,

所以三棱锥。一Z7〃a外接球的表面积为£7=4。仃=4£7x

64£7

即三棱锥口一£70%卜接球的表面积为。=4£7万=4£7x~3~'

故选：B.

【变式2-2]3.（2022春•河北承德•高一校联考阶段练习）如图，三棱锥£705勺底面SO的斜二

测直观图为△add,已知ooi底面。oo,oo=Vs,do=co,nd=dd=aa=1,

则三棱锥005卜接球的体积。=.

【分析】先由斜二测画法得，亨，再结合底面。。巾出外接球半径,即可求解.

【详解】■,

由题意得方方2口^.dd=^dd所以由斜二测画法得，在原图4口□田4口口口="口=2,

□□=4,

所以三棱锥。一外接球的半径口=g+Dp+W="则0=：□仃=甯.

ZZOO

故答案为：竿

【变式2-214.（2022春•重庆九龙坡•高一四川外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）在三棱锥。-

口口收，底面。。，为边长为3的正三角形，侧棱底面若三棱锥的外接球的体积为360,

则该三棱锥的体积为.

【答案】争#|夜

【分析】由球体表面积公式可得半径。=3,由正弦定理可得底面£700外接圆半径O=V3,根据线面垂

直易知£7£7=2>/仃-厅,最后应用棱推的体积公式求体积.

【详解】令外接球半径为R,贝史必=36口,可得。=3,

又底面。。仍卜接圆半径为O,则。==一=V3,

2sin600

若2为底面中心,。为。。中点，又□□]&□□□,

则球心O在过侬直于底面的直线上，如下图示：

A

8

所以口。垂直平分。Z7,则2>/取-市=2V6,

所以三豌的体积戏□口•口皿口=：x2乃xgx32x弓=挈.

故答案为：竽

题型3切瓜模型

【方法总结】方法：面面垂直型基本图形

一般情况下，俩面是特殊三角形.垂面型，隐藏很深的线面垂直型，

【例题3]（2022春・湖北恩施•高一校联考期末）在三棱锥O-口口收，平面0OO1平面ABC,UH=

□□=□口=6,则该三棱锥外接球的表面积为（）

A.54nB.48TlC.42nD.36n

【答案】B

【分析】由题目条件确定出外接球的球心O是4口的外接圆的圆心，从而得到半径和表面积.

【详解】：所以△的外接圆的圆心为斜边口口勺中点a

•••口口=□□=□□=6,：.4等边三角形，

连接,DD1口口,平面。Z7O1平面ABC,平面OOZ7C平面ABC=BC,口口心面ABC,/.□□1

面□□□,则球心A定在直线AN上.

△OO磔等边三角形，可知0为小的外心，则0为该三棱锥外接球的球心.

因为□□=口□=口口=6,所以口口=2V3,则该三棱锥外接球的半径为2遍.

o

故该三棱锥外接球的表面积为4TTx（2V3）=48n.

故选：B

【变式3-1J1(2022春•湖北鄂州•高一统考期末施三棱锥P-ABC中，平面PAB±¥®ABC.Z7Z7=□口=

Z7Z7=V3,z□□□=90。，Z7Z7=2,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为()

A.5TIB.—C.8nD.20n

【答案】C

【分析】由面面垂直可得线面垂直，进而可确定球心的位置在DO上，根据勾股定理即可求解.

【详解】如图，取AB的中点E,BC的中点D,连接PE,WAB是等边三角形，则£701OZ7.因为平面

PAB上平面ABC,平面O£7£7n平面£7。。=,£7£7u平面PAB,所以PE,平面ABC,又Z7£7u平

面ABC,所以OO1□□过D作ODJL平面ABC,则ODl□□因为乙□□□=90°,所以三棱锥P-ABC

的外接球的球心在DO上，设球心为0,连接OB,0P,设外接球半径为R,由已知口£7=yxV3=|,

□口=旧+(何2=用.口口=当、口口=，在直角梯形PEDO中，口口=；口□=',4=

产+(|一口』,。=夜，所以三棱锥P-ABC外接球的表面积£7=4n仃=4nx(V2)2=8n.

故选:C.

p

c

【变式3-1]2.（2022春•山西大同•高一大同市第二中学校校考期中）球O为三棱锥勺外接

球，△□□二皿都是边长为2V5的正三角形，平面PBC1平面ABC,则球的表面积为（）

A.28Z7B.20Z7C.18HD.16Z7

【答案】B

【分析】取OO中点为T,以及△OOO的外心为&,△口口阖外心为口2，依据平面口OOJL平面

可知Z74O4为正方形，然后计算外接球半径，最后根据球表面积公式计算.

【详解】设。中点为T,△的外心为&,△□□弥外心为口2.

如图

由4口口四匕ooa均为边长为2V3的正三角形

则乙□□曲△。口5勺外接圆半径为舛=2,

2smoO

又因为平面PBJ平面ABC,所以4。，平面。,可知口、a

且口2口=口、口,过口,4分别作平面£7£7口平面002勺垂线相交于口

点OSU为三棱锥。-的外接球的球心,

且四边形0a皿是边长为J22-(V3)2=1的正方形，

所以外接球半径。=、口吕+口24=VTT4=V5,

则球的表面积为200,

故选：B.

【变式3-1]3.(2023春•全国•高一专题练习)已知四棱锥。口口。的每个顶点都在球0的球面上,

侧面底面OOO。，底面口口口与边长为2的正方形，口口=V5,口口=1,则四棱推。—

卜接球的体积为.

【答案】乎#，.

【分析】由已知条件可证得Si平面口。口口，则得四棱锥外接球的直径是以AB