人教A版必修第二册8.6.3平面与平面垂直课时练习

【优选】8.6.3平面与平面垂直课时练习

—单项选择（）

1.作三棱锥尸一中，■平面ABC,AB=AC=6,PA=BC=2,则

该三棱锥外接球的表面积为（）

8

—7T

A.32nB.8乃。3D.2%

2.加，〃为不重合的直线，a,B,y为互不相同的平面，下列说法错误的是（）

A.若相〃"，则经过"？，〃的平面存在且唯一

g若a〃力，a[}y=m/口？=〃，则加〃〃

C若y,a「/?=〃？，则加上7

D若"?ua,〃ua,mH0,n///?,则a〃6

3.经过平面外两点作与此平面垂直的平面，则这样的平面（）

A.只能作一个B.只能作两个C.可以作无数个D.可作一个或无数个

4.如图，在四棱锥C-^OD中，CO_L平面A8Q£>,AB//Or>,OB，OD,且

AB=2。口=12,AD=6近,异面直线CD与AB所成角为30。，点。，民。，D都在

同一个球面上，则该球的半径为（）

C

A.3亚B,40c,旧D,质

5.设“J〃是不同的直线，。，P,/是不同的平面，有以下四个命题：

a_L⑶allB}

"a/ly}=>尸〃/

①尸"J②7〃aJ

mVa

\nml//3'=>a_L/?

③m〃nJ@mllpJ

其中，真命题是（）

A.①④B.②③C.①③D.②④

6.设a.4是空间两个不同平面，a.bo是空间三条不同直线，下列命题为真

命题的是（）

A.若a〃£,b//a（则以尸

B.若直线。与匕相交，/a,blip,则a与〃相交

C.若a，6,alia,则

D.若。，尸，acB=a,bua,b工a,c］。，则Z?〃c

7.如图，矩形488中，AB=2AD=2fE为边A8的中点,将△"＞后沿直线。E

翻折成△4°"（点A不落在底面5cDE内），若M在线段AC上（点加与A,

°不重合），则在AADE翻转过程中，以下命题正确的是（）

DE±AC

A.存在某个位置，使t

B.存在点"，使得平面成立

C.存在点M,使得M8〃平面成立

V2

D.四棱锥4—8CDE体积最大值为4

8.如图，在边长为4的正三角形ABC中，E为边A8的中点，过E作E°_LAC

于D.把AADE沿OE翻折至△A。"的位置，连结AC.翻折过程中，有下列三

个结论：

B

①。

②存在某个位置，使AE,BE；

③若CF=2R,则的长是定值.

其中所有正确结论的编号是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

9.如图，已知£，产分别是正方体48。一4瓦£2的棱8C,CG的中点，设a

为二面角A-AE-O的平面角，则sina=（）

V?2V2

C.3D.3

10.已知两平行平面a与4间距离为4,直线au£,点Aea,则平面a内到点

A的距离为5,且到直线。的距离为2百的点的轨迹是（）

A.一组平行线B.两段线段C.两端圆弧D.四个点

11.如图，在四棱锥S-M8中，四边形ABC。为矩形，AB=2O,BC=SC=SD=2,

3C,S0,则四棱锥的外接球的体积为（）

12.已知正三棱柱A3。-ABCi中，AB=1,则点A到平面8CG4的距离等于（）

五16

A.1B.2c.2D.2

13.已知圆柱°。中，点A,3,C为底面圆周上的三点，8为圆柱的母线，AC=2,

ZACB=60。，则点A到平面BCD的距离为（）

A.百B.1C.2D.4

14.在正方体中，E是线段BC上的动点，尸是线段CR上的动点,

且民尸不重合，则直线A4与直线EE的位置关系是（）

A.相交且垂直B.共面C.平行D.异面且垂直

15.已知两条直线机“，两平面0，尸，给出下面四个命题，其中正确的命题是（）

Am!In,m!Ia^>nllaa〃0,mua,nu（30m〃n

m//n,mA.anA.aa1/3,ml/n,mLa=>n10

C.D.

参考答案与试题解析

1.【答案】B

【解析】将三棱锥「-ABC补成长方体A8℃一PQ瓦'，计算出长方体

A8DC-尸QEb的体对角线长，可得出该三棱锥外接球的半径，进而可求得外接球的表

面积.

222

详解,QAB=AC=V2,PA—BC—2y/.AB+AC—BCy.\AB±ACf

平面ABC,将三棱锥尸-45C补成长方体ABOC-PQM,如下图所示：

则长方体ABDC-PQEF的体对角线线长为^1AB2+AC2+PA-=2夜，

即三棱锥P-ABC的外接球半径为氏=血，该球的表面积为4万2=8乃

故选：B.

【点睛】

本题考查三棱锥外接球表面积的计算，考查计算能力，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】对于A,由公理三及其推论得经过团，”的平面存在且唯一；对于B,由面面

平行的性质定理得相〃〃；对于C,由线面垂直的判定定理得根,7；对于D,0与夕相

交或平行.

详解：解：由他，〃为不重合的直线，。,7为互不相同的平面，知：

对于A,若加〃“，则由公理三及其推论得经过加，〃的平面存在且唯一，故A正确；

对于B,若£〃尸，0□/=，"，6n/=",则由面面平行的性质定理得加/〃，故B正确；

对于C,若a'/,。门夕=加，则由线面垂直的判定定理得加工7,故c正确；

对于D,若〃?ua,〃ua,加〃夕，〃〃B,则0与£相交或平行，故D错误.

故选：D.

【点睛】

本题考查空间直线.平面间的位置关系贩判断，考查平面的基本性质，旨在考查学生空

间想象能力，逻辑推理能力.

3.【答案】D

【解析】当此两点连线不垂直于平面时，

此时过此连线存在唯一一个与平面a垂直的平面；

当此两点连线垂直于平面a时，

则根据面面垂直的判定定理，可作无数个与平面a垂直的平面.

故选D.

【点睛】本题考查满足条件的平面个数的判断，解题时要认真审题，注意分类讨论思想

和空间思维能力的培养.

4.【答案】C

【解析】由条件可知，所以，《DO为异面直线CD与A8所成角，故

“00=30,而8=6,故"=ODtan30=26,在直角梯形中，易

得°8=6,以OB,OC,OD为相邻的三条棱，补成一个长方体，则该长方体的外接球半

径R即为所求的球的半径，由',<)，故H=，21.

本题选择C选项.

点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明

确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于

正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，

正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.

5.【答案】D

【解析】根据立体几何线面垂直和平行的公理和定理，逐个判定即可得解.

详解：对①，垂直于同一个平面的两个平面位置关系可以是相交，故①错，

对②，平行于同一个平面的两个平面的是相互平行的，故②正确，

对③，若直线在平面内，则“不平行于故③错，

对④，一个平面平行于另一个平面的垂线，则这两个平面垂直，故④正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查了线面平行和垂直关系，考查了线面平行和垂直关系的判定和性质，在解题过

程中注重各个判定的条件的完整性和准确性，考查了公式定理的理解记忆以及空间想象

能力，本题属于中档题.

6.【答案】D

【解析】分析：根据已知条件直线判断ABC各选项中线面.面面的位置关系，可判断ABC

选项的正误，利用面面垂直和线面垂直的性质可判断D选项的正误.

详解：对于A选项，若C//,blla,则从/尸或A选项错误；

对于B选项，若直线。与匕相交，a〃a,'%,则a与£相交或平行，B选项错误；

对于C选项，若aL万，alia,则。与£的位置关系不确定，C选项错误；

对于D选项，若a，月，aM=a,bua,bVay由面面垂直的性质可得”工〃，

,"上0,所以，R/c,D选项正确.

故选：D.

7.【答案】CD

【解析】利用反证法可得A.B错误，取M为4c'的中点，取4。的中点为/,连接

MSE可证明MB〃平面当平面平面3cOE时，四棱锥4一8C°E

V2

体积最大值，利用公式可求得此时体积为4.

详解:

如图(1),取OE的中点为F，连接4EC"

V2,1V2V2

DF=—CF2=4+一一2x—x2x—=

则NCOR=45。，故222

,,,NCFD手一

故℃2工。/2+。尸2即2

若因为4。=42=尸£1故A[FA^C=\

故DE_L平面A”。，因为C~u平面A/。，故OEJ_CF,矛盾，故八错.

若3A/_L平面A。。，因为OCu平面A。。，故8WOC,

因为。C_LC3,BMcCB=B,故C£)_L平面ACB,

因为ACu平面ACB,故CD"C,但4。＜CD,矛盾，故B错.

当平面ADE±平面BCDE时，四棱锥4-BCDE体积最大值，

由前述证明可知A",,而平面An平面BCDE=DE,

A'u平面ADE,故AFJ■平面BCOE,

AF=—

因为AADE为等腰直角三角形，4。=4后=1,故’2,

2x1--xlxl=—

又四边形8cOE的面积为22,

13V2V2

—X—X=

故此时体积为3224,故D正确.

对于C,如图(2),取M为4。的中点，取4。的中点为/,连接

IMIICD,IM=-CDBE//CD,BE=-CD

则2,而2

故IMUBE,IM=BE即四边形IEBM为平行四边形，

故IEHBM,因为/Eu平面AQE,BMu平面,故MB〃平面4。石，

故C正确.

故选：CD.

本题考查立体几何中的折叠问题，注意对于折叠后点线面的位置的判断，若命题的不成

立，往往需要利用反证法来处理，本题属于难题.

8.【答案】B

【解析】根据翻折前后垂直的不变量，及排除法和反证法，即可得答案；

详解：对①，：即,AC于O,二OE-L4ROE_LC£)，4DcCZ)=D,,平

面将。，

...DEVA.C故①正确；

对②,假设存在某个位置，使AE,BE,.•.CE'BE,CEr>AtE=Et

・••3E1平面A%AS*又由①知D—AJ.•.W平面ABC,

zL4cZ)=一4八m

...2,这显然是不可能的，故假设错误，故②错误；

利用排除法，可得B正确；

故选：B.

【点睛】

本题考查立体几何中图形的翻折问题.线面.面面的垂直关系问题，考查空间想象能力,

求解时注意翻折前后的不变量.

9.【答案】C

【解析】如图，设正方体ABC。-ABiGA的棱长为2,

在平面ABCD内过点。作OHJ_AE于点“，连接A”,DE

则RUD即是二面角2-AE-。的平面角，

/Z?~77/75=-x2x2=—•AE-DH=2

且A£=A/22+『=力，由"ADDEF22

46

DH=FD\H=F

解得J5,V5,D.H3

故选：：C.

10.【答案】D

【解析】首先判断出平面a内到点A的距离为5的点的轨迹是圆，在圆上假设点。到

直线”的距离为26，结合图像，判断出这样的点。有四个，由此确定正确选项.

详解：过A作平面a的垂线，交平面a于C,则AC=4依题意两平行平面a与£间

距离为4,直线点Awa,则平面a内到点A的距离为5的点的轨迹是以C为

圆心，半径为3的圆.假设圆上点。到直线。的距离为2石.过°作直线。的平行线BC,

且。B_L3C,过5作防//AC交直线”于£,连接。已由于

所以3C_L平面所以aJ.平面8DE,所以a_LOE,依题意°£=2百，而

22

DR/=J（2A/5）-4=2八rc厂

6£=4,所以八），也即。得到圆C直径的距离为2,由于圆C的

半径为3,所以符合这个条件的点。一共有4个.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查空间点.线.面的位置关系，考查动点轨迹的判断，考查空间想象能力

和逻辑推理能力，属于中档题.

11.【答案】D

【解析】根据四边形A®。为矩形和BC'SO,利用线面垂直的判定定理得到3C,

平面SC。，再利用面面垂直的判定定理得到平面ABCD,平面SCO,然后由

SO+S。？=CC>2,得到ASCD是等腰直角三角形，进而得到四棱锥S-ABCD的外接球

的球心为AC,BD的交点，然后求得半径即可.

详解：因为四边形A8CO为矩形，

所以BCJ_CD又BCSD,且SDQCD=D

所以BCJ_平面SCD

所以平面ABC。,平面SC。

222

XSC+SD=CD(

所以ASCD是等腰直角三角形，

所以其外接圆的圆心是CD的中点，又四边形A8CO为矩形的外接圆的圆心为AC,BD的

交点，

所以四棱锥S-ABCD的外接球的球心为AC,BD的交点，

/?=&+(何2=73

所以外接球的半径为VV,

丫=@乃/?3=4后

所以四棱锥5一98的外接球的体积为3

故选：D

【点睛】

本题主要考查四棱锥的外接球的半径及体积的求法以及线面垂直，面面垂直的判定定理

的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.

12.【答案】D

【解析】作出图形，取BC的中点°,连接A°,计算出A0的长，并证明出平

面8℃片，由此可得出结果.

详解：如下图所示，取的中点°,连接A0,