2024-2025学年度北师版九上数学-专题2-特殊平行四边形中的最值问题【课件】

第一章特殊平行四边形专题2特殊平行四边形中的最值问题数学九年级上册BS版专题解读典例讲练目录CONTENTS数学九年级上册BS版01专题解读◎问题综述四边形中的最值问题是近几年中考的热点问题，试题层出

不穷，形式多样，往往综合了几何变换，有一定难度，具有很

强的探索性.通过研究发现这类问题，常常利用“两点之间线段

最短”“垂线段最短”“斜边大于直角边”“三角形三边关系

定理”等来解决.数学九年级上册BS版02典例讲练类型一

“将军饮马”模型

如图，已知菱形ABCD的对角线AC＝12，面积为24，△

ABE是等边三角形.若点P在对角线AC上移动，求PD＋PE的最小值.解：如图，连接BD交AC于点O，连接PB.

∴BD＝4.∵四边形ABCD是菱形，

∵AC与BD互相垂直平分，∴PD＝PB.

∴PE＋PD＝PE＋PB.

∵PE＋PB≥BE，∴当E，P，B三点共线时，PE＋PD的值最小，最小值为BE

的长.∵△ABE是等边三角形，

【点拨】两定一动，动点在直线上的最值问题就是“将军饮马”最值问题，常常利用轴对称来解决问题.

如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，点P是

AC边上的一个动点，连接BP，EP，则BP＋EP的最小值为

⁠.

2.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中

点，点P，Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，当四边形APQE

的周长最小时，则BP的长为

⁠.4

【解析】由题知PQ，AE的长均为定值，∴当四边形APQE的

周长最小时，AP＋QE最小.如图，在AD上截取线段AF＝PQ

＝2，作点F关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为

点Q，过点A作FQ的平行线交BC于一点，即为点P，此时AP

＋QE最小.过点G作BC的平行线交DC的延长线于点H.

则四边形FGHD为矩形.∴CH＝AB＝4.∵四边形ABCD是矩形，∴AD

＝BC＝8，∠D＝90°，∠QCE＝90°.∵PQ＝2，∴DF＝AD－

AF＝6.∴GH＝6.∵点E是CD的中点，∴CE＝2.∴EH＝2＋4＝6.∴EH＝GH.

∴∠GEH＝45°.设BP＝x，则CQ＝BC－BP－PQ＝8－x－2＝6－x，在△CQE中，∵∠QCE＝90°，∠CEQ＝45°，∴CQ

＝CE.

∴6－x＝2，解得x＝4.∴BP的长为4.故答案为4.类型二

垂线段最短

如图，在Rt△ABC中，已知AC＝2，BC＝4，点P为斜边

AB上一动点，PE⊥BC，PF⊥CA，求线段EF长的最小值.解：如图，连接CP.

∵PE⊥BC，PF⊥CA，∴∠PEC＝∠PFC＝∠ACB＝90°.∴四边形ECFP是矩形.∴EF＝PC.

∴当CP最小时，EF也最小.∵垂线段最短，∴当CP⊥AB时，CP最小.

【点拨】“两动点之间距离”最小值问题，可转化为“一定一

动”最值问题.本题中运用矩形的对角线相等将EF长的最值转

化为CP长的最值是解决问题的关键.

如图，过边长为1的正方形的中心点O引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于点A，B，则线段AB长的最小值是

⁠.

2.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB

边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB

于点F.

若AC＝20，BD＝10，求EF的最小值.解：如答图，连接OP.

∵四边形ABCD是菱形，AC＝20，BD＝10，

∴∠AOB＝90°.在Rt△ABO中，由勾股定理，得

∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴∠OEP＝∠OFP＝90°.答图∴四边形OEPF是矩形.∴EF＝OP.

则当OP取最小值时，EF的值最小.

答图类型三

利用三点共线取最值

如图，点M，N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC，交BN于点E，连接DE，交AM于点

F，连接CF.

若正方形的边长为6，求线段CF长度的最小值.

∴Rt△ADM≌Rt△BCN（HL）.∴∠DAM＝∠CBN.

∴△DCE≌△BCE（SAS）.∴∠CDE＝∠CBE.

∴∠DAM＝∠CDE.

∵∠ADF＋∠CDE＝∠ADC＝90°，∴∠DAM＋∠ADF＝90°.∴∠AFD＝180°－90°＝90°.如图，取AD的中点O，连接OF，OC，

在Rt△ODC中，

∵OF＋CF≥OC，

【点拨】“一定一动”最值问题的关键是找到动点的轨迹，或

者找动态过程中的不变量，利用三角形三边关系解决.本题中利

用全等三角形的判定与性质得到“动中有静”，直角三角形斜

边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定

出CF最小时点F的位置是解题关键.

如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别为AD，CD

边上的动点（不与端点重合）连接BE，BF，点E，F在运动过程中，始终保持∠EBF＝45°，连接EF.

过点B作BH⊥EF，

垂足为H，连接DH，则DH的最小值为

⁠.

【解析】如答图，延长DC至点G，使CG＝AE，连接BG，

BD.

∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠A＝∠BCD＝∠BCG＝90°.

∴BE＝BG