2024-2025学年度北师版八上数学1.1探索勾股定理（第二课时）【课件】

第一章勾股定理1探索勾股定理（第二课时）课前导入典例讲练目录CONTENTS课前预习数学八年级上册BS版01课前预习

1.

勾股定理的验证.（1）通过测量，数格子等方法进行验证；（2）用直角三角形和正方形通过拼图进行验证（利用两次计算面积，即图形整体的面积等于各部分面积之和，如图1，图2，图3）.图1

图2

图32.

在方格中，利用数格子计算面积的方法得到下列结论：（1）在钝角三角形中：如图1，已知三边长a，b，c，且c为

最长边，则a2＋b2

c2（填“＞”“＜”或“＝”）；＜

（2）在锐角三角形中：如图2，已知三边长a，b，c，且c为

最长边，则a2＋b2

c2（填“＞”“＜”或“＝”）.图1

图2＞

02课前导入观察与思考

活动：请你利用自己准备的四个全等的直角三角形拼出以斜边为边长的正方形．

有不同的拼法吗？据不完全统计，验证的方法有400多种，你有自己的方法吗？问题：上节课我们认识了勾股定理，你还记得它的内容吗？那么如何验证勾股定理呢？勾股定理的验证证法1

毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.aaaabbbbcccc∴a2+b2+2ab=c2+2ab.∴a2+b2=c2.证明：∵

S大正方形

=

(a

+

b)2

=

a2

+

b2

+

2ab，S大正方形

=4S直角三角形

+S小正方形

=4×

ab+c2=c2+2ab，abbcabca证法2让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图，再用所拼的图形证明命题吧.abc∵S大正方形＝c2，S小正方形＝(b-

a)2，∴S大正方形＝4S三角形＋S小正方形.赵爽弦图b-a证明：

“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽.aabbcc∴a2+b2=c2.证法3美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2+b2=c2.abc青入青方青出青出青入朱入朱方朱出青朱出入图课外链接

如图，过A

点画一直线AL

使其垂直于DE，并交DE

于L，交BC

于M.通过证明△BCF≌△BDA，利用三角形面积与矩形面积的关系，得到正方形

ABFG

与矩形

BDLM等积，同理正方形

ACKH与矩形

MLEC

也等积，于是推得：欧几里得证明勾股定理议一议观察下图，用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足

a2+b2=c2.数学八年级上册BS版03典例讲练

（1）如图1，分别以Rt△ABC的三边为边长向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，则S1，S2，S3之间有什么关系？（2）如图2，分别以Rt△ABC的三边为直径向外作三个半圆形，其面积分别用S1，S2，S3表示，则

S1，S2，S3之间有什么关系？图1图2

解：（1）根据正方形的面积公式，得S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝AC2.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2＝BC2＋AC2.所以

S1＝S2＋S3.所以S1＝S2＋S3.

【点拨】符合以直角三角形的两直角边为边长所作的两个图形的面积和等于以斜边为边长所作的图形的面积的常见图形有以下几种（分别作正方形、正三角形、半圆形、等腰直角三角形），均满足S3＝S1＋S2：

1.

下列图形中，不能用来证明勾股定理的是（

D

）D2.

如图，已知∠ADB＝90°，正方形ABCG和正方形AEFD的面积分别是100和36，则以BD为直径的半圆形的面积是

⁠（结果保留π）.8π

某地创建文明城市期间，路边设立了一块宣传牌，从该场景中抽象出的数学模型如图所示，宣传牌（AB）的顶端有一根绳子（AC），自然垂下后，绳子底端离地面还有0.7

m（即BC＝0.7

m）.工作人员将绳子底端拉到离宣传牌3

m处（即点E到

AB的距离为3

m），绳子正好拉直.已知工作人员身高（DE）为1.7

m，求宣传牌（AB）的高度.解：如图，过点E作EF⊥AB于点F，则四边形BDEF为长方形.所以BF＝DE＝1.7

m.设

AC

＝

AE

＝

x

m，在Rt△AFE中，因为EF＝3

m，

AF＝AB－BF＝x＋0.7－1.7＝（x－1）m，根据勾股定理，得AF2＋EF2＝AE2，即（x－1）2＋32＝x2，解得x＝5.所以AB＝5＋0.7＝5.7（m）.即宣传牌（AB）的高度为5.7

m.【点拨】对于实际问题，要仔细分析题意，从所给信息中抽象出直角三角形，再运用勾股定理计算出所求线段的长.若图中没有直角三角形，常作垂线，构造直角三角形.

学校内有一块如图所示的三角形空地△ABC，计划将这块空地

建成一个花园，以美化校园环境.预计花园每平方米的造价为30

元，学校修建这个花园需要投资多少元？解：如答图，过点A作AD⊥BC于点D.

设BD＝x

m（x＞0），则DC＝（21－x）m.在Rt△ABD中，AD2＝102－x2；在Rt△ACD中，AD2＝172－（21－x）2，所以102－x2＝172－（21－x）2，

答图

[尝试探究]美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图2所示，用

两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA

≌△ADE，∠C＝∠D＝90°.请根据拼图验证勾股定理.[定理应用]在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的

边长分别为a，b，c.试说明：a2c2＋a2b2＝c4－b4.图1图2

[定理应用]因为c4－b4＝（c2＋b2）（c2－b2）＝（

c2＋b2）

a2＝

a2c2＋a2b2，所以a2c2＋a2b2＝c4－