九年级数学(上)人教版探究四点共圆的条件(二)学习教案

九年级数学（上）人教版

探究四点共圆的条件（二）学习教案年级：九年级学科：数学上（人教）提出问题经过两点A，B，

在平面内作圆：提出问题经过三点A，B，C，

在平面内作圆：结论：不在同一条直线上的三点可以确定一个圆.提出问题经过平面内四点，

在平面内作圆：过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？探究猜想引例：过下列四边形的四个顶点能作一个圆吗？正方形矩形平行四边形等腰梯形直角梯形正方形过正方形的四个顶点，可以作一个圆.探究猜想引例：过下列四边形的四个顶点能作一个圆吗？正方形矩形平行四边形等腰梯形直角梯形矩形过矩形的四个顶点，可以作一个圆.平行四边形过任意平行四边形的四个顶点，不一定能作圆.探究猜想引例：过下列四边形的四个顶点能作一个圆吗？正方形矩形平行四边形等腰梯形直角梯形等腰梯形过等腰梯形的四个顶点，可以作一个圆.探究猜想引例：过下列四边形的四个顶点能作一个圆吗？正方形矩形平行四边形等腰梯形直角梯形直角梯形过直角梯形的四个顶点，不能作圆.探究猜想引例：过下列四边形的四个顶点能作一个圆吗？正方形矩形平行四边形等腰梯形直角梯形探究猜想正方形矩形等腰梯形正方形、矩形、等腰梯形有哪些共同特征？具有这些特征的其它四边形，经过它的四个顶点是否一定能作一个圆？探究猜想猜想1：有一组对边平行的四边形的四个顶点共圆.反例：平行四边形，直角梯形等.探究猜想矩形有____个角是直角的四边形的四个顶点共圆.三个直角四边形两个直角？探究猜想猜想2：有两个角是直角的四边形的四个顶点共圆.分析：当两个直角相邻时，由直角梯形可知，

四个顶点不一定共圆.当两个直角相对时，如图.连接BD，作BD的中点O，

连接OA，OC，则OA=OB=OD=OC，

所以A，B，C，D在以O为圆心，OB为半径的圆上.探究猜想变式证明四点共圆的方法（1）圆的定义.（2）结论：共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆.探究猜想正方形矩形等腰梯形有一组对角是直角?如图，若四边形ABCD内接于圆O，则∠A+∠C=∠B+∠D=180°.对角互补证明结论猜想3：经过对角互补的四边形的四个顶点，可以作一个圆.已知：四边形ABCD中，∠B+∠D=180°.求证：A，B，C，D四点共圆.证明结论分析：证明结论证明：过A，B，C三点作⊙O，假设点D不在⊙O上，则点D在⊙O内或点D在⊙O外.证明结论①若点D在⊙O内，延长AD交⊙O于E，连接CE，则∠B+∠E=180°.又∵∠B+∠ADC=180°，∴∠ADC=∠E.这与△CDE中，∠ADC>∠E矛盾，所以点D不在⊙O内.证明结论②若点D在⊙O外，….综上，假设不成立，即点D在过A，B，C三点的圆上.想一想，如何说明点D在圆外的情形不成立？方法小结（3）结论：经过对角互补的四边形的四个顶点，可以作一个圆.证明四点共圆的方法（1）圆的定义.（2）共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆.运用迁移例题：三角形的三条高线交于一点.已知：如图，△ABC的两条高BD，CE交于点H，连接AH并延长交BC于F.求证：AF⊥BC.运用迁移证明：连接DE.

∵BD，CE是△ABC的高，

∴∠AEH=∠BEC=∠ADH=∠CDB=90°.

∴A，E，H，D四点共圆，

B，E，D，C四点共圆.

∴∠1=∠2=∠3.

∵∠1+∠ADH=∠3+∠BFH，

∴∠BFH=∠ADH=90°.

∴AF⊥BC.运用迁移例题：如图，∠ABC=∠ADC.求证：A，B，C，D四点共圆.运用迁移方法1：把A，B，C，D看作四边形的四个顶点，证明其对角互补.运用迁移证明：连接BD.

∵∠1=∠2，∠AED=∠CEB，

∴△ADE∽△CBE，∠3=∠4.

∴DE:BE=AE:CE.

又∵∠BED=∠CEA，

∴△BDE∽△CAE.

∴∠5=∠6，∠7=∠8.

∴四边形ADBC中，∠CAD+∠DBC=360°÷2=180°.

∴A，B，C，D四点共圆.这里提前用到了相似三角形的知识.运用迁移运用迁移方法1：把A，B，C，D看作四边形的四个顶点，证明其对角互补.方法2：反证法.运用迁移证明：过A，B，C三点作⊙O，假设点D不在⊙O上，则点D在⊙O内或点D在⊙O外.请自己完成后面的证明！课堂小结递归过一个点作圆过两个点作圆过三个点作圆过四个点作圆从特殊到一般∠B+∠D=180°探索真理比占有真理更为可贵。——爱因斯坦1归纳整理你可以用哪些方法证明四点共圆？课堂小结2继续探索如果要证明五个或五个以上的点共圆，可以怎样做？布置作业如图，在四边形ABCD中，点E在BC的延长线上，添加下列条件中的一个后，不一定使A、B、C、D四点共圆的是（

）.

（A）∠B+∠D=180°

（B）∠A=∠BCD

（C）∠A=∠DCE

（D）∠A=∠BCD=90°布置作业如图，将一个含45°角的直角三角板ABC和一个含30°角的直角三角板ADC拼在一起，斜边AC恰好重合，点B，