2024高考数学讲义：立体几何

2024高考数学讲义：立体几何

目录

1.空间几何体及其表面积、体积.........................................1

2.空间点、直线、平面之间的位置关系.................................18

3.直线、平面平行的判定与性质........................................27

4.直线、平面垂直的判定与性质.......................................40

5.空间向量的运算及应用..............................................52

6.立体几何中的向量方法..............................................66

1.空间几何体及其表面积、体积

课程标准考向预测

1.利用实物模型、计算机软件观察

大量空间图形，认识柱、锥、台、球及

其简单组合体的结构特征，并能运用这考情分析：空间几何体的结构、

些特征描述现实生活中简单物体的结空间几何体的直观图仍会是高考的热

构.点，多结合几何体的体积和表面积的计

2.会用斜二侧法画出简单空间图形算进行考查.命题形式主要以选择题、

（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简填空题为主.

易组合）的直观图.学科素养：直观想象、数学运算.

3.了解球、棱柱、棱锥、台的表面

积和体积的计算公式（不要求记忆公式）.

❷等分步落实

精梳理、巧诊断，过好双基关

V学生用书P114

I整知识I............................

1.多面体的结构特征

名称棱柱棱锥棱台

图形

互相平行

底面多边形互相平行

且相等

平行且相相交于一点,但不一定延长线交于二

侧棱

笠相等卢

侧面平行四边

三角形梯形

形状能

2.旋转体的结构特征

名

圆柱圆锥圆台球

称

图

形

母互相平行且相延长线交

相交于一点

线等，垂直于底面于一点

轴全等的等腰全等的笠X

全等的矩形圆

截面三角形腰梯形

侧

面

矩形扇形扇环

展

开图\

3.直观图

（1）画法：常用斜二测画法.

Q）规则：

①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，/轴，（轴的夹角为

45°（或135°）,z'轴与。轴（或y轴）垂直.

②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴.平行于X轴和

Z轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段的长度在直观图中变

为原来的一半.

4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱圆锥圆台

侧面

展开图

s圆台侧=

侧面积公式S厕柱地=2兀〃S［以锥侧=皿

兀/

5.空间几何体的表面积与体积公式

名称

表面积体积

几

柱体

S表面枳=S侧+2S底V=Sh

（棱柱和圆柱）

锥体

V=\Sh

S表面积=S侧+S底

（棱锥和圆锥）

（上下+

台体V=1S+S

S表面枳=S侧+S上+S下

（棱台和圆台）

^/Si.Sh）h

4.

球S=4兀R2V=.冰3

?常用结论

1.四棱柱的演变

底面为平行四边形|丁一、侧棱垂底面

四棱柱f平行六面体f

底面为正方,形

仃平行六面福——►

侧棱与底面边长相等I,,

正四棱柱I-----------------H正方体

2.斜二测画法中的“三变”与“三不变”

1坐标轴的夹角改变，

(1)“三变”1与y轴平行的线段的长度变为原来的一半,

〔图形改变.

［平行性不变，

(2)“三不变”｛与x轴和z轴平行的线段的长度不改变，

〔相对位置不变.

3.正方体与球的切、接常用结论

(1)正方体的棱长为m球的半径为

①若球为正方体的外接球，则2/?=5a；

②若球为正方体的内切球，则2R=a；

③若球与正方体的各棱相切，则2H=啦A.

(2)长方体的共顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则27?

=yla2+b2+c2.

(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3：1

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“或“X”)

(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.()

(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.()

(3)用斜二测画法画水平放置的NA时，若NA的两边分别平行于x轴和y轴,

且NA=90°,则在直观图中，ZA=45°()

(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差.()

(5)长方体既有外接球又有内切球.()

答案：(1)X(2)X(3)X(4)V(5)X

2.(必修2P8习题T1改编)下列说法不正确的是()

A.棱柱的侧棱长都相等

B.棱锥的侧棱长都相等

C.三棱台的上、下底面是相似三角形

D.有的棱台的侧棱长都相等

B［根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等.］

3.(多选)下列结论正确的是()

A.锥体的体积等于底面面积与高之积

B.球的体积之比等于半径之比的立方

C.台体的体积可转化为两个锥体的体积之差

D.圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧

面积是2ms

BC[Vw（t=|Sh,故A错误；Vs=1nR3,故球的体积之比等于半径之

比的立方，故B正确；C显然正确；圆柱的侧面积为2nr•2nr=4"-nr=4

HS,故D错误，选BC.]

4.（2020.天津卷）若棱长为2小的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的

表面积为（）

A.12兀B.24兀

C.36兀D.144兀

C[棱长为2小的正方体的体对角线长为

7（2小）2+（2小）2+（2小）2=6,则正方体外接球的半径/?=1=3,其

表面积为4JT我2=36JT,故选c.]

5.（必修2P8习题T1改编）在如图所示的几何体中，是棱柱的为.（填

写所有正确的序号）

解析：由棱柱的定义可判断③⑤属于棱柱.

答案：③⑤

6.如图是水平放置的正方形A8C0,在直角坐标系xOy中，点8的坐标为

（2,2）,则由斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点9到V轴的距离为

解析：根据斜二测画法规则画出直观图，如图所示.

作夕轴于点E,在RtaB'C'£中，8'C'=1,N

B'C'E=45°,则B'E=^-.

V学生用书P115

空间几何体的结构特征

［题组练透］

1.（多选）（2020・宝城区期中）下列命题中不正确的是（）

A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱

B.有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边

都互相平行的几何体叫棱柱

C.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台

D.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

ACD［在A中，如图的几何体，有两个面平行，其余各面都是四边形的几

何体不是棱柱，故A错误；在B中，由棱柱的定义得：有两个面平行，其余各

面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平等的几何体叫棱柱，故

B正确；在C中，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组

成的几何体叫棱台，故C错误；在D中，如图的几何体，有两个面平行，其余

各面都是平行四边形的几何体不是棱柱，故D错误.故选ACD.］

2.把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（）

A.10B.l（h/3

C.1072D.5s

B［设圆锥的底面半径为r,高为瓦因为半圆的弧长等于圆锥的底面周长,

半圆的半径等于圆锥的母线，所以2nr=20",所以r=10,所以A=啦仪二正

=1即.］

3.给出下列四个命题：

①有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱；

②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；

③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；

④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱.

其中不正确的命题为.（填序号）

解析：对于①，平行六面体的两个相对侧面也可

能是矩形，故①错；对于②，对等腰三角形的腰不是侧棱

时不一定成立（如图），故②错；对于③，若底面不是矩形，

则四棱柱不是长方体，故③错；对于④，可知侧棱垂直于

底面，故④正确.综上，命题①②③不正确.

答案：①②③

［题组练透］

1.以下关于斜二测直观图的结论，①角的水平放置的直观图一定是角；②

相等的角在直观图中仍然相等；③相等的线段在直观图中仍然相等；④若两条线

段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行。其中正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

C［角的水平放置的直观图一定是角，①正确；相等的角在直观图中不一定

相等，例如在正方体A8CO-EFGO的直观图中NAOCWND48,故②错误；相等

的线段在直观图中不一定相行，例如在正方体A5CD-EFG0的直观图中A£>=；

DC,故③错误；若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行，故

④正确。综上所述，正确的个数为2.]

2.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正

方形，则原来的图形是()

A[由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为啦，所以原

图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为2啦.]

3.在直观图(如图所示)中，四边形O4&C为菱形且边长为2cm,则在平

面直角坐标系xOy中，四边形ABCO为,面积为cm2.

解析：在直观图中，四边形为。女夕。菱形且边长为2cm,

...由斜二测法的规则得：

在xOy坐标系中，四边形A8CO是矩形，

其中0A=2cm,0C=4cm,

四边形ABCD的周长为:2X(2+4)=12(cm),

面积为5=2X4=8(cm2).

故答案为：矩形，8.

答案：矩形；8

空间几何体的表面积和体积

（1）（2020•全国卷I）已知A,B,C为球。的球面上的三个点，为

△ABC的外接圆.若。。的面积为4n,AB=BC=AC=OO\,则球。的表面积

为（）

A.6471B.4871

C.36兀D.32兀

（2）（一题多解）如图是一个以ABE为底面的直三棱柱被一平面

所截得到的几何体，截面为CDF,已知AO=4,BC=AE=BE=2,

EF=3且NAEB=90°,则所得的几何体的体积为.

解析：（1）如图所示，设正三角形ABC的边长为a,O

0\的半径为r,球。的半径为R由。。|的面积为，可

,,2

得〃=2.又OOi为△ABC的外接圆，则r=OiA=ga=

2,解得a=2小.在RtZ^OOM中，R2=OA2=I2+OO]=4

+12=16,所以球。的表面积为4n配=64JT,故选A.

（2）法一：（分解法）如图，过点。作CM平行于A&交AO于点作CN

平行于BE,交EF于点、N,连接MN.由题意可知A8CM,8ENC都是矩形，AM

=DM=2,CN=2,FN=T,AB=CM=2j,所以X2X2=2,

因为截面CMN把这个几何体分割为直三棱柱ABE-MCN和四棱锥C-MNFD,

又因为直三棱柱ABE-MCN的体积为VI=S“BE・AM=；X2X2X2=4,四棱锥

C-MNFO的体积为V2=1S四边形MNFD-B£=|X；（1+2）X2X2=2,所以所求几

何体的体积为口+%=6.

法二：（分割法）如图，连接AC,EC,则几何体分割为四棱锥

1（3+4）]4

C-ADFE和三棱锥CABE,因为VC-ADFE=^X1-^-X2\X2=y,

Vc-ABE=1||x2）X2=1,所以几何体的体积为VC-ADFE+VC-ABE=

法三：（补形法）如图，延长3C至点M,使得CM=2,延长EF至点、N,使

得FN=1,连接。M,MN,DN,得到直三棱柱A8E-OMN,所以

几何体的体积等于直三棱柱ABE-DMN的体积减去四棱锥

。-CMNF的体积.

因为VABE-DMN-X2X2IX4=8,

1门+2)

VD-CMNF=^X2IX2=2,

所以几何体的体积为VABEDMN-VD.CMNF=8—2=6.

答案：(1)A(2)6

1.三类几何体表面积的求法

求多

面体只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形

的表面积的方法求多面体的表面积

面积

求旋

可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求

转体

表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中

的表

的边长关系

面积

求不

规则

通常将不规则几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求

几何

出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，

体的

求出不规则几何体的表面积

表面

积

2.处理体积问题的思路

3.求空间几何体的体积的常用方法

(1)公式法.对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解.

(2)割补法.把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积计算；或者

把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于

计算其体积.(如例2(2))

(3)等体积法.等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底

面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体

积.

1.如图所示，已知三棱柱ABC-AiBiG的所有棱长均为1,且底面A8C,

则三棱锥B-A5G的体积为()

人*B.小C.聆D.小

A[三棱锥B\-ABC\的体积等于三棱锥A-B\BC\的体积，三棱锥A-B\BC\

的高为平，底面积为J,故其体积为!义哗=求.]

2.已知圆锥的侧面积(单位：cn?)为2n,且它的侧面展开图是一个半圆，

则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是.

解析：法一：设该圆锥的母线长为I,因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，

其面积为2n,所以3n/2=2n,解得/=2,所以该半圆的弧长为2设该圆锥

的底面半径为R,则2"/?=2"，解得R=l.

法二：设该圆锥的底面半径为七则该圆锥侧面展开图中的圆弧的瓠长为2

“R.因为侧面展开图是一个半圆，设该半圆的半径为r,则nr=2nR,即r=2R,

所以侧面展开图的面积为3•2R•2n/?=2"R2=2JT,解得R=I.

答案：1cm

3.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长

方体ABCD-AIBGOI挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中0为长方体的

中心，E,F,G,"分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,A4i=4cm,3D打

印所用原料密度为0.9g/cnP,不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量

------------------g-

解析：长方体ABCD-AiBiGDi的体积U=6X6X4=144(cm3),而四棱锥

O-EFG”的底面积为矩形88GC的面积的一半，高为AB长的一半，所以四棱

2

锥O-EFGH的体积V2=1x|X4X6X3=12(cm),所以长方体ABCD-

2

AiBiaDi挖去四棱锥O—EFG”后所得几何体的体积V=Vi-V2=132(cm),所

以制作该模型所需原料的质量为132X0.9=118.8（g）.

答案：118.8

球与空间几何体的接、切问题多维型

角度一几何体的外接球

（2020•贵阳市适应性考试）已知A,B,C,。四点在球。的表面上，且

L4

AB=BC=2,AC=2市,若四面体ABC。的体积的最大值为I,则球。的表面

积为（）

A.7兀B.9兀

C.IOTID.12兀

B［根据题意有A¥+BC2=AC2,所以△ABC在以AC为

1

直径的截面圆内，如图，SMBC=2X2X2=2.当平面。4。_1平

■■■■■

面ABC时，所得四面体体积最大，此时，设高为/2,则VD4BC

114

=WSAABch=mX2/I=2,解得力=2,设01为AC1的中点，则

.平面ABC,在Rt^OOi。中，根据00f+OiC2=OC2,得（2—/?>+（6）2

=R2（R为球。的半径），解得R=5,所以球的表面积S=4JTR2=9n」

用归纳升华

处理球的“接”问题的策略

把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题.解决这类问题的关

键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.

角度二几何体的内切球

一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的

体积为苧，那么这个正三棱柱的体积是（）

A.12^3B.2小

C.6sD.48小

4ji4Ji

C［设球的半径为R,由弓,得R=1.因为球与正三棱柱的三个

侧面和两个底面都相切，所以正三棱柱的高等于球的直径2,正三棱柱的底面三

角形的内切圆的半径等于球的半径1.设正三棱柱的底面三角形的边长为a,则

«Xsinyx1=1,所以a=2小，所以这个正三棱柱的体积丫=乎X（2小）2

X2=6^3,故选C1

归纳升华

1.处理球的“切”问题的策略，解决与球的内切问题主要是指球内切多面

体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果内切的是多面体，

则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.

2.解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为

平面几何问题求解，其解题的思维流程是：

变式训练

1.（2020.昆明市三诊一模）某同学在参加《通用技术》实践课时，

制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱

长为4事的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心

重合），若其中一个截面圆的周长为4兀，则该球的半径是（）

A.2B.4

C.2^6D.4^6

B[设截面圆半径为r,则有2nr=4n,所以r=2.由题意知，球的球心为

正方体的中心，设球的半径为R,则R2=（2小）2+22=16,所以R=4,故选B.]

2.（2020.全国卷HI）已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径

最大的球的体积为.

解析：由题意分析知圆锥内半径最大的球应为圆锥的内切球，如图，作出

圆锥与其内切球的轴截面.设截面为△SAB,球心为。，球半

径为r.

易知AB=2,SA=SB=3,

贝X2X2啦=2y/2.

J、历

又S^OSB+SZSOSA+SZSOA3=2r(3+3+2)=26,贝"r=1.

所以圆锥内半径最大的球的体积为g”,=乎丁

套口案才t.-3

3.若侧面积为4兀的圆柱有一外接球0,当球0的体积取得最小值时，圆

柱的表面积为.

解析：设圆柱的底面圆半径为r,高为//,

则球的半径R=++©.

4JI

因为球的体积V=-R3.故V最小当且仅当R最小.

圆柱的侧面积为2JT/7z=4况，所以汕=2,

所以3=r'所以4+，》也，当且仅当，

即厂=1时取“=”号，此时球。的体积取最小值，

所以r=l,h=2,圆柱的表面积为2nxl2+2兀><1X2=6兀

答案：6无

微专题系列29［学科素养］

数学文化与立体几何的交汇

纵观近几年高考，立体几何以数学文化为背景的问题层出不穷，让人耳目一

新.从中国古代数学文化中挖掘素材，考查立体几何的有关知识，既符合考生的

认知水平又可以引导考生关注中华优秀传统文化，并提升审题能力，增加对数学

文化的理解，发展数学核心素养.

《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为“鳖臊”.如

图所示，平面四边形A8CD中，AB=AD=CD=\,BD=^2.BO_LCD.将平面四

边形A8CQ沿对角线3。折成一个“鳖膈”4-BCD,则该“鳖席”的内切球的半

径为.

解析：因为AZ>=CO=1,且△ACO为直角三角形，

所以COL4D又CO_LBO,BDQA'D=D.

所以CO,平面ABD,所以COL4B

又由48=40=1,BD=yf2,得A5LAZ),且4£>nC£>=。，所以A'B,

平面48,所以A8L4C,由题意得A'C=72.设该“鳖膈”的内切球的半

径为r,

则g(SA4'BC+SM,CD+5A4'Bo+SAfiCD)r=2XC£)XSA?VB»,所以gX(*'+

X+x+乎)r=|X1Xy,解得r=^).

乙乙乙J乙乙

较案•止11

1=1•2

■•・I求解与数学文化有关的立体几何问题，首先要在阅读理解上下功

夫，明确其中一些概念的意义，如“堑堵”“阳马”和“鳖席”等的特征是求解

相关问题的前提，其次目标要明确，根据目标联想相关公式，然后进行求解.

变式训练

(2020.湛江期中)鳖麝(bie*0)是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥

的称呼.已知三棱锥A-BCD是一个鳖展，其中ABJ_8C,AB1.BD,BCA.CD,

且AB=6,BC=3,DC=2,则三棱锥43co的外接球的体积是()

49兀

A.B.警

-343兀

C.49KD-丁

D［如图,

由AB_L3C,AB±BD,且BCCBD=B,

可得AB_L平面BCD,

贝i」AB_LC。，XBC1CD,且ABCBC=B,

，CZ），平面ABC,故CD±AC,

则AO为三棱锥A-BCO的外接球的直径.

\'AB=6,BC=3,DC=2,：.AD=y/62+32+22=7,

7

故三棱锥A-3CO的外接球的半径为1,则三棱锥A-BCD的外接球的体积是

V=4（7、3343n

3"•GJ=k・

故选D.]

「友情提示]每道习题都是一个高考点，每项训练都是对能力的检验，认真

对待它们吧！进入“课时作业（三十八）”，去收获希望，体验成功！本栏目内容

以活页形式分册装订！

2.空间点、直线、平面之间的位置关系

课程标准考向预测

1.借助长方体，在直观认识空间点、

考情分析：以常见的空间几何体

直线、平面的位置关系的基础上，抽象

为载体，考查点、直线、平面的位置关

出空间点、直线、平面的位置关系的定

系，以及异面直线所成角、线面角等，

义.

与平行关系、垂直关系等相结合考查是

2.了解四个基本事实和定理.

高考的热点.

3.了解空间中直线与直线的关系

学科素养：直观想象、逻辑推理.

(平行、相交、异面).

❷o分步落实

V学生用书P118

I整知识I..............................................>»

1.平面的基本性质

(1)基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平

面内.

(2)基本事实2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.

(3)基本事实3：如果两个不重合的平面有二±公共点，那么它们有且只有一

条过该点的公共直线.

(4)基本事实4：平行于同一直线的两条直线平行.

2.空间中两直线的位置关系

(1)空间中两直线的位置关系

［共面直线｛器

I异面直线：不同在任何一个平面内

(2)异面直线所成的角

①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间中任一点。作直线。，〃。，b'

//b,把a，与厅所成的锐角(或直角)叫做异面直线a,匕所成的角(或夹角).

②范围：(o,I.

(3)等角定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

3.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系

(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况.

(2)平面与平面的位置关系有壬红、相交两种情况.

1.基本事实2的三个推论

推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面.

推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面.

推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面.

2.异面直线判定的一个定理

过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线.

3.唯一性定理

(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.

(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.

(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.

(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.

I练基础I................................................》

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)若PeaCQ且/是a,£的交线，则)

(2)三点A,B,C确定一个平面.()

(3)若直线anO=A,则直线a与匕能够确定一个平面.()

(4)若AW/,36/且Ada,Bea,则/Ua.()

(5)分别在两个平面内的两条直线是异面直线.()

答案：(1)V(2)X(3)V(4)V(5)X

2.(必修2P43练习T1改编)下列说法正确的个数为()

①梯形可以确定一个平面；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这

两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面

有三个公共点，则两个平面重合.

A.0B.1

C.2D.3

C[②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则

两个平面可能相交，①③正确.]

3.已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一

定是（）

A.空间四边形B.矩形

C.菱形D.正方形

B[如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形.

:E,尸分别为AB,的中点，

S.EF//AC.

又FG//BD,

.♦.NEFG或其补角为AC与8。所成的角.

而AC与8。所成的角为90°,

:.NEFG=90°,故四边形EFG"为矩形.]

4.如图所示，在正方体ABCD-A出CQ中，E,尸分别是A3,

AO的中点，则异面直线与£尸所成的角大小为（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

C[如图，连接8。，DiC,则31。1〃石凡故/。归|。（或其补角）为所求,

又BiD尸BiC=DiC,所以NDiBC=60。.]

5.平面a,£相交，在a,£内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能

确定个平面.

解析：如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，

则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个.

答案：1或4

分类突破微点拨、多维练，研透命题点。

V学生用书P119

平面的基本性质

ETF如图，在空间四边形ABCO中，E,尸分别是AB,AD

的中点，G,H分别在BC,CO上，且BG:GC=DH：HC=1：2.

(1)求证：E,F,G,“四点共面；

(2)设EG与F”交于点P,求证：P,A,C三点共线.

证明：⑴：区E分别为AB,A。的中点，

S.EF//BD.

,Aci,BGDH\

在ABCD中，GC-HC-2，

：.GH//BD.

：.EF//GH.

：.E,F,G,”四点共面.

(2)•:EGCFH=P,PGEG,EGU平面ABC,

平面ABC.同理PS平面ADC.

：.P为平面ABC与平面ADC的公共点.

又平面ABCCI平面ADC=AC,

：.P&AC,：.P,A,C三点共线.

平归纳升华

共面、共线、共点问题的证明

(1)证明点线共面问题的两种方法

①纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内；

②辅助平面法：先证有关点、线确定平面a,再证其余点、线，确定平面夕,

最后证明平面a,£重合.

(2)证明点共线问题的两种方法

①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上;

②直接证明这些点都在一条特定直线上.

（3）证明多线共点问题的步骤

①先证其中两条直线交于一点；

②再证交点在第三条直线上.证交点在第三条直线上时，依据是第三条直线

应为前两条直线所在平面的交线，即利用公理3证明.

变式训练

如图，在正方体ABCD-AIBCIQI中，E,F分别是45和

M的中点.

求证：（1）E,C,D\,口四点共面；

⑵CE,D\F,D4三线共点.

证明：（1）如图所示，连接CDi,EF,A\B,

,:E,F分别是A8和AAi的中点，

：.FE//A\B且EF=|A\B.

VAiD!BC,二四边形AiBCDi是平行四边形，

：.A\B//D\C,：.FE//D\C,

...EF与81可确定一个平面，

即E,C,Di,尸四点共面.

(2)由(1)知E尸〃CO,且

二四边形CD庄是梯形，

二直线CE与。1/必相交，设交点为P,

则「金庭匚平面入台。，

且PG。尸U平面AIAODI,

二.PG平面ABCD且PG平面AiADD\.

又平面ABCDA平面A\ADD\=AD,

：.P^AD,：.CE,D\F,D4三线共点.

空间两直线的位置关系讲练型

（多选）如图所示，在正方体ABCD-A\B\C\D\中，M,N分别为棱C\D\,

CiC的中点，其中正确的结论为（）

A.直线AM与GC是相交直线

B.直线AM与BN是平行直线

C.直线8N与MB是异面直线

D.直线MN与AC所成的角为60。

CD［在正方体ABCD-AiBGDi中，M,N分别为棱GOi,GC的中点，在

A中，直线AM与GC是异面直线，故A错误；

在B中，直线AM与BN是异面直线，故B错误；

在C中，直线BN与MB是异面直线，故C正确；

在D中，连结MN,CDi,ADi,AC,

因为MN//CD\；

所以MN与AC所成的角就等于AC与CU所成角；因为△AC。是正三角

形,所以NACDi=60。.

所以直线MN与AC所成角为60。，故D正确.所以选CDJ

母归纳升华

［注意］异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直

线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不

相交.

变式训练

1.（多选）a是一个平面，m,"是两条直线，A是一个点，若机Qa,〃Ua,

且AG«,则〃z,〃的位置关系可能是（）

A.垂直B.相交

C.异面D.平行

ABC[依题意，〃?na=A,〃Ua,所以m与〃可能异面、相交（垂直是相交

的特例），一定不平行.故选ABC项.]

2.将图（1）中的等腰直角三角形A3C沿斜边的中线AD折起得到空间四

面体A8CD,如图（2）,则在空间四面体A8C。中，AO与BC的位置关系是（）

A.相交且垂直B.相交但不垂直

C.异面且垂直D.异面但不垂直

C[折起前折起后有ADLBO,A。，。。，所以AO_L平面3c。，

所以AOLBC.又AO与BC不相交，故与8C异面且垂直.]

异面直线所成的角讲练型

区向（1）（2020•成都第一次诊断性检测）在各棱长均相等的直三棱柱

ABC-AiBCi中，已知M是棱BBi的中点，N是棱AC的中点，则异面直线4M

与BN所成角的正切值为（）

A.小B.1

C.*D,坐

（2）已知E、F、G、H分别是三棱锥A-8C。棱A8、BC、CD、D4的中点，

①四边形EFGH是形；

②AC与8。所成角为60。，且AC=8£>=1,则EG=

解析：（1）如图，取A4i的中点P,连接PN,PB.则由直三

棱柱的性质可知则NPBN为异面直线4M与BN所

成的角（或其补角）.设三棱柱的棱长为2,则小=让回=小,

BN=4.所以PN?+BN2=PB2.所以NPNB=90°.在RtAPBN中，

tanZPBN=j^=坐.故选C.

(2)①•；1£、F、G、"分别是三棱锥A-BCO棱A3、BC、CD、D4的中点,

为△ABC的AC边的中位线，故E尸〃AC且AC,

同理G"为△AC。的AC边的中位线，故GH〃AC且G”=；AC,

尸平行且等于GH,：.四边形EFGH是平行四边形.

②由①可得瓦?”AC且AC=^,

同理FG〃8O且FG=|BD=；,

；AC与8。所成角为60°,

：.NEFG=60°或120°,

当NEFG=60°时，£G=1；

当NEFG=120。时，EG=^~.

答案：(1)C⑵①平行四边②1或坐

为归纳升华

求异面直线所成的角的三步曲

变式训练

1.直三棱柱ABC-45G中，若NBAC=90°,AB=AC=AAi,则异面直线

84与AC所成的角等于（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

C［如图，将三棱柱补成一个正方体,

由正方体的性质可知，AC\//BD\,

所以直线841与AC\所成的角为NA山Di.

又易知为正三角形，

所以NAi8D=60°,即氏4i与AC成60°的角.］

2.已知正四面体A-BCD中，M为的中点，则CM与AO所成角的余弦

值为（）

A.1B.坐

D2

JC663

C［如图，设正四面体A-BC。的棱长为2,取8。的中点N,连接MMCN,

是A3的中点，S.MN//AD,

...NCMN（或其补角）是直线CM与所成的角，

取MN的中点E,连接CE,CE1MN,

在△CME中，ME=^MN=（AO=g,CM=y^,

1

一

2近

做选

二直线与所成角的余弦值为一6

CMADcosZCME=-^小

C.]

［友情提示］每道习题都是一个高考点，每项训练都是对能力的检验，认真

对待它们吧！进入“课时作业（三十九）”，去收获希望，体验成功！本栏目内容

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3.直线、平面平行的判定与性质

课程标准考向预测

1.以立体几何的定义、公理和定理

为出发，借助长方体，通过直观感知，考情分析：直线与平面以及平面

了解空间中线面平行的有关性质与判定与平面平行的判定和性质仍会是高考的

定理.热点，常出现在解答题的第（1）问，难度

2.能运用公理、定理和已获得的结中等.

论证明一些有关空间图形的平行关系的学科素养：直观想象、逻辑推理.

简单命题.

❷埠分步落实

精梳理、巧诊断，过好双基关。

V学生用书P120

I整知识I......