实数（江苏专用）初中数学

第二步大题得高分

考点03实数

真题回顾

1.（2020•四川绵阳市•中考真题）（1）计算：|逐-3|+275cos60°-导龙-

争。.

（2）先化简，再求值：（X+2+3）4-1-2%+£-,其中*=正-1.

x-2x-2

Y—1

【答案】（1）0（2）--1-72

x+1：

【分析】

（1）先去绝对值符号、代入三角函数值、化简二次根式、计算零指数累，再计算乘法，最

后计算加减可得；

（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得.

【详解】

解：（1）原式=3-逐+2后X2一立x20-l

22

=3—石+行一2-1

=0;

1

:Q+l)2

（2）原式=

x—2x-2x—2

(x4-l)(x-1)x—2.

x_2(x+1)-

x-1

~7+i'

当X=a-1时，

原式:培土1

V2-1+1

_V2-2

~1T

【点睛】

本题主要考查实数的混合运算与分式的化简求值，解题的关键是掌握绝对值性质、二次根式

的性质、零指数幕的规定、熟记三角函数值及分式的混合运算顺序和运算法则.

2.（2020•山东东营市•中考真题）（1）计算：V27+（2C^6O°）2O2＜，--\一|3+26卜

（Q?_2\2_2

（2）先化简，再求值：x----——~,其中x=0+Ly=J5.

x+xy

【答案】⑴6-6；（2）x-y,1.

【分析】

（1）根据算术平方根、特殊角三角函数值、负整数指数评价的人意义以及绝对值的意义进

行计算即可；

2

（2）先将括号内的进行通分，再按同分母分式减法计算，将除法转化为乘法，把分子分母

因式分解后进行约分得到最简结果，再把x,y的值代入即可.

【详解】

(1)V27+(2cw6O°)2020-^-|

=3肉1—4—3—26

=#>-6；

[2孙一门di

(x)x~-\-xy

x2-2xy+丁x2+xy

一*-22

x厂一y

=(x_y『x(x+y)

x(x-y)(x+y)

=》一儿

当x=J5+l,y=0时，

原式=0+1-0=1.

【点睛】

本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值以及二次根式的加减法，解答此题的关键是熟

练掌握运算法则.

模拟预测

3.（2021•浙江温州市•九年级其他模拟）（1）计算：（_3）2-值+（4+疗）°_|一5|.

3

（2）化简：（x+3）2-（x+2）（x-2）.

【答案】（1）5-2A/3；（2）6x+13.

【分析】

（1）先根据有理数的乘方，二次根式的化简，绝对值和零指数辕进行计算，再算加减即可；

（2）先计算乘方和乘法，再合并同类项即可；

【详解】

解：（1）原式=9—26+1—5

=5-.

（2）原式=X?+6x+9-（x?-4）

=6x+13.

【点睛】

本题考查了有理数的乘方，二次根式的化简，零指数幕，绝对值，实数的运算和整式的混合

运算，掌握计算法则和求解步骤是正确解答的前提.

4.（2021•湖北十堰市•九年级一模）计算：（J15—1）°-|-3|+及。85°+（；尸.

【答案】3

【分析】

根据相应的运算法则，仔细计算即可.

【详解】

（V1O-1）0-|-3|+及cos45。+（J）T

4

=1-34-72x—+4

2

=-2+1+4

=3.

【点睛】

本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的函数值，熟记各种运

算法则是解题的关键.

5.（2021•浙江温州市•九年级一模）（1）计算：V9-（V2-1）°+|-3|-（：）I;

（2）化简：a（升4）-（a-2）2.

【答案】（1）3；（2）8a-4.

【分析】

（1）先运用平方根、零次基、绝对值和负整数次幕化筒，然后再计算即可；

（2）先运用单项式乘多项式、完全平方公式计算，然后再合并同类项即可.

【详解】

解：（1）^/9-（-1）°+|-3|-（—）1

=3-14-3-2

=3.

（2）a（a+4）-（a-2）2

=#+4a・#+43-4

=8a-4.

【点睛】

5

本题主要考查了实数的运算、单项式乘多项式以及完全平方公式等知识点，灵活应用相关知

识成为解答本题的关键.

6.(2021•四川自贡市•九年级一模)对于三个实数a,b,c,用例{。也。}表示这三个

,、1+2+9

数的平均数，用皿力{。力,。}表示这三个数中最小的数.例如：M{1,2,9}=---=4,

相加{1,2,-3}=-3,min\3,1,11=1.

请结合上述材料，解决下列问题：

(1)M{32,(-3)2,-32}-；

(2)若力加{2x+l,4x—3,7}=2x+l,则整数x的值是；

(3)若M{5%,/,-3}=皿力{f,一3},求x的值.

【答案】(1)3；(2)2和3；(3)-2或-3；

【分析】

依题意，(1)依据定义进行平均值的求解即可；

(2)依据定义分类讨论进行比较，即可；

(3)结合M{a,),c}和的定义，进行方程的求解，即可；

【详解】

由题知，(1)依据M{a,0,c}定义，表示这三个数的平均数；

M{32,(—3)2,—32}=?+(-；)2—32=3；

(2)依据min{a,/?,c}表示这三个数中最小的数；又min{2x+l,4x-3,7}=2x+l；

6

2%+l<4x—3x>2

,得《2<x<3；又无为整数;

2x+\<7[x<3

...整数X的值是：2、3；

(3)依据〃{a,O,c}表示这三个数的平均数；依据min{a1,c}表示这三个数中最小的数;

又M{5x,f，-3}==3；min{炉,-3}=-3且M{5x,x2,-3}=min{f,-3}

--------------=-3，f+5x+6=0，

3

x=-2或x=-3：

【点睛】

本题考查平均数和一元二次方程的性质，关键在利用新的定义列等式和计算；

7.(2021♦河北石家庄市•九年级一模)嘉琪通过计算和化简下列两式，发现了一个结论，

请你帮助嘉琪完成这一过程.

(1)计算：[(9+2)2-(9—2)2]X(-25)+9；

(2)化简：[(。+2)2-(。-2)2]*(-25)+。；

(3)请写出嘉琪发现的结论.

【答案】(1)-200；(2)-200；(3)在(1)中算式数字9的位置上，可以取任意实数，其

计算结果不变，都是-200

【分析】

(1)先算括号中的和差，再用平方差公式计算，然后再通过乘除运算即可求解；

(2)先利用平方差公式进行计算，再然后再通过乘除运算即可求解；

(3)通过(1)、(2)的运算过程及运算结果，总结规律即可得到结论.

7

【详解】

,解：(1)原式=(”2-72)x(-25)+9,

=(11—7)(1l+7)x(—25)+9,

=4xl8x(—25)+9,

=-200.

(2)原式=[(a+2)—(a—2)][(a+2)+(a—2)]x(—25),

=4x2ax(—25)+a,

=-200.

(3)在(1)中算式数字9的位置上，可以取任意实数，其计算结果不变，都是-200.

【点睛】

本题考查了平方差公式、与实数的混合运算有关的规律性问题，解题的关键是熟练掌握平方

差公式和实数的混合运算法则.

8.(2021•山东济南市•九年级一模)(―1),+乃一1|—tan60°+(g).

【答案】6+2

【分析】

利用乘方的性质、二次根式的化简、绝对值的性质、特殊角的三角函数值以及负指数'幕分别

化简得出答案.

【详解】

/1、一1

解：(-l)4+|V12-l|-ton60o+-

8

=1+26-1-6+2

=y/S+2

【点睛】

此题主要考查了乘方的性质、二次根式的化简、绝对值的性质、特殊角的三角函数值以及负

指数基的运算，正确化简各数是解题关键.

9.（2021*山西九年级一模）计算：

（1）（3V2）2-|M|-^-1^+（-4-2）°；

，、门xyX2-9

（2）1------i----------.

〈x+37x+6x+9

3

【答案】（1）6；（2）^―

x-3

【分析】

（1）先根据零指数幕和负整数指数器相关运算法则化简，再合并求解即可；

（2）根据分式的混合运算法则求解即可.

【详解】

解：（1）原式=18—4—9+1=6.

3x2-9

（2）原式~—

%+3x+6x+9

3J+6X+9

x+3x2-9

9

3(X+3)2

x+3(x+3)(x-3)

3

【点睛】

本题考查实数的混合运算，以及分式的混合运算，掌握相关运算法则并注意运算顺序是解题

关键.

10.(2021•东营市胜利第三十九中学九年级其他模拟)(1)计算：

—g)+解一21—(2sin60。一3国+2cos300.

(2)先化简，再求值：|%-2一一三］一卢斗，其中k正-3.

Ix+2)2x+4、

【答案】⑴-7；(2)2(x+3),272.

【分析】

(1)根据负整数指数累、绝对值、特殊角的三角函数值和零指数事可以解答本题；

(2)根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可

解答本题.

【详解】

解：(1)+1V3-21-(2sin60Q-3V3)0+2cos30°

=(-8)+2-6-1+2X立

2

-(-8)+2-73-l+x/3

=-7；

10

x—3

x—2-

x+2)2x+4

(x+2)(x-2)-52(x+2)

x+2x—3

犬―92

1~

2。+3)(x—3)

―

=2(x+3),

当ka-3时，原式=2(y/2-3+3)=2&.

【点睛】

此题主要考查实数与分式的运算，解题的关键是熟知其运算法则及特殊角的三角函数值.

11.(2021•河南九年级二模)阅读下列材料解答问题：新定义：对非负数x“四舍五入”

到个位的值记为Vx>,即：当n为非负整数时，如果n-gwxVn+g,则Vx>=n；反

之，当n为非负整数时，如果Vx>=n,则n-JwxVn+g.例如：V0.1>=V0.49>

=0,<1.51>=<2.48>=2,V3>=3,<4.5>=V5.25>=5,…试解决下列问题：

(1)①〈页+2.4>=(n为圆周率)；②如果Vx-1>=2,则数x的取值范围为；

(2)求出满足<x>=』x-l的x的取值范围.

4

【答案】(1)①6,②2.5Wx<3.5；(2)x——,—>4>

【分析】

(1)①利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为<x>,进而得出<"+2.4>的值；

②利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为<x>,进而得出x的取值范围；

11

(2)利用<x>=』x-1,设工x=k,k为整数，得出关于k的不等关系求出即可.

44

【详解】

(1)由题意可得：<加+2.4>=6；

故答案为：6,

@V<x-1>=2,

，1.5<x-K2.5,

，2.5WxV3.5：

故答案为:2.5—5；

(2)Vx>O,：x-l为整数，设gx=k,k为整数，

44

4

则X=yk,

4

・・・V-k>=k-1,

5

141

・・・k-l-zW—kVk-1+二，k20,

252

515

••一VkW—，

22

，k=3,4,5,6,7,

rll12162428

5555

【点睛】

此题主要考查了新定义以及一元一次不等式组的应用，根据题意正确理解Vx>的意义是解

题关键.

12

12.(2021•贵州毕节市•九年级一模)我们知道，任意一个正整数*都可以进行这样的分

解：x=mxn(m,〃是正整数，且他<〃)，在x的所有这种分解中，如果m,〃两因数

之差的绝对值最小，我们就称加X”是*的最佳分解.并规定：/(x)=一.

n

例如：18可以分解成1x18,2x9或3x6,因为18—1>9—2>6—3,所以3x6是18的

31

最佳分解，所以/(18)=乙=彳.

62

(1)填空：〃6)=；〃9)=；

(2)一个两位正整数t(f=10a+人l<a<b<9,a,b为正整数)，交换其个位上的数

字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54,求出所有的两位正整数；并求了(。

的最大值；

(3)填空：

①,(22x3x5x7)=；

②/(23X3X5X7)=；

③/(2,x3x5x7)=；

@/(25X3X5X7)=

…自、2„以曰一“420142014

【答案】(1)—;1;(2)t为39,28,17；/(，)的最大值亍；(3)

【分析】

2

(1)6=1X6=2X3,由已知可求/(6)=H；9=1X9=3X3,由已知可求/⑼=1；

(2)由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：10b+a-10a-b=9(b-a)=54,得

到b~a=6