浙江专用2024-2025学年高二数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷专题01数列重点新人教A版

专题01数列（重点）一、单选题1．下列有关数列的说法正确的是（

）A．同一数列的随意两项均不行能相同 B．数列，0，2与数列2，0，是同一个数列C．数列2，4，6，8可表示为 D．数列中的每一项都与它的序号有关【答案】D【分析】依据数列的定义和表示方法，逐项判定，即可求解.【解析】对于A中，常数列中随意两项都是相等的，所以A不正确；对于B中，数列，0，2与2，0，中数字的排列依次不同，不是同一个数列，所以B不正确；对于C中，表示一个集合，不是数列，所以C不正确；对于D中，依据数列的定义知，数列中的每一项与它的序号是有关的，所以D正确.故选：D.2．已知a是4与6的等差中项，b是与的等比中项，则（

）A．13 B． C．3或 D．或13【答案】D【分析】依据等差中项得到，依据等比中项得到，计算得到答案.【解析】a是4与6的等差中项，故，b是与的等比中项，则，则，或.故选：D3．在等比数列中，已知，则（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】A【分析】用基本量表示出来可以求；或者考虑下标和公式.【解析】在等比数列中，，解得，则.故选：A.4．已知等比数列的前项和为，则实数的值是（

）A． B．3 C． D．1【答案】C【分析】先求出，由解得即可；【解析】等比数列的前项和为，当时，可得，可得，当时，，则所以因为为等比数列，所以，即解得，经检验符合题意.故选：C．5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝6，S4＝12，则S7＝（

）A．30 B．36 C．42 D．48【答案】C【分析】由题目条件及等差数列前n项和公式列出方程，可得答案.【解析】设{an}首项为，公差为d.因S3＝6，S4＝12，则.则.故选：C6．已知等比数列的前项和为，若，公比，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依据等比中项的性质可得，解方程即可得数列中的项，进而可得首项与公比，求得.【解析】由等比中项的性质得，又，解得或，当时，或（舍），当时，（舍），所以，，此时，所以，故选：D.7．利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到，左边增加了（

）A．1项 B．k项 C．项 D．项【答案】D【分析】分别分析当与时等号左边的项，再分析增加项即可【解析】由题意知当时，左边为，当时，左边为，增加的部分为，共项．故选：D8．已知数列的通项公式为，且数列是递增数列，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用递增数列的定义即可.【解析】由，∴，即是小于2n+1的最小值，∴，故选：C9．已知数列满意，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造等差数列，结合等差数列的通项公式，求得，再求结果即可.【解析】依据题意可得：，则，故数列是首项为，公差为的等差数列，则，，故.故选：B.10．若数列满意，，则数列中的项的值不行能为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用数列满意的递推关系及，依次取代入计算，能得到数列是周期为4的周期数列，得项的全部可能值，推断选项即得结果.【解析】数列满意，，依次取代入计算得，，，，，因此接着下去会循环，数列是周期为4的周期数列，全部可能取值为：.故选：D.11．已知数列的前n项和为，，且，则下列说法中错误的是（

）A． B．C．是等比数列 D．是等比数列【答案】C【分析】依据已知条件，令代入，求得，推断A；结合数列前n项和与的关系式，求出时，结合，推断C,求出，即可推断B;利用可得，构造出，即可推断D．【解析】由题意数列的前项和为，，且，则，即，所以即选项A正确；因为①，∴当时，②，①-②可得，，即，当时，，不满意，故数列不是等比数列，故C错误，由时，可得，则，故，故B正确；由得：所以令，则所以所以，即，故是首项为，公比为4的等比数列，D正确，故选：C.12．图1是第七届国际数学教化大会（简称ICME­7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，假如把图2中的直角三角形接着作下去，记的长度构成的数列为，由此数列的通项公式为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由几何关系得，即可求出等差数列的通项，从而求得的通项.【解析】由题意知，，且都是直角三角形，所以，且，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，由.故选：B．13．已知数列和首项均为1，且，，数列的前n项和为，且满意，则（

）A．2024 B． C．4037 D．【答案】D【分析】先利用条件得到，进而得到，代入，利用与的关系推得是等差数列，进而求出，代入即可求得结果.【解析】解：，，，另外：，可得，.，，即，，又，数列是首项为1，公差为2的等差数列，，故，.故选：D.14．已知数列满意，，数列的前项和为，若对随意的正整数，都有，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依据题意累加法求得，再依据裂项相消求和解决即可.【解析】当，，所以，解得：，当n=1适合因为，所以，又因为是单调递增数列，所以有，对随意的正整数，都有，所以，故选：C二、多选题15．已知数列，则这个数列的通项公式可能是（）A． B． C． D．【答案】BC【分析】依据各选项的通项公式写出前几项，推断是否与已知数列前几项相同，即可确定正确选项.【解析】A，，取前六项得0，1，0，1，0，1，不满意条件；B，，取前六项得1，0，1，0，1，满意条件；C，，取前六项得1，0，1，0，1，满意条件；D，，取前三项得1，0，，不满意条件；故选：BC.16．数列{an}的前n项和为Sn，，则有（

）A．Sn＝3n－1 B．{Sn}为等比数列C．an＝2·3n－1 D．【答案】ABD【分析】依据求得，进而求得以及推断出是等比数列.【解析】依题意，当时，，当时，，，所以，所以，所以.当时，；当时，符合上式，所以.，所以数列是首项为，公比为的等比数列.所以ABD选项正确，C选项错误.故选：ABD17．正项等比数列的前项和为，已知，．下列说法正确的是（

）A． B．是递增数列C．为等比数列 D．是等比数列【答案】BC【分析】设等比数列的公比为，则，依据题意求出、的值，可推断A选项；利用数列的单调性可推断B选项；求出的表达式，利用等比数列的定义可推断C选项；利用等差数列的定义可推断D选项.【解析】设等比数列的公比为，则，，即，则.对于A选项，，A错；对于B选项，对随意的，，，故数列是递增数列，B对；对于C选项，，则，所以，，故数列为等比数列，C对；对于D选项，，故数列是等差数列，D错.故选：BC.18．设等差数列的前n项和为，，公差为，，，则（

）A．B．当时，取得最大值C．D．使得成立的最大自然数是15【答案】ABC【分析】依据等差数列等差中项的性质，求和公式及单调性分别推断.【解析】因为，，所以，则，当时,取得最大值，，因为，，，所以使得成立的最大自然数是，故选：ABC．19．已知等差数列满意，前项和，则（

）A．数列的通项公式为B．数列的公差为C．数列的前项和为D．数列的前22项和为【答案】BCD【分析】通过基本量计算得和d，可推断ABC；用裂项相消法求和可推断D.【解析】由题知，，解得，则，，故A错，BC正确；记的前n项和为，因为，所以所以，故D正确.故选：BCD20．设，．若，则称序列是长度为n的0—1序列．若，，则（

）A．长度为n的0—1序列共有个 B．若数列是等差数列，则C．若数列是等差数列，则 D．数列可能是等比数列【答案】AC【分析】A选项，可依据分步乘法计数原理求出；B选项，依据等差数列定义得到为定值，分与两种状况探讨求出答案；C选项，依据数列是等差数列，推导出；D选项，假设数列是等比数列，推出冲突.【解析】由分步乘法计数原理可知：选0或1，均有2种选择，故共有个，A正确；因为数列是等差数列，所以为定值，当，则，则，当，则，则，B错误；若数列是等差数列，则为定值，只有能满意要求，故，C正确；若数列是等比数列，则为定值，且，因为，所以，，所以，若，则，所以，舍去；若，，，其中，解得：，，其中，解得：，故不是定值，数列不行能是等比数列，D错误.故选：AC三、填空题21．设是等比数列，且，，则的值是___________.【答案】32【分析】依据题意可求得等比数列的公比，再依据，即可求得答案.【解析】由是等比数列，设公比为q，且，，则可得，故，所以，故答案为：32.22．设等比数列的首项为1，公比为q，前n项和为.令，若也是等比数列，则__.【答案】【分析】依据等比数列的定义，由即可求得.【解析】当时，，则，，（是常数），即不是等比数列,所以.所以，，，则有，即，即，所以，解得或(舍).故答案为：.23．已知是等比数列，公比大于1，且，．记为在区间中的项的个数，则数列的前30项的和的值为______．【答案】【分析】由题知，，，，，，，再依据题意求解的前30项，并求和即可.【解析】解：设等比数列的公比为，因为是等比数列，，，所以，，解得，或，（舍去），所以，，，，，，，，所以对应区间为，则；，对应的区间分别为，，都只有一项，则；，，，对应的区间分别为，，，，都只有，两项，则；，，，，，，，对应的区间分别为，，，，，，，，都只有，，三项，即；，，…对应的区间分别为，，…，，都只有，，，四项，；所以．故答案为：24．在数列中，，，数列满意，．若，，，则数列的前2024项和为_________．【答案】【分析】将数列的前2024项和分解为奇数项和与偶数项和进行求解.【解析】由已知得，，所以，即数列前2024项中偶数项的和为：.又由已知得，，所以，即奇数项为公比为－1的等比数列，即，即前2024项中奇数项和为1；综上所述，前2024项和为．故答案为：四、解答题25．记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列.(1)求的通项公式；(2)设，求的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）依据等差数列的定义，写出数列的通项公式，整理可得数列的递推公式，利用累乘法，可得答案；（2）利用分组求和法以及等差数列求和公式，可得答案.【解析】（1）由是公差为的等差数列，且，则，即，当时，，两式相减可得：，整理可得，故，将代入上式，，故的通项公式为.（2）由，则.26．已知数列的通项公式为.(1)推断是不是数列中的项；(2)推断数列中的项是否都在区间内；(3)推断在区间内有没有数列中的项.【答案】(1)不是(2)数列中的项都在区间内(3)有【分析】（1）先化简，再令可求解问题；（2）通过求的范围可推断；（3）通过解不等式可求解.(1)因为，所以由，解得.因为不是正整数，所以不是数列中的项.(2)因为，，，所以，所以数列中的项都在区间内.(3)令，即，则解得.又，所以.故在区间内有数列中的项，且只有一项，是其次项，即.27．设数列的前项和为，已知，__________.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明：.从下列两个条件中任选一个作为已知，补充在上面问题的横线中进行求解（若两个都选，则按所写的第1个评分）：①数列是以为公差的等差数列；②.【答案】(1)选择①②，都有；(2)证明见解析.【分析】（1）选择①，依据等差数列的通项公式，求得；再依据与之间的关系即可求得结果；选择②，利用的关系消去，构造等差数列，与①同理，即可求得结果；（2）依据（1）中所求求得，再利用裂项求和法求得，即可证明.【解析】（1）若选择①数列是以为公差的等差数列，明显其首项为故，故；当时，，当时，，满意.故的通项公式为；若选择②即，整理得：故，即数列是首项为，公差为的等差数列，与选择①相同，故的通项公式为.（2）依据（1）中所求可得：，则故又，故可得.28．已知数列的首项，.(1)求证：肯定存在实数，使得数列是等比数列.(2)是否存在互不相等的正整数使成等差数列，且使成等比数列？假如存在，请给以证明：假如不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）结合已知条件，利用等比数列定义即可证明；（2）首先假设成立，并结合（1）中结论求出的通项公式，进而可得到和，最终利用基本不等式即可推断.【解析】（1）因为，所以，由，欲使数列是等比数列，则只需，即.此时，故存在，使得数列是首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）中可知，，即，假设存在互不相等的正整数使成等差数列，且使成等比数列，故

，，即，从而

，由基本不等式可知，，这与冲突，故不存在互不相等的正整数使成等差数列，且使成等比数列.29．已知数列满意，，.(1)若，①求数列的通项公式；②若，求的前项和.(2)若，且对，有，证明：.【答案】(1)①；②(2)证明见解析【分析】（1）①将代入，利用“取倒数”构造等差数列，即可求解.②先将数列的通项公式写出并绽开，再利用分组求和即可得到答案.（2）将代入，先求出的通项公式，再利用基本不等式即可证明结论.（1）①当时，，因为，所以，可知，所以，即，所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以，即.②由①得，所以，所以所以.（2）证明：当时，，则，因为，所以又因为与不能同时成立，所以上式等号不成立，即对，.30．设，若无穷数列满意以下性质，则称为数列：①，（且）．②的最大值为k．(1)若数列为公比为q的等比数列，求q的取值范围，使得为数列．(2)若数列满意：，使得成等差数列，①数列是否可能为等比数列？并说明理由；②记数列满意，数列满意，且，推断与的单调性，并求出时，n的值．【答案