2025版新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.2-6.3.3平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加减运算的坐标表示学案新人教A版必修第二册

6．3.2～6.3.3平面对量的正交分解及坐标表示平面对量加、减运算的坐标表示【学习目标】(1)借助平面直角坐标系，驾驭平面对量的正交分解及坐标表示．(2)驾驭平面对量加减法运算的坐标表示．题型1平面对量的正交分解及坐标表示【问题探究1】卫星运载火箭每一时刻的速度都有确定的大小和方向，为了便于分析，须要将整个飞行过程中的速度分解为水平和竖直两个方向的速度．(1)如何将整个飞行过程中的速度分解为水平和竖直两个方向的速度呢？(2)我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数对(即它的坐标)表示，那么如何表示坐标平面内的一个向量呢？例1如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j，{i，j}作为基底，分别用i，j表示OA，OB学霸笔记：求点、向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标．(2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标．跟踪训练1如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量{i，j}作为基底，若|a|＝2，θ＝45°，则向量a的坐标为()A．(1，1)B．(－1，－1)C．(2，2)D．(－2，－题型2平面对量加、减运算的坐标表示【问题探究2】设i，j分别是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j.(1)依据向量的线性运算性质，分别用基底i，j表示向量a＋b，a－b.(2)向量的加、减运算，可以类比数的运算进行吗？例2在▱ABCD中，AC为一条对角线，若AB＝(2，4)，AC＝(1，3)，求BD的坐标．题后师说平面对量坐标运算的策略跟踪训练2已知点A(0，1)，B(3，2)，向量AC＝(－4，－3)，则向量BC＝()A．(－7，－4)B．(7，4)C．(－1，4)D．(1，4)题型3平面对量加、减坐标运算的应用例3已知点A(λ，3)，B(5，2λ)(λ∈R)，C(4，5)．若AP＝AB+AC，试求(1)点P在第一、三象限角平分线上；(2)点P在第一象限内．学霸笔记：(1)由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a＝b⇔x1＝x2，且y1＝y2.(2)利用向量的坐标运算解题，主要是依据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；也可以利用基向量法，主要借助向量加、减运算的三角形、平行四边形法则．跟踪训练3如图，平面上A，B，C三点的坐标分别为(2，1)，(－3，2)，(－1，3)．(1)写出向量AB，(2)假如四边形ABCD是平行四边形，求D的坐标．随堂练习1．已知向量a＝(2，1)，b＝(0，1)，则a－b＝()A．(2，0)B．(0，1)C．(2，1)D．(4，1)2．假如用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2，3)，B(4，2)，则AB可以表示为()A．2i＋3jB．4i＋2jC．2i－jD．－2i＋j3．已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且BC＝AD，则顶点D的坐标为()A．(2，72)B．(2，－1C．(4，5)D．(1，3)4．已知点A(－1，4)，B(2，6)，C(3，0)，则满意GA+GB+课堂小结1.平面对量的正交分解及坐标表示．2．平面对量加、减运算的坐标表示．3．平面对量坐标运算的应用．6．3.2～6.3.3平面对量的正交分解及坐标表示平面对量加、减运算的坐标表示问题探究1提示：(1)将飞行速度分别向坐标轴投影，在xOy平面上分解为x，y轴上的向量即可．(2)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的随意一个向量a，由平面对量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.例1解析：由题图可知，OA＝6i＋2j，OB＝2i＋4j，AB＝－4i＋2j，它们的坐标表示为OA＝(6，2)，OB＝(2，4)，AB＝(－4，2)．跟踪训练1解析：由题意可得，a＝(2cos45°)i＋(2sin45°)j＝(2×22)i＋(2×22)答案：A问题探究2提示：(1)a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j.(2)向量加、减的坐标运算可以完全类比数的运算进行．例2解析：∵AC＝AB+∴AD＝AC-∴BD＝AD-跟踪训练2解析：方法一设C(x，y)，则AC＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以x=-4，方法二AB＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，BC＝AC-答案：A例3解析：(1)设点P的坐标为(x，y)，则AP＝(x，y)－(λ，3)＝(x－λ，y－3)，又∵AB＝(5，2λ)－(λ，3)＝(5－λ，2λ－3)，AC＝(4，5)－(λ，3)＝(4－λ，2)，∴AP＝AB+AC＝(5－λ，2λ－3)＋(4－λ，2)＝(9－2λ，2∴x-λ若P在第一、三象限角平分线上，则9－λ＝2λ＋2，∴λ＝73(2)由(1)知，x=9若P在第一象限内，则9∴－1<λ<9.∴λ＝73时，点P－1<λ<9时，点P在第一象限内．跟踪训练3解析：(1)AB＝(－3，2)－(2，1)＝(－5，1)，AC＝(－1，3)－(2，1)＝(－3，2)，BC＝(－1，3)－(－3，2)＝(2，1)，(2)设D(x，y)，由AD＝BC＝(2，1)，可得x－2＝2，y－1＝1，所以x＝4，y＝2，故D(4，2)．[随堂练习]1．解析：因为a＝(2，1)，b＝(0，1)，所以a－b＝(2，0)，故选A.答案：A2．解析：因为A(2，3)，B(4，2)，所以AB＝(2，－1)，所以AB＝2i－j.故选C.答案：C3．解析：设点D(m，n)，则由题意得(4，3)＝(m，n－2)，解得m