辽宁省2024-2025学年高三数学上学期期中试题

Page9辽宁省2024-2025学年高三数学上学期期中试题考试时间：120分钟试题满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a的取值范围是A． B． C． D．2．已知m，n为两条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列命题正确的是A．若，，则B．若，，且，则C．若，，，，则D．若，，，则3．某科技研发公司2024年全年投入的研发资金为300万元，在此基础上，安排每年投入的研发资金比上一年增加10%，则该公司全年投入的研发资金起先超过600万元的年份是（注：，，，）A．2027年 B．2028年 C．2029年 D．2030年4．已知函数，若，则实数a的取值范围是A． B． C． D．5．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则由乙箱中取出的是红球的概率为A． B． C． D．6．数学家欧拉于1765年在其著作《三角形的几何学》中首次提出：△ABC的外心O，重心G，垂心H依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线．若，，则下列各式中不正确的是A． B． C． D．7．已知等差数列，是数列的前n项和，对随意的，均有恒成立，则不行能的值为A．3 B．4 C．5 D．68．已知实数，满意，，则A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知x，，，则A．x，y的最大值为 B．的最小值为4C．的最小值为 D．的最小值为110．已知函数，（）在上有且只有三个零点，则下列说法正确的是A．在上存在，，使得B．的取值范围为C．在上单调递增D．在上有且只有一个最大值点11．函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数已知函数A．若，则函数为奇函数B．若，则C．函数的图象必有对称中心D．，12．已知正四面体ABCD的棱长为3，其外接球的球心为O．点E满意，过点E作平面平行于AC和BD，设分别与该正四面体的棱BC，CD，DA相交于点F，G，H，则A．四边形EFGH的周长为定值B．当时，四边形EFGH为正方形C．当时，截球O所得的截面的周长为D．四棱锥A-EFGH体积的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若绽开式的二项式系数之和为64，则绽开式中项的系数为．14．已知三棱锥P-ABC的棱AP，AB，AC两两垂直，，以顶点P为球心，4为半径做一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长为．15．在锐角三角形ABC中，若，则的最小值是．16．若函数，在R上可导，且，则．英国数学家泰勒发觉了一个恒等式，则，．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，．（1）求b的值；（2）若AD平分∠BAC，且交BC于点D，，求△ABC的面积．18．如图1，在平面四边形ABCD中，已知ABDC，，，E是AB的中点．将△BCE沿CE翻折至△PCE，使得，如图2所示．（1）证明：；（2）求直线DE与平面PAD所成角的正弦值．19．已知数列满意，且，（1）求的通项公式；（2）若数列满意，求的前2n项和．20．如图，在五面体ABCDE中，已知AC⊥平面BCD，ED∥AC，且，．（1）求证：平面ABE⊥平面ABC；（2）求二面角A-BE-C的平面角的取值范围．21．学生考试中答对但得不了满分的缘由多为答题不规范，详细表现为：解题结果正确，无明显推理错误，但语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等，记此类解答为“B类解答”为评估此类解答导致的失分状况，某市教研室做了项试验：从某次考试的数学试卷中随机抽取若干属于“B类解答”的题目，扫描后由近百名数学老师集体评阅，统计发觉，满分12分的题，阅卷老师所评分数及各分数所占比例大约如下表：老师评分（满分12分）11109各分数所占比例某次数学考试试卷评阅采纳“双评＋仲裁”的方式，规则如下：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的肯定值小于等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的肯定值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的肯定值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分．（假设本次考试阅卷老师对满分为12分的题目中的“B类解答”所评分数及比例均如上表所示，比例视为概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响）．（1）本次数学考试中甲同学某题（满分12分）的解答属于“B类解答”，求甲同学此题得分X的分布列及数学期望；（2）本次数学考试有6个解答题，每题满分12分，同学乙6个题的解答均为“B类解答”．同学丙的前四题均为满分，第5题为“B类解答”，第6题得6分．以乙、丙两位同学解答题总分均值为依据，谈谈你对“B类解答”的相识．22．已知函数．（1）若，推断函数有几个零点，并证明；（2）若不是函数的极值点，求实数a的值．辽宁省试验中学2024-2025学年度上学期期中阶段测试高三数学试卷参考答案1-8．BBCBDAAC9．BC10．ABC11．ACD12．ABD13．14．15．816．1，17．解法一：因为，，所以，由正弦定理得，，由正弦定理得．解法二：在△ABC中，由余弦定理得，，代入，得，所以．（2）设，因为，AD平分∠BAC，所以，因为，，，所以，因为，所以，所以，所以△ABC的面积．18．解：（1）取CE的中点F，连接PF，DF，由题易知△PCE，△DCE都是等边三角形，所以DF⊥CE，PF⊥CE，又，所以CE⊥平面DPF．又平面DPF，所以DP⊥CE．（2）解法一：由题易知四边形AECD是平行四边形，所以AD∥CE，又平面PAD，所以平面PAD，所以点E与点F到平面PAD的距离相等．由（1）知CE⊥平面DPF，所以AD⊥平面DPF．又平面PAD，所以平面PAD⊥平面DPF．过F作FH⊥PD交PD于H，则FH⊥平面PAD．，，故点F到平面PAD的距离．设直线DE与平面PAD所成的角为，则，所以直线DE与平面PAD所成角的正弦值为．解法二：由题易知四边形AECD是平行四边形，所以AD∥CE，由（1）知CE⊥平面DPF，所以AD⊥平面DPF．如图，以D为坐标原点，DA，DF所在直线分别为x，y轴，过D且垂直于平面AECD的直线为z轴建立空间直角坐标系，则，，，设，，．易知，，故，，所以，，，设平面PAD的法向量为，则，得，令，得，所以．设直线DE与平面PAD所成的角为，则，故直线DE与平面PAD所成角的正弦值为．19．解：（1）∵且，∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列，∴．当n为奇数时，，当n为偶数时，综上，．（2）当n为偶数时，；当n为奇数时，，∴20．（1）证明：取BC中点M，AB中点N，连接DM，MN，EN．∴MN∥AC且，又，，∴DE∥MN，且所以四边形MNED是平行四边形，∴EN∥DM且，又AC⊥平面BCD，平面ABC，∴平面ABC⊥平面BCD，∵，∴DM⊥BC，又平面平面，平面BCD，∴DM⊥平面ABC，∴EN⊥平面ABC，又平面ABE，所以平面ABE⊥平面ABC．（2）由（1）知，AC⊥BC，EN∥DM且，EN⊥平面ABC，平面ABE⊥平面ABC以C为原点，CA，CB所在直线为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，则，，，设平面BCE的一个法向量为，则，即，取，则，∴又，则CN⊥AB又平面平面，平面ABC，所以CN⊥平面ABE，即为平面ABE的一个法向量，∴．∴二面角A-BE-C的取值范围是．21．（1）依据题意，随机变量X的取值为9，9．5，10，10．5，11设一评、二评、仲裁所打的分数分别是x，y，z，，，，故X的分布列为X99.51010.511P（2）由题意可知：乙同学得分的均值为，丙同学得分的均值为：．丙同学得分均值更高，所以“会而不对”和不会做一样都会丢分，在做题过程中要规范作答，尽量避开“B类解答”的出现．22．（1）时，，，令，则，故在R上是增函数，又，，所以存在，使得，∴在单调递减，在单