2023-2024学年福建省南平市高一下学期期末质量检测数学试题（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年福建省南平市高一下学期期末质量检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=52−i，则z在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.如图，水平放置的用斜二测画法画出的直观图为▵A′B′C′，其中∠x′O′y′=45∘，O′B′=O′C′=1A.2 B.7 C.3 3.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“至多有一枚硬币正面朝上”，事件B=“两枚硬币正面均朝上”，事件C=“两枚硬币正面均朝下”，则(

)A.A与C对立 B.B与C不互斥 C.A与B对立 D.B与C对立4.已知向量a=1,1，b=0,t，若a⊥A.22 B.1 C.25.已知α，β为两个不重合的平面，l，m为两条不同的直线，(

)A.若l/​/m，m//α，则l/​/α B.若l⊥m，m⊥α，则l/​/α

C.若α∩β=m，l/​/m，则l/​/α D.若l⊂β，β//α，则l/​/α6.在▵ABC中，BD=2DC，点E是线段AD的中点，则BE=A.−23AB+16AC B.7.如图，在某座山的山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡从A向上走了600米到达B处，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高PQ=(

)

A.300米 B.3002米 C.3003米8.在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，A1B1=2，AA1=3，若球A.1216π B.412π C.二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某校统计100名学生体重，这些学生的体重数据(单位：kg)全部介于45至70之间，将数据整理得到如下所示的频率分布直方图，则(

)

A.频率分布直方图中a的值为0.08

B.这100名学生中体重不低于55kg的人数为60

C.这100名学生体重的第80百分位数为65

D.这100名学生体重的众数小于平均数10.已知▵ABC的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，(

)A.若sinA>sinB，则A>B

B.若▵ABC是边长为2的正三角形，则AB⋅BC=2

C.若acosA=bcosB，则▵ABC是等腰三角形

D.若a=11.如图，圆锥的顶点为S，底面圆心为O，AB为底面直径，AB=12，SA=12，N是底面圆周上一点，∠AON=23π，M是线段SA上的动点，则(

)

A.圆锥SO的体积为2163π

B.当M是SA的中点时，线段MN在圆锥底面上的射影长为37

C.存在点M，使得MN⊥SA

D.直线三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=−3,4，b=2,2，则a在b的投影向量的坐标是13.从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为

．14.如图，在棱长为6的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为棱A1D1，C1D四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知复数z=a+bi(a,b∈R,a>0)，2+iz为纯虚数，且z(1)求复数z；(2)若复数z是关于x的方程x2+mx+n=0的一个根，求实数m，n16.(本小题12分)现有3个北方城市A1，A2，A3和3个南方城市B1，B2(1)求甲选择的2个城市均是北方城市的概率；(2)若旅游爱好者乙也计划从这6个城市中选2个旅游，由于个人爱好，乙选择的2个城市均是北方城市的概率为13，且甲、乙两人的选择互不影响，求甲、乙两人中至少有一人的选择为2个北方城市的概率．17.(本小题12分)已知▵ABC的

三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且acos(1)求A；(2)若a=3，且▵ABC的面积为31618.(本小题12分)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点．现将▵ADE沿DE折起，得到四棱锥A−BCDE．(1)证明：BF//平面ADE；(2)当▵ACD为等边三角形时，证明：平面AEF⊥平面BCDE；(3)在(2)的条件下，求二面角A−DE−C的余弦值．19.(本小题12分)某校高一年级有男生200人，女生100人．为了解该校全体高一学生的身高信息，按性别比例进行分层随机抽样，抽取总样本量为30的样本，并观测样本的指标值(单位：cm)，计算得男生样本的身高平均数为169，方差为39.下表是抽取的女生样本的数据：抽取次序12345678910身高155158156157160161159162169163记抽取的第i个女生的身高为xii=1,2,3,⋅⋅⋅,10，样本平均数x=160参考数据：15≈3.9，159(1)若用女生样本的身高频率分布情况代替该校高一女生总体的身高频率分布情况，试估计该校高一女生身高在160,165范围内的人数；(2)如果女生样本数据在x−2s,(3)用总样本的平均数和标准差分别估计该校高一学生总体身高的平均数μ和标准差σ，求的值μ，σ．

答案解析1.A

【解析】z=5对应点为2,1，则z在复平面内对应的点位于第一象限．故选：A．2.A

【解析】用斜二测画法作出的直观图，还原为原图形，如图所示；在▵ABC中，O′B′=O′C故选：A3.C

【解析】抛掷两枚质地均匀的硬币，其中朝上的情况共有Ω={正反，正正，反正，反反}共4种情况，其中事件A={正反，反正，反反}；事件B={正正}，事件C={反反}，对A，事件A为事件C可能同时发生，即反反这种情况，即事件A，C不对立，故A错误；对B，事件B与事件C显然不可能同时发生，则它们为互斥事件，故B错误；对C，显然事件A和事件B不可能同时发生，即它们互斥，且两者构成了所有的发生情况，即事件A和事件B必有一个发生，则A与B对立，故C正确；对D，事件B与C互斥，但是不对立，比如可能发生正反或反正的情况，故D错误．故选：C．4.B

【解析】由题意可知，因为a=(1,1)，b所以a+2又因为a⊥(a+2即1×1+1×1+2t=0，解得所以|b故选：B．5.D

【解析】对于A，若l/​/m，m//α，则l/​/α或l⊂α，故A错误；对于B，若l⊥m，m⊥α，则l/​/α或l⊂α，故B错误；对于C，若α∩β=m，l/​/m，则l/​/α或l⊂α，故C错误；对于D，若l⊂β，β//α，由面面平行的性质定理可得l/​/α，故D正确．故选：D6.B

【解析】∵

E为线段AD的中点∴

BE→又BD→∴

BE→故选：B．7.B

【解析】如图，过点B作BC⊥PQ于点C，由题意知，∠PAQ=30∘，∠BAQ=15∘，在▵PAB中，∠PAB=15∘，∠BPA=30而sin15∴PB=300∴PQ=PC+CQ=3006故选：B8.C

【解析】设棱台上下底面的中心为N,M，连接D1则D1所以棱台的高MN=设球半径为R，根据正四棱台的结构特征可知：球O与上底面A1B1C1设BC中点为E，连接OE,OM,ME，所以OE2=O所以球O的表面积为4πR故选：C9.BD

【解析】频率分布直方图的面积之和为1，(0.01+0.02+0.04+0.06+a)×5=1,解得a=0.07，故A错；∵100×0.06+0.04+0.02×5=60，故因为0.01+0.07+0.06×5=0.7，0.01+0.07+0.06+0.04所以故第80百分位数为60+0.10.2×5=62.5众数为52.5，平均数x=(47.5×0.01+52.5×0.07+57.5×0.06+62.5×0.04+67.5×0.02)×5=57.25，故D故选：BD．10.AD

【解析】对于A，因为sinA>sinBab=sinAsinB>1对于B，AB⋅BC=2×2×对于C，由正弦定理，得a=2RsinA，因为acos所以sinA所以sin2A=所以2A=2B，或2A+2B=π，所以A=B，或A+B=π所以▵ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，如图所示，AD=1因为a=3，所以BD=CD=在▵ABC中，cosC=在▵ACD中，cosC=所以b2化简得b2因为b2+c所以2bc≤72，即所以bc的最大值为74，故D故选：AD．11.BCD

【解析】对于A，设圆锥的底面半径为R=12AB=6圆锥的母线长为12，故ℎ=故圆锥体积为v=13×π对于B，当M为AB中点时，设M在底面上的投影为H，则H为OA的中点，则HN为线段MN在底面的投影，OH=3，而∠NOH=120∘,ON=6HN即HN=37，即线段MN在底面的投影长为3

对于C，作NT⊥AB于T，作TM1⊥SA于M由于SO⊥平面ABN，SO⊂平面SAB，所以平面SAB⊥底面ABN，平面SAB⊥底面BNE=AB，NT⊂底面ABN，NT⊥AB，故NT⊥平面SAB，SA⊂平面SAB，故NT⊥SA，又TM1⊥SA，TM1∩NT=T,TMM1N⊂平面NTM故当M与M1重合时，MN⊥AB，C对于D，由C的分析知，NT⊥平面SAB，而TN=6×直线MN与平面SAB所成角为∠NMT，则其正切值为tan∠NMT=当MTmin=M1T=故选：BCD12.12【解析】根据投影向量的定义可知，a在b上可投影向量为a⋅故答案为：113.310或0.3【解析】从5条线段中任取3条线段的基本事件有1,3,5,1,3,7,1,3,9,1,5,7,1,5,9,故答案为：314.9【解析】因为M，N分别为棱A1D1，C过点B作GH//AC交DA的延长线于点G，交DC的延长线于点H，连接GM交AA1于点E，连接NH交CC因为A1C1//AC，则A1故过点B，M，N平面截该正方体所得截面为五边形BEMNF，由勾股定理得ME=MN=NF=32故五边形BEMNF的周长为3×3故答案为：915.(1)因为z=a+bi(a,b∈R,a>0)，且2+iz=所以2a−b=0，且a+2b≠0，即b=2a，且2b≠−a，又z=5因为a>0，所以a=1，于是b=2，因此复数z=1+2i；(2)由(1)知z=1+2i，故z=1−2i是关于x的方程x所以由韦达定理得，z+z=−m,z⋅z=n，即因此实数m=−2，n=5．【解析】(1)由题意可得2a−b=0，且a+2b≠0，由z=5(2)由(1)知z=1+2i，从而可得z=1−2i是关于x的方程x16.(1)由题意知，从6个城市中任选2个，得到的样本空间为Ω={A则n(Ω)=15，设事件A=“甲选择的2个城市均是北方城市”，则A=A1,因此，P(A)=3(2)设事件C=“甲、乙两人中至少有一人的选择为2个北方城市”，事件A=“甲选择的2个城市均是北方城市”，事件B=“乙选择的2个城市均是北方城市”．则A=“甲选择的2B=“乙选择的2所以A与B，A与B，A与B，A与B都相互独立，由已知条件及(1)可得，PA所以PC【解析】(1)根据古典概型概率公式即可求解；(2)根据对立事件公式及独立性乘法公式即可求解．17.(1)由正弦定理可得sinA所以sinA即sinB因为0<B<π，所以sinB≠0所以3sinA−cosA−1=0又由0<A<π，可得−π故A−π6=(2)由已知可得，S=1可得4b2−4bc+c2又由余弦定理可得a2=联立解得b=1,c=2，所以▵ABC的周长为3+

【解析】(1)利用正弦定理边化角，结合三角公式即可求解；(2)根据三角形的面积公式可得4b18.(1)在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，所以BE//FD，且BE=FD，故四边形BEDF为平行四边形，于是BF//ED.在四棱锥A−BCDE中，BF⊄平面ADE，ED⊂平面ADE，所以BF//平面ADE；(2)当▵ACD为正三角形时，因为点F是CD的中点，所以AF⊥CD，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，故EF⊥CD又AF⋂EF=F，AF⊂平面AEF，EF⊂平面AEF，故CD⊥平面AEF，因为CD⊂平面BCDE，所以平面AEF⊥平面BCDE；(3)在四棱锥A−BCDE中，过点A作AO⊥EF于点O，过点O作OG⊥DE于点G，连接AG．在正方形ABCD中，令BC=a，则AE=a2，因为▵ACD为等边三角形，点F为CD的中点，所以AF=32a由(2)知，平面AEF⊥平面BCDE，平面AEF∩平面BCDE=EF,AO⊥EF，AO⊂平面AEF，故AO⊥平面BCDE，从而AO⊥DE．又OG⊥DE,AO∩OG=O,AO⊂平面AOG,OG⊂平面AOG，故DE⊥平面AOG，而AG⊂平面AOG，故DE⊥AG，所以∠AGO为二面角A−DE−C的平面角．在Rt▵EAF中，AO=在Rt▵DEF中，EF⊥DF,DE=因为OG⊥DE，所以OGOE=DF从而在Rt▵AOG中，AG=故cos∠AGO=因此，二面角A−DE−C的的余弦值为1

【解析】(1)先证明BF//ED，再根据线面平行的判定定理即可证明；(2)先证明CD⊥平面AEF，再根据面面垂直的判定定理即可证明；(3)在四棱锥A−BCDE中，过点A作AO⊥EF于点O，过点O作OG⊥DE于点G，连接AG.从而可证AE⊥AF，进而得到DE⊥平面AOG，从而可得∠AGO为二面角A−DE−C的平面角，计算求解即可．19.(1)因为抽取的女生身高在[160,165]之内的频率为410所以估计该校女生身高在[160,165]之内的人数为25(2)因为x−2s=152.2,