2023-2024学年北京市大兴区高二下学期期末检测数学试题（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年北京市大兴区高二下学期期末检测数学试题一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.在x−1x26A.15 B.−15 C.30 D.−302.若数列1,a,b,c,9是等比数列，则实数b的值为(

)A.−3 B.3 C.−9 D.93.有5名同学被安排在周一至周五值日，每人值日一天，其中同学甲只能在周三值日，那么这5名同学值日顺序的不同编排方案种数为(

)A.A55 B.A44 C.4.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是(

)

A.r2<r4<r1<r5.已知函数fx的导函数f′x的图象如图所示，则fx的极大值点为(

)

A.x1和x4 B.x2 C.x6.随机变量X服从正态分布X∼N(2,σ2)，若P2≤X<4=0.3A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.57.设an为等比数列，若m，n，p，q∈N∗，则m+n=p+q是am⋅A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，记录了如图所示的“杨辉三角”.若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第2024项为(

)

A.C625 B.C635 C.9.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，且SA.数列{Sn}是递增数列 B.数列{Sn}是递减数列

C.数列{10.已知函数f(x)=x+1ex.若过点P−1,m存在3条直线与曲线y=f(x)相切，则实数A.−1e,4e B.0,8二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11.设随机变量X∼B2,13，则E(X)=

12.(2−x)7展开式中各项的系数和为

．13.袋子中有10十个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球．每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．①在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率为

．②两次都摸到白球的概率为

．14.随机变量X的分布列如下：X−101Pabc其中a，b，c成等差数列，则PX=1=

，若a=16则方差15.已知某商品的日销售量y(单位：套)与销售价格x(单位：元/套)满足的函数关系式为y=mx−3+3(x−8)2，其中x∈3,8，m为常数．当销售价格为5(1)实数m=

；(2)若商店销售该商品的销售成本为每套3元(只考虑销售出的套数)，当销售价格x=

元/套时(精确到0.1)，日销售该商品所获得的利润最大．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16.（本小题共14分）已知二项式(1−2x)n，再从条件①、条件②、条件(1)求n的值；(2)设(1−2x)条件①：只有第4项的二项式系数最大；条件②：第2项与第6项的二项式系数相等；条件③：所有二项式系数的和为64．注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．17.（本小题共14分）某种水果按照果径大小可分为四级：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：等级标准果优质果精品果礼品果个数10304020假设用频率估计概率．(1)从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；(2)采用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中不放回地随机抽取3个，若X表示抽到的精品果的数量，求X的分布列和期望．18.（本小题共14分）已知函数f(x)=x(1)求曲线y=f(x)在点1,f1(2)求f(x)的零点个数．19.（本小题共14分）某同学参加闯关游戏，需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得−10分．已知这位同学回答前两个问题正确的概率都是23，回答第三个问题正确的概率为12，且各题回答正确与否相互之间没有影响，若回答这三个问题的总分不低于(1)求至少回答正确一个问题的概率；(2)求这位同学回答这三个问题的总得分X的分布列．20.（本小题共14分）已知函数f(x)=lnx−ax+a，(1)若x=3是函数fx的极值点，求实数a(2)求函数y=fx(3)已知a=1，当x∈0,+∞，试比较fx与g21.（本小题共15分）若无穷数列{an}满足：只要ap=aq(1)若{an}具有性质P，且a1=1,(2)若无穷数列{bn}是等差数列，无穷数列cn是公比为正数的等比数列，b1=c5=1(3)设{bn}是无穷数列，已知an+1=bn+sin答案解析1.A

【解析】Tr+1令6−3r=0，得r=2，所以常数项是T3故选：A2.B

【解析】因为数列1,a,b,c,9是等比数列，所以b2=1×9，解得b=3或当b=−3时，不满足1×b=a当b=3时，经检验符合题意，所以b=3．故选：B3.B

【解析】依题意只需安排其余4名同学到除周三的另外四天值日，每人值日一天，故有A4故选：B4.B

【解析】由散点图可知第1，3图表示的正相关，且第1个图中的点比第3个图中的点分布更为集中，故r1第2，4图表示的负相关，且第2个图中的点比第4个图中的点分布更为集中，故r2,r4<0综合可得r2故选：B5.C

【解析】解：因为当x∈(−∞,x3)时，f′(x)>0;

当x∈(x3,x5)时，f′(x)<0.所以f(x)在(−∞,x36.A

【解析】因为X∼N(2,σ2)且PPX≤2所以P(X≤0)=PX≤2故选：A7.A

【解析】根据等比数列的性质设an为等比数列，若m，n，p，q∈N∗，则m+n=p+q⇒

am⋅an=ap⋅aq，反过来设数列为常数列1，1，1，1……，任意两项的积相等，但项数和不等，所以不必要，那么an为等比数列，若m，8.D

【解析】由“杨辉三角”可知：第一行1个数，第二行2个数，...，第n行n个数，所以前n行共有：n(n+1)2个数，当n=63时，63×(63+1)2=2016所以第2024项是第64行的第8个数字，即为C63故选：D．9.D

【解析】因为等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为若S2<0，即a1所以S2n是递减数列，故C错误、D若a1=1，q=−2，则an但是Sn+1−Sn=an故选：D．10.C

【解析】设切点坐标为x0由题意得f′(x)=e所以函数fx的图像在点x0,所以切线方程为y−x因为切线过点P−1,m，所以m−则m=x设g(x)=x+12e由g′(x)>0得−1<x<1，由g′(x)<0得x<−1或x>1．所以函数g(x)在−∞,−1和1,+∞上单调递减，在−1,1上单调递增，又当x趋近于正无穷时，g(x)趋近于0；当x趋近于负无穷，g(x)趋近于正无穷，且g−1所以g(x)的大致图象如图，所以要使直线y=m与函数g(x)的图象有三个交点，则0<m<4故选：C11.23【解析】因为X∼B2,13故答案为：212.1

【解析】对于(2−x)7，令x=1可得展开式中各项的系数和为故答案为：113.23【解析】解：设第1次摸到白球为事件A，第2次摸到白球为事件B，因为P(A)=710，所以P(B|即在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率23因为摸出的球不放回，所以两次都摸到白球的概率为P=7故答案为：23；714.23【解析】解：∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，∵a+b+c=1，∴a+c=23，∴P(|X|=1)=P(X=1)+P(X=−1)=a+c=2∵a=16，且a，b，∴2b=a+c=16+c①即16+b+c=1

由①，②解得：b=13，又∵E(X)=−1×1∴D(X)=1∴DX故答案为：23，515.6；4.7【解析】设fx=m依题意f5=m5−3+35−82设商店日销售该商品所获得的利润为gxgx=fx则g′x当3<x<143时，g′x>0，当所以gx在3,143所以当x=143时，故当销售价格x=14故答案为：6；4.716.(1)若选①：只有第4项的二项式系数最大，则展开式中共有7项，所以n=6；若选②：第2项与第6项的二项式系数相等，即Cn1=若选③：所有二项式系数的和为64，则2n=64，所以(2)因为1−2x6令x=1得a0令x=−1得a0两式相减得2(a1+即展开式中所有奇数项的系数和为−364．【解析】(1)根据所选条件及二项式系数的特征计算可得；(2)利用赋值法求得奇次项系数和．17.(1)设从这100个水果中随机抽取1个，其为礼品果为事件A，则P(A)=20现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为Y，则Y∼B4,所以恰好有2个水果是礼品果的概率为PY=2(2)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，其中精品果有10×40100=4再从中随机抽取3个，则精品果的数量X服从超几何分布，所有可能的取值为0，1，2，3，所以P(X=0)=C63P(X=2)=C61∴X的分布列为：X0123P1131则EX【解析】(1)首先求出抽一次抽到礼品果的概率，现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为Y，则Y∼B4,(2)依题意X的可能的取值为0，1，2，3，求出所对应的概率，从而得到分布列与数学期望．18.(1)因为f(x)=x2−3x+2+所以切点为1,0，f′(x)=2x−3+1所以切线的斜率为f′(1)=2−3+1所以切线的方程为y=0．(2)f(x)=x2−3x+2+f′(x)=2x−3+1令f′(x)=0，解得x=12，或当x∈0,12时，f′(x)>0当x∈12,1时，f′(x)<0当x∈1,+∞时，f′(x)>0，所以f(x)所以当x=12时，f(x)有极大值为当x=1时，f(x)有极小值为f(1)=0，所以x=1为函数的一个零点，当x→0时，f(x)→−∞，所以f(x)在0,1故函数f(x)有2个零点．【解析】(1)由导数的几何意义求解即可；(2)利用导数分析函数的单调性，极值，判断函数的零点即可．19.(1)设至少回答正确一个问题为事件A，则P(A)=1−1(2)这位同学回答这三个问题的总得分X的所有可能取值为−10，0，10，20，30，40，所以P(X=−10)=13×P(X=10)=23×P(X=30)=23×随机变量X的分布列是X−10010203040P122122【解析】(1)利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算可得；(2)依题意随机变量X的所有可能取值为−10，0，10，20，30，40，求出对应概率，即可得分布列．20.(1)因为f(x)=lnx−ax+a，所以∵x=3是fx∴f′3=1(2)函数fx定义域为0,+∞，f′当a≤0时，f′x>0恒成立，所以fx∴fx的单调递增区间为0,+∞当a>0时，令f′x=0，解得∴当x∈0,1a时，f′x>0∴fx的单调递增区间为0,1a综上所述：当a≤0时，fx的单调递增区间为0,+∞当a>0时，fx的单调递增区间为0,1a(3)令Fx则F′x令ℎx=xe∴函数ℎx在0,+∞又ℎ0<0，ℎ1>0，∴ℎx∴当x∈0,c时，ℎx<0；当x∈∴当x∈0,c时，F′x<0；当x∈∴函数Fx在0,c上单调递减，在c,+∞∴Fx又ℎc=cec−1=0，即c∴fx≤gx

【解析】(1)根据极值点定义可构造方程求得a，再检验即可；(2)分别在a≤0和a>0两种情况下，根据导函数的正负得到原函数的单调区间；(3)令Fx=gx−fx，可求得F′x=x+1xxe21.解：(1)∵a2=a5=2，∴a3=a6，

a4=a7=3，∴a5=a8=2，a6=21−a7−a8=16，∴a3=16．

(2)设无穷数列{bn