7.1 角与弧度（八大题型）-苏教版高一《数学》同步学与练

第第页7．1角与弧度课程标准学习目标（1）知道弧度制是角的另外一种度量制，能说出以半径为基准度量角，知道度量单位即1弧度角是如何定义的，能画出1弧度的角，了解这样定义的合理性；能说出两种度量制之间的换算关系是，并能准确进行角的两种度量之间相互转化；了解其中蕴含的数形结合的数学思想方法，和数学知识之间的联系性；（2）能感受到引入弧度制的意义，比如，可以使弧长公式和扇形面积公式变得比较简洁．（1）掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.（2）熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角．（3）理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.（4）掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式．知识点01任意角的概念1、角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．正角：按逆时针方向旋转所形成的角．负角：按顺时针方向旋转所形成的角．零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角．知识点诠释：角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义．2、终边相同的角、象限角终边相同的角为角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．知识点诠释：（1）终边相同的前提是：原点，始边均相同；（2）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；（3）终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍．3、常用的象限角角的终边所在位置角的集合x轴正半轴y轴正半轴x轴负半轴y轴负半轴x轴y轴坐标轴是第一象限角，所以是第二象限角，所以是第三象限角，所以是第四象限角，所以【即学即练1】（2023·高一校考课时练习）已知集合A={|为锐角}，B={|为小于的角}，C={|为第一象限角}，D={|为小于的正角}，则下列等式中成立的是（

）A．A=B B．B=C C．A=C D．A=D【答案】D【解析】因为A={|为锐角}，D={|为小于的正角}，对于集合，小于的角包括零角与负角，对于集合，C={|为第一象限角}，所以A=D，故选：D知识点02弧度制1、弧度制的定义长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1（单位可以省略不写）．2、角度与弧度的换算弧度与角度互换公式：1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad）3、弧长公式：（是圆心角的弧度数），扇形面积公式：．知识点诠释：（1）角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如等等，一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，角的正负主要由角的旋转方向来决定．（2）角的弧度数的绝对值是：，其中，是圆心角所对的弧长，是半径．【即学即练2】（2023·全国·高一专题练习）把下列角度与弧度进行互化．(1)；(2)；(3)；(4).(5)(6)(7)(8)(9)(10)【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.（7）.（8）.（9）（10）.题型一：角的概念例1．（2023·新疆塔城·高一塔城地区第一高级中学校考阶段练习）下列说法中正确的是（

）A．锐角是第一象限角 B．终边相等的角必相等C．小于的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角【答案】A【解析】锐角是指大于小于的角，故其在第一象限，即A正确；选项B．终边相等的角必相等，两角可以相差整数倍，故错误；选项C．小于的角不一定在第一象限，也可以为负角，故错误；选项D．根据任意角的定义，第二象限角可以为负角，第一象限角可以为正角，此时第二象限角小于第一象限角，故错误.故选：A例2．（2023·高一校考课时练习）下列各命题正确的是（

）A．第一象限角都是锐角B．三角形的内角必是第一，二象限角C．不相等的角终边必不相同D．相等的角终边相同【答案】D【解析】为第一象限角，显然不是锐角，A错误；为轴线角，不属于第一，二象限角，B错误；与的终边相同，C错误；两角相等终边相同，D正确.故选：D例3．（2023·高一课时练习）射线绕端点逆时针旋转到达位置，由位置绕端点旋转到达位置，得，则射线旋转的方向与角度分别为（）A．逆时针， B．顺时针，C．逆时针， D．顺时针，【答案】B【解析】由题意可得，设，则，解得，所以射线绕端点顺时针旋转，故选：B变式1．（2023·高一课时练习）下列说法正确的有几个（

）（1）第一象限的角都是锐角；（2）锐角都是第一象限的角；（3）锐角是大于小于的角；A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【解析】第一象限角的集合为，锐角是大于小于的角，锐角的集合为，所以（1）错误，（2）正确，（3）正确，故选：C.变式2．（2023·高一课时练习）时间经过1小时50分钟，则分针转过的角度是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，则，因为时针都是顺时针旋转，所以时间经过1小时50分钟，分针转过的角度是.故选：A变式3．（2023·高一课时练习）手表走过2小时，时针转过的角度为（

）A．60° B．-60° C．30° D．-30°【答案】B【解析】时针每小时转过的角度为30°，由于时针顺时针旋转，因此时针转过的角度为负数.所以手表走过2小时，时针转过的角度为.故选：B【方法技巧与总结】理解与角的概念有关问题的关键关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．题型二：终边相同的角的表示例4．（2023·全国·高一课堂例题）在区间内找出与下列各角终边相同的角，并判定它是第几象限角．(1)；(2)；(3)．【解析】（1）因为，所以在区间内，与角终边相同的角是280°，它是第四象限角．（2）因为，所以在区间内，与1600°角终边相同的角是160°，它是第二象限角．（3）因为，所以在区间内，与角终边相同的角是，它是第三象限角．例5．（2023·全国·高一随堂练习）写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）与终边相同的角的集合为，由，可得，当时，，当时，，当时，，所以，适合不等式的元素为、、.（2）因为，所以，与终边相同的角的集合为，由，可得，当时，，当时，，当时，，所以，适合不等式的元素为、、.（3）因为，所以，与终边相同的角的集合为，由，可得、、，当时，，当时，，当时，，所以，适合不等式的元素为、、.（4）因为，所以，与终边相同的角的集合为，由，可得，当时，，当时，，当时，.所以，适合不等式的元素为、、.例6．（2023·全国·高一随堂练习）在范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1），所以，在范围内，与终边相同的角为，且为第四象限角.（2）因为，所以，在范围内，与终边相同的角为，且为第一象限角.（3）因为，所以，在范围内，与终边相同的角为，且为第三象限角.（4）因为，所以，在范围内，与终边相同的角为，且为第二象限角.变式4．（2023·全国·高一随堂练习）下列角中哪些角与角的终边相同：(1)；(2)；(3)；(4).【解析】（1）∵与30°角的终边相同的角为，当时，，解得，∴角与30°角的终边不相同.（2）∵与30°角的终边相同的角为，当时，，解得，∴角与30°角的终边相同.（3）∵与30°角的终边相同的角为，当时，，解得，∴角与30°角的终边相同.（4）∵与30°角的终边相同的角为，当时，，解得，∴角与30°角的终边相同.变式5．（2023·全国·高一随堂练习）写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式的元素：(1)；(2)．【解析】（1）根据题意可知，所以与终边相同的角的集合为，易知当时，；当时，；当时，；所以适合不等式的元素有：，，；（2）与终边相同的角的集合为，易知当时，；当时，；当时，；所以适合不等式的元素有：，，；变式6．（2023·全国·高一随堂练习）分别写出终边在y轴正半轴、y轴负半轴和y轴上的角的集合．【解析】终边在轴正半轴上的最小正角为，则终边在轴正半轴上的角的集合为．终边在轴负半轴上的最小正角为，则终边在轴负半轴上的角的集合为．故终边在轴轴上的角的集合为．变式7．（2023·全国·高一课堂例题）已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，作出下列各角，指出它们是第几象限角，并指出在范围内与其终边相同的角．(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）角是第一象限角，，所以在范围内，与角终边相同的角是角；（2）角是第四象限角，，所以在范围内，与角终边相同的角是角；（3）角是第二象限角，，所以在范围内，与角终边相同的角是角；（4）角是第三象限角，，所以在范围内，与角终边相同的角是角；综上，（1）第一象限，与角终边相同，（2）第四象限，与角终边相同，（3）第二象限，与角终边相同，（4）第三象限，与角终边相同.变式8．（2023·高一校考课时练习）已知，.(1)指出各自终边所在的象限；(2)在内找出与终边相同的所有角.【解析】（1），在第二象限；在第一象限；（2），与终边相同的角为，取范围内与它们终边相同的所有角有与终边相同的角为，取，则范围内与它们终边相同的所有角有.【方法技巧与总结】在0°～360°范围内找与给定角终边相同的角的方法（1）把任意角化为（且）的形式，关键是确定k．可以用观察法（的绝对值较小），也可用除法．（2）要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．题型三：角所在象限的研究例7．（2023·全国·高一课堂例题）若角是第二象限角，试确定角，是第几象限角．【解析】因为是第二象限角，所以，可得，所以可能是第三象限角、第四象限角或终边在轴非正半轴上的角．又由，当时，，此时是第一象限角；当时，，此时是第二象限角；当时，，此时是第四象限角．综上所述，可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角．例8．（2023·高一课时练习）若角是第二象限角，试确定，的终边所在位置．【解析】由于角是第二象限角，所以，所以，，所以角的终边落在第三象限、第四象限或轴的负半轴，角的终边落在第一象限、第三象限.例9．（2023·高一课时练习）若，，试确定，分别是第几象限角．【解析】由得：，为第一象限角；由得：，当时，，则为第一象限角；当时，，则为第三象限角；综上所述：为第一象限角；为第一或第三象限角.变式9．（2023·高一课时练习）设是第一象限角，试探究：（1）一定不是第几象限角？（2）是第几象限角？【解析】（1）因为是第一象限角，即，所以，所以一定不是第三、四象限角；（2）因为是第一象限角，即，所以，当时，，是第一象限；当时，，是第二象限；当时，，是第三象限；当时，，是第一象限；综上：是第一、二、三象限角.变式10．（2023·高一课时练习）已知角的终边在第四象限.（1）试分别判断、是哪个象限的角；（2）求的范围.【解析】是第四象限的角，，，当时，此时是第二象限；当时，此时是第四象限；又此时是第三象限或第四象限或轴的非正半轴；（2）变式11．（2023·全国·高一随堂练习）已知角α的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）由于为第四象限角，所以，所以，当时，，终边在第二象限，当时，，终边在第四象限，所以的终边在第二或第四象限；（2）由（1）得，所以的终边在第三或第四象限，也可在轴的负半轴上.（3）由（1）得，当时，，终边在第二象限，当时，，终边在第三象限，当时，，终边在第四象限，所以的终边在第二､第三或第四象限；（4）由（1）得，即，所以的终边在第二或三或第四象限，也可在轴的负半轴上.【方法技巧与总结】已知的范围，确定的范围，一般应先将的范围用不等式表示，然后再两边同除以，根据的取值进行分类讨论，以确定的范围，讨论角的范围时要做到不重不漏，尤其对象限界角应引起注意．题型四：象限角的判定例10．（2023·甘肃天水·高一秦安县第一中学校考期末）若是第二象限角，则是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】D【解析】由题意是第二象限角，所以不妨设，所以，由象限角的定义可知是第四象限角.故选：D.例11．（2023·高一单元测试）若为第二象限角，则的终边所在的象限是（

）A．第二象限 B．第一、二象限C．第一、三象限 D．第二、四象限【答案】D【解析】因为为第二象限角，则，因此，而为偶数，当为奇数时，为奇数，则为第四象限角，当为偶数时，为偶数，则为第二象限角，所以的终边所在的象限是第二、四象限.故选：D例12．（2023·辽宁辽阳·高一统考期末）若是第二象限角，则是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】B【解析】由与的终边关于轴对称，可知若是第二象限角，则是第三象限角，所以是第二象限角．故选：B.变式12．（2023·内蒙古呼和浩特·高一呼和浩特市土默特中学校考期中）若角是第二象限角，则角的终边所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】角是第二象限角，则,所以，故角的终边在第三象限，故选：C变式13．（2023·江西景德镇·高一统考期中）角是（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】因为，根据终边相同角的集合知，与终边相同，又是第二象限角.故选：B.变式14．（2023·辽宁大连·高一大连二十四中校考期中）若，则是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】B【解析】因为，故是第二象限角，故选：B.变式15．（2023·高一课时练习）已知角的顶点与原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，是第几象限角（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】B【解析】因为，所以是第二象限角.故选：B.【方法技巧与总结】判断一个角在第几象限或哪条坐标轴上的一般方法（1）若的绝对值比较大，可通过加上或减去360°的整数倍得到内或内的一个角β；（2）判断所在象限，则在第几象限，就在第几象限．题型五：区域角的表示例13．（2023·高一课时练习）已知角的终边在如图所示的阴影区域内，则角的取值范围是．【答案】【解析】终边在角的终边所在直线上的角的集合为，终边在角的终边所在直线上的角的集合为，因此终边在题图中的阴影区域内的角的取值范围是，所以角的取值范围是，故答案为：例14．（2023·高一课时练习）已知角的终边在下图中，所表示的范围内（不含边界），则角的范围为.

【答案】【解析】由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为.故答案为：例15．（2023·安徽芜湖·高一校考阶段练习）如图所示，终边落在阴影部分区域（包括边界）的角的集合是．【答案】【解析】因为终边落在射线OA上的角的集合是为，终边落在射线OB上的角的集合为．所以终边落在阴影部分处（包括边界）的角的集合是．故答案为：变式16．（2023·山东烟台·高一校考期末）如图所示，终边落在阴影部分包括边界的角的集合是.【答案】【解析】因为终边落在y轴上的角为，终边落在图中直线上的角为；，即终边在直线上的角为，，所以终边落在阴影部分的角为，故答案为：变式17．（2023·黑龙江哈尔滨·高一尚志市尚志中学校考阶段练习）如图所示，写出顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分内的角的集合．【答案】【解析】阴影部分内的角的集合为故答案为：.变式18．（2023·高一课时练习）如图，用弧度制表示终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合：.【答案】【解析】因为，，结合图像可看作范围内的角，结合任意角的概念可表示为.故答案为:.变式19．（2023·山西太原·高一太原五中校考阶段练习）用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角的集合是．

【答案】【解析】由题图，终边对应角为且，终边对应角为且，所以阴影部分角的集合是.故答案为：变式20．（2023·湖北武汉·高一武汉中学校考阶段练习）集合中，角所表示的取值范围（阴影部分）正确的是（填序号）.【答案】③【解析】当时，集合，当时，集合，则可得出角所表示的取值范围为③.故答案为：③.【方法技巧与总结】区域角的写法可（1）按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；（2）由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角，，写出所有与，终边相同的角；（3）用不等式表示区域内的角，组成集合．题型六：弧度制与角度制的互化例16．（2023·全国·高一随堂练习）把下列各角的角度化成弧度：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）由角度制与弧度制的互化公式，可得.（2）由角度制与弧度制的互化公式，可得.（3）由角度制与弧度制的互化公式，可得.（4）由角度制与弧度制的互化公式，可得.例17．（2023·全国·高一随堂练习）把下列各角从度化为弧度：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.例18．（2023·甘肃武威·高一统考开学考试）将下列角度与弧度进行互化：(1)(2)(3)(4)(5)【解析】（1）（2）（3）（4）（5）【方法技巧与总结】①在进行角度与弧度的换算时，关键是抓住πrad=180°，这一关系．②用弧度作为单位时，常出现，如果题目没有特殊的要求，应当保留的形式，不要写成小数．③角度制与弧度制不得混用，如，k∈Z；，k∈Z都是不正确的写法．题型七：扇形的弧长及面积公式的应用例19．（2023·浙江宁波·高一校考阶段练习）已知一扇形的圆心角为，周长为，面积为，弧长为,所在圆的半径为．(1)若，，求扇形的弧长；(2)若，，求扇形的半径和圆心角．【解析】（1）由已知得；（2）由已知得，解得，即扇形的半径为4，圆心角为.例20．（2023·山西晋中·高三介休一中校考阶段练习）圆心角为2的扇形的周长为4，则此扇形的面积为.【答案】1【解析】设扇形的半径为，弧长为，则，又，所以，，扇形的面积.故答案为：1.例21．（2023·山东枣庄·高一统考期末）已知弧长为的弧所对圆心角为，则这条弧所在圆的半径为cm．【答案】【解析】依题意把代入公式得，解得.故答案为：.变式21．（2023·重庆长寿·高一重庆市长寿中学校校考期中）已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的周长为.【答案】【解析】设扇形的半径为，由题意可得，解得，所以扇形的周长为.故答案为：.变式22．（2023·四川广元·高一四川省苍溪中学校校考期中）半径为2cm，圆心角为所对的弧长为cm.【答案】/【解析】由题意，圆心角，则弧长.故答案为：变式23．（2023·上海嘉定·高一校考期中）已知扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积为；【答案】/【解析】圆心角为，即圆心角为，该扇形弧长为（），所以该扇形的面积为（）.故答案为：变式24．（2023·上海奉贤·高一校考期中）已知半径为的扇形的圆心角为，则扇形的面积为．【答案】【解析】因为半径扇形的圆心角为，则圆心角，所以弧长，面积.故答案为：.变式25．（2023·甘肃定西·高一统考期末）如图1，折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，其展开的平面图如图2的扇形，其中，则扇面（曲边四边形）的面积是.

【答案】/【解析】，由题意可得，扇形的面积是，扇形的面积是.则扇面（曲边四边形）的面积是.故答案为：．变式26．（2023·内蒙古呼伦贝尔·高一海拉尔第一中学校考期末）已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为．【答案】/【解析】由题意可知，扇形的半径为，故该扇形的面积为.故答案为：.【方法技巧与总结】有关扇形的弧长，圆心角，面积的题目，一般是知二求一的题目，解此类题目的关键在于灵活运用，两组公式．题型八：扇形中的最值问题例22．（2023·辽宁沈阳·高一校联考期中）已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r．(1)若，求扇形的弧长．(2)若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积．【解析】（1）设扇形的弧长为l．因为，即，所以．（2）由题设条件，知，则，所以扇形的面积．当时，S有最大值36，此时，所以当时，扇形的面积最大，最大面积是36．例23．（2023·上海宝山·高一校考阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l．(1)若，，求扇形的弧长l；(2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角．【解析】（1）因为，，所以扇形的弧长；（2）由扇形面积，得，则扇形周长为，当且仅当，即时，取等号，此时，，所以，所以扇形周长的最小值为，此时.例24．（2023·高一课时练习）若扇形的周长是一定值C厘米（）．求证：该扇形面积有最大值，并求出面积最大时圆心角的弧度数．【解析】设该扇形的弧长为，半径为，则有，得，所以扇形面积，所以当时此时面积有最大值，此时，所以圆心角变式27．（2023·高一单元测试）一个扇形的周长是20cm，问它的半径r多大时，此扇形的面积最大？最大面积为多少？【解析】设半径为r，弧长为l，则，即，，当时，取到最大值25，故当半径为5cm时，此扇形的面积取到最大值.变式28．（2023·高一课时练习）如图，点是圆上的点.(1)若，，求劣弧的长；(2)已知扇形的周长为，求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小.【解析】（1），，又，为等边三角形，，则劣弧的长为.（2）设圆的半径为，扇形的弧长为，圆心角为，扇形的周长为，，方法一：扇形面积（当且仅当时取等号），当扇形面积取得最大值时，圆心角.方法二：扇形面积，则当时，取得最大值，此时，当扇形面积取得最大值时，圆心角.变式29．（2023·全国·高三专题练习）已知扇形的圆心角是，半径是，弧长为.(1)若，求扇形的面积；(2)若扇形的周长为，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．【解析】（1）因为，所以扇形的面积为；（2）由题意可知：，即，所以扇形的面积为，当时，扇形面积的最大值为，此时，变式30．（2023·江西赣州·高一赣州市赣县第三中学校考阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为．(1)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角；(2)若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积．【解析】（1）由题意得，解得(舍去)，．所以扇形圆心角．（2）由已知得，．所以，所以当时，取得最大值25，,解得.当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大为25.【方法技巧与总结】解决最值问题采用消元思想或二次函数思想加以解决一、单选题1．（2023·湖北·高一湖北省天门中学校联考阶段练习）已知相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，当大轮转动一周时小轮转动角度是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，所以当大轮转动一周时时，大轮转动了50个齿，所以小轮此时转动周，即小轮转动的角度为.故选：D2．（2023·安徽铜陵·高三统考阶段练习）已知扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令扇形的半径为，则，所以此扇形的面积为.故选：D3．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）已知角终边上有一点，则为（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【解析】已知角终边上有一点，即点，，为第三象限角.故选：C.4．（2023·江苏盐城·高一盐城市大丰区新丰中学校考阶段练习）砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形OCD截去同心扇形OAB所得图形，已知，，，则该扇环形砖雕的面积为（

）.

A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意知，，，，可得，可得扇形的面积为，扇形的面积为，所以该扇环形砖雕的面积为.故选：D.5．（2023·广东广州·高三广东广雅中学校考阶段练习）扇子是引风用品，夏令必备之物.我国传统扇文化源远流长，是中华文化的一个组成部分.历史上最早的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品.扇子的种类较多，受大众喜爱的有团扇和折扇.如图1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或绫绢做扇面而制成的.完全打开后的折扇为扇形（如图2），若图2中，，分别在，上，，的长为，则该折扇的扇面的面积为（

）

图1

图2A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，，所以，所以该折扇的扇面的面积为.故选：D6．（2023·上海嘉定·高一校考期中）若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】若是第一象限角，则，，则是第四象限角，故D错误；，则是第一象限角，故A错误；，则是第二象限角，故B错误；，则是第三象限角，故C错误.故选：C.7．（2023·高一课时练习）一个半径为R的扇形，它的周长是，则这个扇形所含弓形的面积是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】如图，的长为，故（弧度），所以，而扇形的面积为，故弓形的面积为．故选：D.8．（2023·四川达州·高一校考阶段练习）已知为第二象限角，则所在的象限是（

）A．第一或第二象限 B．第二或第三象限C．第二或第四象限 D．第一或第三象限【答案】D【解析】因为为第二象限角，则，所以，，①当为奇数时，设，则，即，此时为第三象限角；②当为偶数时，设，则，此时为第一象限角.综上所述，为第一或第三象限角.故选：D.二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1，0)，∠BOA＝60°，质点A以1rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则（

）A．经过1s后，∠BOA的弧度数为＋3B．经过s后，扇形AOB的弧长为C．经过s后，扇形AOB的面积为D．经过s后，A，B在单位圆上第一次相遇【答案】ABD【解析】经过1s后，质点A运动1rad，质点B运动2rad，此时∠BOA的弧度数为，故A正确；经过s后，，故扇形AOB的弧长为，故B正确；经过s后，，故扇形AOB的面积为，故C不正确；设经过ts后，A，B在单位圆上第一次相遇，则，解得(s)，故D正确.故选：ABD.10．（2023·辽宁抚顺·高一抚顺县高级中学校校考阶段练习）如果α是第三象限的角，那么可能是下列哪个象限的角（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】ACD【解析】是第三象限的角，则，，所以，；当，，在第一象限；当，，在第三象限；当，，在第四象限；所以可以是第一、第三、或第四象限角．故选：ACD11．（2023·湖北黄冈·高一校考阶段练习）若是第二象限的角，则的终边所在位置可能是（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】ABD【解析】是第二象限的角，则，，，，当时，是第一象限角，当时，是第二象限角，当时，是第四象限角，故选：ABD．12．（2023·海南省直辖县级单位·高一校考期末）已知{第一象限角}，{锐角}，{小于的角}，那么A、B、C关系是（）A． B．C． D．【答案】BC【解析】对于A选项，除了锐角，还包括其它角，比如，所以A选项错误.对于B选项，锐角是小于的角，故B选项正确.对于C选项，锐角是第一象限角，故C选项正确.对于D选项，中角的范围不一样，所以D选项错误.

故选：BC.三、填空题13．（2023·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）杭州第届亚洲运动会，于年月日至月日在中国浙江省杭州市举行，本届亚运会的会徽名为“潮涌”，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六