河南省南阳市邓州市2024届九年级上学期1月期末考试数学试卷(含解析)

邓州市2023~2024学年第一学期期末考试九年级数学试卷注意事项：1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，答题时间100分钟；2．请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效．一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上．1．下列二次根式是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．2．下列计算正确的是（

）A． B．C． D．3．在一个不透明的盒子里装有m个球，其中红球6个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定到0.2附近，那么可以估算出m的值为（

）A．16 B．20 C．24 D．304．关于方程的描述，下列说法错误的是（

）A．它是一元二次方程 B．解方程时，方程两边先同时除以C．它有两个不相等的实数根 D．用因式分解法解此方程最适宜5．如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，使用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．它是由长度相等的两脚和交叉构成的．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段l的两个端点上，若量得的长度，便可知的长度．本题依据的主要数学原理是（

）

A．三边成比例的两个三角形相似 B．两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等C．两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 D．平行线分线段成比例6．在中，，，，则的度数（

）A．

B． C． D．无法确定7．下列关于二次函数的说法正确的是（）A．图象是一条开口向下的抛物线 B．图象与轴没有交点C．当时，y随x增大而增大 D．图象的顶点坐标是8．如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（

）

A． B．C． D．9．如图，小明家的客厅有一张高米的圆桌，直径为1米，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为D、E，依据题意建立如图所示的平面直角坐标系，其中点D的坐标为，则点E的坐标是（）A． B． C． D．10．如图①，在中，，，动点D从点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，过点D作于点E，图②是点D运动时，的面积随时间x（s）变化的关系图象，其中图象最高点的纵坐标是，则的长为（

）A．4cm B． C．8cm D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．已知，则的值为．12．请在横线上填写一个恰当的整数，使方程有两个不相等的实数根．13．新高考“”选科模式是指除“语文、数学、外语”3门科目以外，学生应在2门首选科目“历史和物理”中选择1科，然后在4门再选科目“思想政治、地理、化学、生物”中选择2科．小刚同学从4门再选科目中随机选择2科，则恰好选中“思想政治和生物”的概率为．14．在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得平移后的抛物线（如图），点A在平移后的抛物线上运动，过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为．15．在菱形中，，点是对角线的中点，点从点出发沿着边按由的路径运动，到达终点停止，当以点、、为顶点的三角形与相似时，则线段的长为．三、解答题（共8小题，满分75分）16．（1）计算：；（2）解方程：．17．如图，为菱形的对角线，点在的延长线上，且．

(1)求证：；(2)若点C是的中点，，求菱形的边长．18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格的格点上，按要求解决下列问题．(1)画出关于轴的轴对称图形；(2)以原点为位似中心，在第一象限内出画出，使得与位似，且相似比为．并写出与的面积之比为；(3)在（1）、（2）的条件下，设内一点的坐标为，则内与点的对应点的坐标为．19．某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．(1)如图2，在P点观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为α，设仰角为β，请直接用含α的代数式表示β．(2)如图3，为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B，C分别测得气球A的仰角为，为，地面上点B，C，D在同一水平直线上，，求气球A离地面的高度．（参考数据：，，）20．某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，在柱子的顶端A处安装一个喷头向外喷水．柱子在水面以上部分的高度为3m．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最大高度为4m，如图所示．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求在第一象限部分的抛物线解析式（不必写出自变量取值范围）；(2)张师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为处，通过计算说明身高的张师傅是否被淋湿？(3)如果不计其他因素，为使水不溅落在水池外，那么水池的直径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？21．“直播带货”已经成为信息社会中商家的一种新型促销手段．某主播小红在直播间销售一种进价为每件20元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系（注：在计算利润时，不考虑快递费用等其他因素）．(1)设小红每天的销售利润为w元，求w与x之间的函数关系式（要求函数关系式化为一般式，并写出自变量x的取值范围）；(2)若小红每天想获得的销售利润w为750元，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？(3)当销售单价定为多少元时，每天销售该商品获得利润最大，并求出最大销售利润．22．请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务．利用图象法解一元二次方程数学活动课上，王老师提出这样一个问题：我们曾经利用一次函数的图象解一元一次方程，类比前面的学习经验，我们能否利用二次函数的图象解一元二次方程呢？例如，解方程：．王老师倡导同学们以小组为单位进行合作探究，同学们经过几分钟热烈的讨论交流，智慧小组率先展示了他们的方法：将方程进一步变形为，如图1，画出二次函数的图象，发现抛物线与x轴的相交于和两点，当或时，此时，所以，即，所以此方程的解为，．善思小组受智慧小组的启发，展示了他们的方法：画出二次函数的图象和直线．如图2所示，它们相交于和两点，当或时，此时，即，所以此方程的解为，．任务：（1）利用图象法解上述材料中的方程，下列叙述错误的是（

）A．利用图象法解方程体现了数形结合思想B．画出抛物线和直线，观察图象交点的横坐标，也可得出该方程的根C．画出抛物线和直线，观察图象交点的横坐标，也可得出该方程的根D．画出抛物线和直线，观察图象交点的横坐标，也可得出该方程的根（2）请你利用图象法解方程，把函数图象画在图3的平面直角坐标系中，并写出解方程的分析过程．（3）若方程无实数根，从图形的角度看就是抛物线与直线无交点，此时a的取值范围是；（4）拓展迁移：方程的根的情况是．23．综合与实践：（１）问题发现：如图，在中，，是外角的平分线，则与的位置关系如何，并加以证明．（2）问题解决：如图，在矩形中，，，点是的中点，将沿直线翻折，点落在点处，连结，求和线段的值．（3）拓展迁移：如图，正方形的边长为10，是边上一动点，将正方形沿翻折，点的对应点为，过点作折痕的平行线，分别交正方形的边于点、（点在点上方），若，请直接写出的长为．

参考答案与解析1．A解析：解：A、是最简二次根式，本选项符合题意；B、，不是最简二次根式，本选项不符合题意；C、，不是最简二次根式，本选项不符合题意；D、，不是最简二次根式，本选项不符合题意．故选：A．2．C解析：解：A、与不是同类二次根式，不能合并，本选项不符合题意；B、，本选项不符合题意；C、，本选项符合题意；D、，本选项不符合题意；故选：C．3．D解析：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定到0.2附近，∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为0.2，∴，解得，经检验：是原方程的解，故选：D．4．B解析：解：、方程整理得为，故方程是一元二次方程，该说法正确，不合题意；、解方程时，方程两边先同时除以，会漏解，故该说法错误，符合题意；、由得：，故方程有两个不相等的实数根，该说法正确，不合题意；、用因式分解法解此方程最适宜，该说法正确，不合题意；故选：．5．C解析：解：∵，∴，∵，∴（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）．∴，，∴若量得的长度，便可知的长度．故选：C6．B解析：解：∵，，，∴，∴．故选：B．7．D解析：解：已知二次函数，∴图象的开口向上，故选项错误，不符合题意；图象的顶点坐标为，故选项正确，符合题意；∵图象开口向上，顶点坐标在第三象限，∴图象与轴有交点，故选项错误，不符合题意；∵图象的对称轴为，开口向上，∴当时，先随的增大而减少，再随的增大而增大，故选项错误，不符合题意；故选：．8．C解析：解：根据题意，小路的长为米、宽为米，故所列方程为，即，故选：C．9．A解析：解：如图所示：由题意得：轴，∴∵∴∴∴∵∴∵∴即：故选：A10．B解析：解：根据题意，设，，∵，，∴，，∴，根据图示，当点与点重合时，的值最大，最大值为，∴，解得，，∴，∵，，，∴在中，，∴，故选：．11．####解析：解：，，则，．故答案为：12．0（答案不唯一，小于的整数均可）解析：解：设常数项为c，关于x的方程有两个不相等的实数根，，解得，c为整数，c可取0．故答案为：0（答案不唯一，小于的整数均可）．13．解析：解：在4门科目“思想政治、地理、化学、生物”中选择2科的所有等可能结果有：“思想政治和地理、思想政治和化学、思想政治和生物、地理和化学、地理和生物、化学和生物”共6种结果，其中选中思想政治和生物的结果数为1，∴则恰好选中“思想政治和生物”的概率为，故答案为：．14．8解析：∵，∴将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得平移后的抛物线，∴抛物线的顶点坐标为，∵四边形为矩形，∴，而轴，∴的长等于点A的纵坐标，当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为8，∴对角线的最小值为8．故答案为：8．15．或解析：解：根据题意，作图如下，连接，

∵四边形是菱形，，∴，，∴，∵点是的中点，∴，即，在中，，，则，①如图所示，当点在上时，当时，∴，则，∴；②如图所示，当点在上时，当时，

连接，根据菱形的性质，，可得是等边三角形，∴根据上述证明可得，点是的中点，且，∴当时，点关于点对称，∴，∴点为的中点，且，∴，即，∴，∴；综上所述，的长为或，故答案为：或．16．（1）；（2）解析：解：（1）原式；（2）解：移项得：配方得：即：直接开平方得∴．17．(1)证明详见解析；(2)．解析：（1）本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，（1）根据四边形是菱形，得出，结合，得出，即可证明结论；（2）根据，得出，代入数据进行计算，即可得出的值．解：∵四边形是菱形，

∴，又，∴，∵为菱形的对角线，∴，∴（2）∵C是的中点，∴，∵四边形是菱形，∴，∵．∴∴∴∴，即菱形的边长为18．(1)作图见解析；(2)作图见解析，(3)解析：（1）解：关于轴的轴对称图形，作图如下，∴即为所求图形；（2）解：以原点为位似中心，在第一象限内出画出，使得与位似，且相似比为，作图如下，∴即为所求图形，∵与位似，且相似比为，∴，∵与关于轴对称，∴，∴，故答案为：；（3）解：根据题意，与的相似比为，∵内一点的坐标为在第二象限，∴，，∵在第一象限，∴，故答案为：．19．(1)；(2)．解析：（1）解：如图所示：由题意知在中，，则，即．故答案为．（2）解：设，∵，∴，∵，∴，在中，，∴，即，解得：，∴．答：气球A离地面的高度是．20．(1)；(2)；(3)6米．解析：（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，∴设抛物线的解析式为：，将代入得，，解得，∴抛物线的解析式为：；（2）当时，所以，张师傅站在与池中心水平距离为处，能被淋湿．（3）令，得，，解得，（舍）

，∴，答：水池的直径至少要6米，才能使喷出的水流都落在水池内．21．(1)(2)25；(3)销售单价定为30元时，每天销售该商品获得利润最大，最大销售利润为1000元．解析：（1）由题意得：．当时，，∴，∴；（2）由题意，令，∴，解得：．又∵尽可能地减少库存，∴．答：应将销售单价定为25元；（3），∵，∴当时，w有最大值，最大值为1000，∴当销售单价定为30元时，每天销售该商品获得利润最大，最大销售利润为1000元．22．（1）C；（2）图见解析，分析过程详见解析；（3），；（4）有两个不相等的实数根．解析：解：（1）A选项，图象法是画出函数图象，通过交点的情况研究方程的解的情况，满足数形结合思想，因此A正确；B选项，联立抛物线和直线，可得方程，整理得，符合题目的方程