2020-2021学年高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》测试卷及答案解析

2020-2021学年高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》测

试卷

一.单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

1.如图，在三棱锥尸-ABC中，PALAB,PA±AC,D、E、尸分别是所在棱的中点.则下

列说法错误的是（）

A.面DEP〃面尸BCB.PABL\^ABC

C.PA1.BCD.DE//PC

2.体积为/的正方体外接球的表面积为)

A.naB.2naC.3na2D.乐/

3.如图所示的组合体，其结构特征是（

A.由两个圆锥组合成的

B.由两个圆柱组合成的

C.由一个棱锥和一个棱柱组合成的

D.由一个圆锥和一个圆柱组合成的

4.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，

开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为

该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为12cm,

体积为72nc/的细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此

锥形沙堆的高度为（）

第1页共21页

A.3cmB.6cmC.8cmD.9cm

5.已知平面a〃平面0,mca,那么下列结论正确的是（）

A.m,〃是平行直线B.m,〃是异面直线

C.m,〃是共面直线D.m,〃是不相交直线

6.一球的体积为288口，则其表面积为（）

A.72nB.64iiC.144TTD.108n

7.已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥的侧面积为（）

37r

A.3nB.—C.2nD.n

2

8.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下,

缠木七周，上与木齐.问葛长几何？术曰：以七周乘三尺为股，木长为勾，为之求弦.弦

者，葛之长”.意思是：今有2丈长木，其横截面周长3尺，葛藤从木底端绕木7周至顶

端，问葛藤有多长？（注：1丈=10尺）（）

A.21尺B.23尺C.27尺D.29尺

二.多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分）

9.三个平面a,p,丫两两均相交，则这三个平面的交线总共可能有（）条.

A.1B.2C.3D.4

10.两个不同的平面a、p,它们的交点个数可以为（）

A.0个B.1个C.2个D.无数个

11.已知一个等腰直角三角形的直角边长为1,现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形

成的几何体的表面积可以为（）

A.V2TTB.（1+V2）nC.2-j2nD.（2+V2）Tt

12.以下命题中假命题的序号是（）

A.若棱柱被一平面所截，则分成的两部分不一定是棱柱

B.有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体叫棱台

C.用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫圆台

第2页共21页

D.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

三.填空题(共4小题，每小题5分，共20分)

13.已知a〃a,Pea,那么过点P且平行于直线a的直线.

A.只有1条，不在平面a内

B.有无数条，不一定在平面a内

C.只有1条，且在平面a内

D.有无数条，一定在平面a内

14.三条直线相交于一点，则它们最多能确定个平面.

15.正方体外接球的表面积为16m则该正方体的表面积为.

16.已知正六棱锥的底面边长为2,高为1,则此正六棱锥的侧面积为.

四.解答题(共6小题，第17题10分，18-22每小题12分，共70分)

17.如图,正方体ABCO-4B1GD1中，E,F分别为Ci正,81cl的中点.

(1)求证：E,F,B,D四点共面；

(2)若ACCBO=P,A\C\^EF=Q,ACi与平面交于点R,求证：P,Q,R三

点共线.

第3页共21页

18.如图，在四棱锥P-ABC。中，平面ABCD,底面ABC。为正方形，尸为对角线

AC与80的交点，E为棱PD的中点.

(I)证明：EF〃平面尸BC；

(II)证明：AC±PB.

第4页共21页

19.如图所示，在直三棱柱ABC-中，侧面A41cle和侧面A418bB都是正方形且互

相垂直，M为441的中点，N为BCi的中点.求证:

(1)〃平面A1B1C1；

(2)平面M3Ci_L平面BBiCiC.

第5页共21页

20.如图，在三棱锥A-BCD中，E为CD的中点，。为8。上一点，且BC〃平面AOE.

(1)求证：。是的中点；

(2)^AB=AD,BC±BD,求证：平面ABO_L平面AOE.

第6页共21页

21.将正方体ABCD-AiBiCiDi沿三角形AiBC\所在平面削去一角可得到如图所示的几何

体.

(1)连结B。，BDi,证明：平面平面ALBCI；

(2)已知P,Q,R分别是正方形ABCD、CDD©、ADD14的中心(即对角线交点),

证明：平面尸QR〃平面42cl.

第7页共21页

22.如图，在平行六面体ABCD-AiBiCiDi中，底面ABCD为菱形，ACi和BD\相交于点

O,E为CCi的中点.

(I)求证：OE〃平面ABCD；

(II)若平面平面ABCD,求证：D\E=BE.

第8页共21页

2020-2021学年高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》测

试卷

参考答案与试题解析

一.单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

1.如图，在三棱锥P-ABC中，PALAB,PALAC,。、E、产分别是所在棱的中点.则下

列说法错误的是（）

B

A.面。EF〃面PBCB.面群B_L面ABC

C.PALBCD.DE//PC

【解答】解：E分别是B4,4B的中点，

：.DE//PB,又DEC平面尸3C,PBu平面尸BC,

〃平面尸BC,

同理可得DF〃平面PBC,

又DECDF=D,；.平面OEF〃平面PBC,故A正确；

VB4±AB,PALAC,ABHAC=A,

4rl平面ABC,

：.PA±BC,故C正确，

又B4u平面PAB,

平面RLB_L平面ABC,故8正确；

假设。E〃尸C,5LDE//PB,

：.PB//PC,与尸BCPC=P矛盾，故。E与PC不平行，故。错误，

故选：D.

2.体积为人的正方体外接球的表面积为（）

A.TierB.2ira2C.3-rra2D.4TO2

【解答】解：根据正方体的体积为

第9页共21页

可得正方体的边长为a,

正方体的体对角线的长度，就是它的外接球的直径,

即百a=2R,即R=亭a

球的表面积为4Tt7?2=37ta2.

故选：C.

3.如图所示的组合体，其结构特征是（）

A.由两个圆锥组合成的

B.由两个圆柱组合成的

C.由一个棱锥和一个棱柱组合成的

D.由一个圆锥和一个圆柱组合成的

【解答】解：由图形知，该几何体由一个圆锥和一个圆柱组成的简单组合体.

故选：D.

4.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，

开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为

该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为12an,

体积为72"5?3的细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此

锥形沙堆的高度为（）

A.3cmB.6cmC.8cmD.9cm

【解答】解：细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为6,设高为〃，

11c

则沙堆的体积为V=qSh=^TiX62Xh=72兀，

解得h=6.

故选：B.

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5.已知平面a〃平面0,mua,〃u0,那么下列结论正确的是（）

A.m,〃是平行直线B.m,〃是异面直线

C.m,〃是共面直线D.m,〃是不相交直线

【解答】解：若平面a〃平面仇mca,nep,则相与〃的位置关系可以是平行、异面,

但一定不相交.

故选：D.

6.一球的体积为288m则其表面积为（）

A.72nB.64TlC.144nD.108n

【解答】解：设球的半径为R,贝ijVj$=$rR3=288m解得R=6,

所以球的表面积为S=4irZ?2=4TT,62=144TT,

故选：C.

7.已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥的侧面积为（）

3兀

A.3nB.—C.2TTD.it

2

【解答】解：圆锥的底面半径为1,母线长为3,

则该圆锥的侧面积为

Sm面积=

故选：A.

8.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下,

缠木七周，上与木齐.问葛长几何？术曰：以七周乘三尺为股，木长为勾，为之求弦.弦

者，葛之长”.意思是：今有2丈长木，其横截面周长3尺，葛藤从木底端绕木7周至顶

端，问葛藤有多长？（注：1丈=10尺）（）

A.21尺B.23尺C.27尺D.29尺

第11页共21页

另一条直角边长7x3=21（尺），因此葛藤长例斗力=29（尺），

故选：D.

二.多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分）

9.三个平面a,p,丫两两均相交，则这三个平面的交线总共可能有（）条.

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：当三个平面交于一条直线时，交线的条数是1,

当三个平面两两相交，交线不重合时，有3条交线，

综上：可知空间中三个平面两两相交交线的条数是1或3,

故选：AC.

10.两个不同的平面a、p,它们的交点个数可以为（）

A.0个B.1个C.2个D.无数个

【解答】解；根据平面的基本性质中的公理2：如果两个平面有一个公共点，

那么它们还有其他的公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.

则两个平面有公共点，则公共点的个数是无数个；

若两平面平行，故它们公共点的个数是0个.

故选：AD.

11.已知一个等腰直角三角形的直角边长为1,现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形

成的几何体的表面积可以为（）

A.42nB.（1+V2）uC.2&兀D.（2+V2）TT

【解答】解：若绕直角边旋转，则得到的几何体为底面半径为1,高为1的圆锥，母线长

为企，

故圆锥的表面积为nXl+nXlx/=（1+V2）IT,

若绕斜边旋转，则得到的几何体为同底的两个圆锥的组合体，每个圆锥的底面半径和高

V2

都是:，母线长为1,

故组合体的表面积为irX?XlX2=V2TT,

故选：AB.

12.以下命题中假命题的序号是（）

A.若棱柱被一平面所截，则分成的两部分不一定是棱柱

B.有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体叫棱台

第12页共21页

C.用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫圆台

D.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

【解答】解：在A中，若斜棱柱被一垂直于底面的平面所截，则分成的两部分不一定是

棱柱，故A正确；

在8中，有两个面平行，其余各面都是梯形，且侧棱的延长线交于一点的几何体叫棱台，

故3错误；

在C中，用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫圆台，不正确，

当平面与底面平行时，底面和截面之间的部分组成的几何体叫圆台.故C错误；

在。中，棱柱的概念知：

有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几

何体叫棱柱，故。错误.

故选：BCD.

三.填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知。〃a,Pea,那么过点尸且平行于直线a的直线C.

A.只有1条，不在平面a内

B.有无数条，不一定在平面a内

C.只有1条，且在平面a内

D.有无数条，一定在平面a内

【解答】解：过。与P作一平面由平面a与平面0的交线为6,

因为直线a〃平面a,所以。〃从

在同一个平面内，过点作已知直线的平行线有且只有一条，

所以选项C正确.

故选：C.

14.三条直线相交于一点，则它们最多能确定3个平面.

【解答】解：当三条直线共面时，显然这三条直线只确定1个平面，

当三条直线不共面时，以三棱锥的三条侧棱为例，任意两条侧棱都确定一个侧面，

而三棱锥有三个侧面，

故相交于一点的三条直线最多可确定3个平面，

故答案为：3.

15.正方体外接球的表面积为16m则该正方体的表面积为32.

第13页共21页

【解答】解：设正方体的棱长为a,则正方体的体对角线的长就是外接球的直径,

,外接球的半径为：~a>

:正方体外接球表面积是16Tt,

4?r(^a)2=16TT,

解得a=

所以正方体的表面积为6a2=32,

故答案为：32.

16.已知正六棱锥的底面边长为2,高为1,则此正六棱锥的侧面积为12.

【解答】解：设正六棱锥S-ABCDE尸的底面中心为0,

则△OAB为边长为2的等边三角形，设M为4B的中点，

则且

：.SM=VSO2+OM2=2,

1

正六棱锥的侧面积为S=1x2x2x6=12.

故答案为：12.

四.解答题(共6小题，第17题10分，18-22每小题12分，共70分)

17.如图，正方体ABC。-AIBCLDI中，E,E分别为CiLh，BiCi的中点.

(1)求证：E,F,B,D四点共面；

(2)若ACCBD=P,AiCinEF=Q,AQ与平面EEBD交于点R,求证：P,Q,R三

点共线.

第14页共21页

【解答】证明：(1)连接

在正方体ABC。-481CLDI中，;E,歹分别为C01,由。的中点,

二所是△21C1D1的中位线，：.EF//BiDi,

又因为囱。1〃8。，J.EF//BD

四边形BDEF为梯形，即B,D,E,尸四点共面.

(2)在正方体ABC。-481cl。中，ACCiBD=P,AiQAEF=g,

：.PQ是平面AAiCiC与平面BDEF的交线，

又因为ACi交平面BDEF于点R,

：.R是平面A41cle与平面BDEF的一个公共点.

因为两平面相交的所有公共点都在这两个平面的交线上，

：.P,Q,R三点共线.

18.如图，在四棱锥尸-A3CD中，PZ〃平面ABCD,底面A2CD为正方形，P为对角线

AC与的交点，E为棱尸。的中点.

(I)证明：EP〃平面P3C；

(II)证明：AC±PB.

第15页共21页

p

【解答】证明：(/)•..四边形ABCD是正方形，尸为对角线AC与8。的交点，

，尸是8。的中点，又E是尸。的中点，

.,.EF//PB,

又所史平面PBC,PBu平面尸BC,

.♦.E/〃平面PBC.

(〃)•.,四边形ABCD是正方形，

：.AC±BD,

'：PD±^-^ABCD,ACu平面ABCD,

：.AC±PD,

又BDu平面尸3D,PDu平面PBD,BDCPD=D,

；.4C_L平面PBD,

又PBu平面PBD,

：.AC±PB.

19.如图所示，在直三棱柱ABC-ALBICI中，侧面A41cle和侧面都是正方形且互

相垂直，M为AA1的中点，N为BCi的中点.求证：

(1)AfiV〃平面AiBiCi；

(2)平面平面BBiCiC.

AMA,

【解答】证明：由题意知AAi，AB,AC两两垂直，以A为坐标原点，分别以A4i，AB,

AC所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

第16页共21页

设正方形A41cle的边长为2,则A(0,0,0),Ai(2,0,0),B(0,2,0),Bi(2,

2,0),C(0,0,2),

Ci(2,0,2),M(1,0,0),N(1,1,1),

(1)由题意知AAiLAiBi，AAilAiCi，

又A/1CAiCi=4,A\B\,AiCiu平面AiBCi,

所以AAi_L平面AiBiCi，

—>―>

因为4&=(2,0,0),MN=(0,1,1),

->—>—>—>

所以MN-A&=0,即MN1AA「

又肱\彼平面43。，

故A/N〃平面4B1Q.

（2）设平面MBCi与平面BBiCiC的法向量分别为2=（X],zI），n2=（不，丫2,

z2))

因为/B=(-1,2,0),MC1=(1,0,2),则，・%=f+2%=。

所以令xi=2,则平面MB。的一个法向量为元=(2,1,-1),

同理可得平面BBiCiC的一个法向量为R=(0,1,1),

因为%,n2=2x0+lxl+(―1)x1=0,

所以五1n2,

所以平面MBCi_L平面BBiCiC.

20.如图，在三棱锥A-BCD中，E为CD的中点，。为BD上一点,且2C〃平面AOE.

（1）求证：。是8。的中点；

（2）若AB=AD,BC±BD,求证：平面平面AOE.

第17页共21页

A

【解答】证明：（1）〃平面AOE,BC在平面BCD内，平面BCDC平面AOE=OE,

：.BC//OE,

为C。的中点，

；.0为BD的中点；

（2）'."OE//BC,BC±BD,

J.OELBD,

"：AB=AD,。为8。的中点，

C.OALBD,

,：OEHOA=O,且都在平面AOE内，

...台力,平面人。5

在平面ABZ）内，

平面ABD_L平面AOE.

21.将正方体ABCD-AiBiCiDi沿三角形AiBCi所在平面削去一角可得到如图所示的几何

体.

（1）连结BO,BDi,证明：平面平面AiBCi；

（2）已知尸，Q,R分别是正方形ABCD、CDDiCi、的中心（即对角线交点）,

证明：平面尸QR〃平面AiBCi.

【解答】证明：（1）连接AC,:正方体ABCQ-AiBiCiDi，

第18页共21页

：.AAi//CCi,

：.A,Ai，