高考数学总复习（基础知识+高频考点+解题训练）不等关系与不等式

第一节不等关系与不等式[知识能否忆起]1．实数大小顺序与运算性质之间的关系a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b.2．不等式的基本性质性质性质内容注意对称性a>b⇔b<a⇔传递性a>b，b>c⇒a>c⇒可加性a>b⇒a＋c>b＋c⇒可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))⇒ac>bcc的符号eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))⇒ac<bc同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))⇒a＋c>b＋d⇒同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))⇒ac>bd⇒可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)同正可开方性a>b>0⇒eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)[小题能否全取]1．(教材习题改编)下列命题正确的是()A．若ac＞bc⇒a＞b B．若a2＞b2⇒a＞bC．若eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)⇒a＜b D．若eq\r(a)＜eq\r(b)⇒a＜b答案：D2．若x＋y>0，a<0，ay>0，则x－y的值()A．大于0 B．等于0C．小于0 D．不确定解析：选A由a<0，ay>0知y<0，又x＋y>0，所以x>0.故x－y>0.3．已知a，b，c，d均为实数，且c>d，则“a>b”是“a－c>b－d”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B若a－c>b－d，c>d，则a>b.但c>d，a>b⇒/a－c>b－d.如a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－3时，a－c<b－d.4.eq\f(1,\r(2)－1)________eq\r(3)＋1(填“>”或“<”)．解析：eq\f(1,\r(2)－1)＝eq\r(2)＋1＜eq\r(3)＋1.答案：<5．已知a，b，c∈R，有以下命题：①若a>b，则ac2>bc2；②若ac2>bc2，则a>b；③若a>b，则a·2c>b·2其中正确的是____________(请把正确命题的序号都填上)．解析：①若c＝0则命题不成立．②正确．③中由2c答案：②③1.使用不等式性质时应注意的问题：在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．如“同向不等式”才可相加，“同向且两边同正的不等式”才可相乘；可乘性中“c的符号”等也需要注意．2．作差法是比较两数(式)大小的常用方法，也是证明不等式的基本方法．要注意强化化归意识，同时注意函数性质在比较大小中的作用．比较两个数(式)的大小典题导入[例1]已知等比数列{an}中，a1＞0，q＞0，前n项和为Sn，试比较eq\f(S3,a3)与eq\f(S5,a5)的大小．[自主解答]当q＝1时，eq\f(S3,a3)＝3，eq\f(S5,a5)＝5，所以eq\f(S3,a3)＜eq\f(S5,a5)；当q＞0且q≠1时，eq\f(S3,a3)－eq\f(S5,a5)＝eq\f(a11－q3,a1q21－q)－eq\f(a11－q5,a1q41－q)＝eq\f(q21－q3－1－q5,q41－q)＝eq\f(－q－1,q4)＜0，所以eq\f(S3,a3)＜eq\f(S5,a5).综上可知eq\f(S3,a3)＜eq\f(S5,a5).若本例中“q＞0”改为“q＜0”，试比较它们的大小．解：由例题解法知当q≠1时，eq\f(S3,a3)－eq\f(S5,a5)＝eq\f(－q－1,q4).当－1＜q＜0时，eq\f(S3,a3)－eq\f(S5,a5)＜0，即eq\f(S3,a3)＜eq\f(S5,a5)；当q＝－1时，eq\f(S3,a3)－eq\f(S5,a5)＝0,即eq\f(S3,a3)＝eq\f(S5,a5)；当q＜－1时，eq\f(S3,a3)－eq\f(S5,a5)＞0，即eq\f(S3,a3)＞eq\f(S5,a5).由题悟法比较大小的常用方法(1)作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法：一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．(3)特值法：若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．[注意]用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论．以题试法1．(·吉林联考)已知实数a、b、c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a、bA．c≥b＞a B．a＞c≥bC．c＞b＞a D．a＞c＞b解析：选Ac－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2∴c≥b.将题中两式作差得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2∵1＋a2－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，∴1＋a2>a.∴b＝1＋a2>a.∴c≥b>a.不等式的性质典题导入[例2](1)(·大纲全国卷)下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是()A．a>b＋1 B．a>b－1C．a2>b2 D．a3>b3(2)(·包头模拟)若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论：①ad＞bc；②eq\f(a,d)＋eq\f(b,c)＜0；③a－c＞b－d；④a·(d－c)＞b(d－c)中成立的个数是()A．1 B．2C．3 D．4[自主解答](1)由a＞b＋1得a＞b＋1＞b，即a＞b；且由a＞b不能得出a＞b＋1.因此，使a＞b成立的充分不必要条件是a＞b＋1.(2)∵a＞0＞b，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0，∴ad＜bc，故①错误．∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0，∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，∴a(－c)＞(－b)(－d)，∴ac＋bd＜0，∴eq\f(a,d)＋eq\f(b,c)＝eq\f(ac＋bd,cd)＜0，故②正确．∵c＜d，∴－c＞－d，∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)，a－c＞b－d，故③正确．∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)，故④正确，故选C.[答案](1)A(2)C由题悟法1．判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质．2．特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试，可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题．以题试法2．若a、b、c为实数，则下列命题正确的是()A．若a＞b，c＞d，则ac＞bdB．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＜b＜0，则eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)D．若a＜b＜0，则eq\f(b,a)＞eq\f(a,b)解析：选BA中，只有a＞b＞0，c＞d＞0时，才成立；B中，由a＜b＜0，得a2＞ab＞b2成立；C，D通过取a＝－2，b＝－1验证均不正确．不等式性质的应用典题导入[例3]已知函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范围．[自主解答]f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b.f(－2)＝4a－2b设m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝4，,m－n＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝3.))∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤f(－2)≤10.即f(－2)的取值范围为[5,10]．由题悟法利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．以题试法3．若α，β满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤α＋β≤1，,1≤α＋2β≤3，))试求α＋3β的取值范围．解：设α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)α＋(x＋2y)β.则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x＋2y＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2.))∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6，两式相加，得1≤α＋3β≤7.∴α＋3β的取值范围为[1,7]．1．已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与NA．M<N B．M>NC．M＝N D．不确定解析：选B由题意得M－N＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)·(a2－1)>0，故M>N2．若m＜0，n＞0且m＋n＜0，则下列不等式中成立的是()A．－n＜m＜n＜－m B．－n＜m＜－m＜nC．m＜－n＜－m＜n D．m＜－n＜n＜－m解析：选D法一：(取特殊值法)令m＝－3，n＝2分别代入各选项检验即可．法二：m＋n＜0⇒m＜－n⇒n＜－m，又由于m＜0＜n，故m＜－n＜n＜－m成立．3．“1≤x≤4”是“1≤x2≤16”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A由1≤x≤4可得1≤x2≤16，但由1≤x2≤16可得1≤x≤4或－4≤x≤－1，所以“1≤x≤4”是“1≤x2≤16”的充分不必要条件．4．已知0＜a＜eq\f(1,b)，且M＝eq\f(1,1＋a)＋eq\f(1,1＋b)，N＝eq\f(a,1＋a)＋eq\f(b,1＋b)，则M、N的大小关系是()A．M＞N B．M＜NC．M＝N D．不能确定解析：选A∵0＜a＜eq\f(1,b)，∴1＋a＞0,1＋b＞0,1－ab＞0，∴M－N＝eq\f(1－a,1＋a)＋eq\f(1－b,1＋b)＝eq\f(2－2ab,1＋a1＋b)＞0.5．若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则下列结论不正确的是()A．a2<b2 B．ab<b2C．a＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b|解析：选D∵eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，∴0>a>b.∴a2<b2，ab<b2，a＋b<0，|a|＋|b|＝|a＋b|.6．设a，b是非零实数，若a<b，则下列不等式成立的是()A．a2<b2 B．ab2<a2bC.eq\f(1,ab2)<eq\f(1,a2b) D.eq\f(b,a)<eq\f(a,b)解析：选C当a<0时，a2<b2不一定成立，故A错．因为ab2－a2b＝ab(b－a)，b－a>0，ab符号不确定，所以ab2与a2b的大小不能确定，故B错．因为eq\f(1,ab2)－eq\f(1,a2b)＝eq\f(a－b,a2b2)<0，所以eq\f(1,ab2)<eq\f(1,a2b)，故C正确．D项中eq\f(b,a)与eq\f(a,b)的大小不能确定．7．若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是________．解析：∵－4＜β＜2，∴0≤|β|＜4.∴－4＜－|β|≤0.∴－3＜α－|β|＜3.答案：(－3,3)8．(·深圳模拟)定义a*b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a＜b，,b，a≥b.))已知a＝30.3，b＝0.33，c＝log30.3，则(a*b)*c＝________.(结果用a，b，c表示)解析：∵log30.3＜0＜0.33＜1＜30.3，∴c＜b＜a，∴(a*b)*c＝b*c＝c.答案：c9．已知a＋b＞0，则eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)与eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的大小关系是________．解析：eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(a－b,b2)＋eq\f(b－a,a2)＝(a－b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)－\f(1,a2)))＝eq\f(a＋ba－b2,a2b2).∵a＋b＞0，(a－b)2≥0，∴eq\f(a＋ba－b2,a2b2)≥0.∴eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b).答案：eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)10．若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0.求证：eq\f(e,a－c2)＞eq\f(e,b－d2).证明：∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.∴0＜eq\f(1,a－c2)＜eq\f(1,b－d2).又∵e＜0，∴eq\f(e,a－c2)＞eq\f(e,b－d2).11．已知b＞a＞0，x＞y＞0，求证：eq\f(x,x＋a)＞eq\f(y,y＋b).证明：eq\f(x,x＋a)－eq\f(y,y＋b)＝eq\f(xy＋b－yx＋a,x＋ay＋b)＝eq\f(bx－ay,x＋ay＋b).∵b＞a＞0，x＞y＞0，∴bx＞ay，x＋a＞0，y＋b＞0，∴eq\f(bx－ay,x＋ay＋b)＞0，∴eq\f(x,x＋a)＞eq\f(y,y＋b).12．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(1)＝0，且a＞b＞c，求eq\f(c,a)的取值范围．解：∵f(1)＝0，∴a＋b＋c＝0，∴b＝－(a＋c)．又a＞b＞c，∴a＞－(a＋c)＞c，且a＞0，c＜0，∴1＞－eq\f(a＋c,a)＞eq\f(c,a)，即1＞－1－eq\f(c,a)＞eq\f(c,a).∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2c,a)＜－1，,\f(c,a)＞－2，))解得－2＜eq\f(c,a)＜－eq\f(1,2).1．已知a、b为实数，则“a＞b＞1”是“eq\f(1,a－1)＜eq\f(1,b－1)”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A由a＞b＞1⇒a－1＞b－1＞0⇒eq\f(1,a－1)＜eq\f(1,b－1)，当a＝0，b＝2时，eq\f(1,a－1)＜eq\f(1,b－1)，∴eq\f(1,a－1)＜eq\f(1,b－1)⇒/a＞b＞1，故选A.2．(·洛阳模拟)若－1＜a＜b＜1，－2＜c＜3则(a－b)·c的取值范围是________．解析：∵－1＜a＜b＜1，∴－2＜a－b＜0，∴2＞－(a－b)＞0.当－2＜c＜0时，2＞－c＞0，∴4＞(－c)[－(a－b)]＞0，即4＞c·(a－b)＞0；当c＝0时，(a－b)·c＝0；当0＜c＜3时，0＜c·[－(a－b)]＜6，∴－6＜(a－b)·c＜0.综上得，当－2＜c＜3时，－6＜(a－b)·c＜4.答案：(－6,4)3．某企业去年年底给全部的800名员工共发放2000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，企业员工每年净增a人．(1)若a＝10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？(2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？解：(1)设从今年起的第x年(今年为第1年)该企业人均发放年终奖为y万元．则y＝eq\f(2000＋60x,800＋ax)(a∈N*,1≤x≤10)．假设会超过3万元，则eq\f(2000＋60x,800＋10x)＞3，解得x＞eq\f(40,3)＞10.所以，10年内该企业的人均年终奖不会超过3万元．(2)设1≤x1＜x2≤10，则f(x2)－f(x1)＝eq\f(2000＋60x2,800＋ax2)－eq\f(2000＋60x1,800＋ax1)＝eq\f(60×800－2000ax2－x1,800＋ax2800＋ax1)＞0，所以60×800－2000a＞0，得a所以，为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过23人．1．已知0＜a＜b，且a＋b＝1，下列不等式成立的是()A．log2a＞0 B．2a－C．2ab＞2 D．log2(ab)＜－2解析：选D由已知，0＜a＜1,0＜b＜1，a－b＜0,0＜ab＜eq\f(1,4)，log2(ab)＜－2.2．若a＞b＞0，则下列不等式中一定成立的是()A．a＋eq\f(1,b)＞b＋eq\f(1,a) B.eq\f(b,a)＞eq\f(b＋1,a＋1)C．a－eq\f(1,b)＞b－eq\f(1,a) D.eq\f(2a＋b,a＋2b)＞eq\f(a,b)解析：选A取a＝2，b＝1，排