大学文科数学第三-四章

第三章变量变化速度与局部改变量

估值问题——导数与微分学之之博，未若知之之要，知之之要，未若行之之实.——朱熹：《朱子语类辑略》

在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了.——恩格斯教学目标：本章目标是介绍导数概念、求导数的方法、微分及其运算。要求理解导数的概念、会求导数与微分、掌握导数与微分的运算法则。了解牛顿的生平事迹和微积分发生与发展简史.教学重点：导数概念、求导方法、微分概念；教学难点：导数概念、微分概念、高阶导数的概念；教学内容

§1函数的局部变化率——导数

§2求导数的方法——法则与公式

§3局部改变量的估值问题——微分及其运算

数学家启示录

两个问题1.求变速直线运动的瞬时速度问题在直线上引入坐标原点0和单位长度设动点于时刻t

在数轴上的位置的坐标为s:如图：一质点沿直线运动，求其在某一时刻的速度考虑质点在时段上的平均速度3.1导数（1）若质点作匀速直线运动，则上述比值恒为一常数（2）若质点作非匀速直线运动，则上述比值与

t有关考虑质点在时段上的平均速度它仅为质点在时刻速度的近似值。，即为质点在时刻的（瞬时）速度。考虑质点在时段上的平均速度若记思考

⑴步骤？⑵数学思想方法？提出问题若的图象是直线，则；若的图象是曲线，则.OXYΔxM0MΔyy0x0x0+ΔxTαβOXYΔxM0MΔyy0x0x0+Δxβ2.曲线的切线问题

点P处的切线割线PQ切线PT切点曲线的切线问题

如图,

如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.极限位置即（第一步为第二步做准备）总结：上面两个现实原型的范畴虽不相同，但从纯数学的角度来考察， 所要解决的问题相同：求一个变量相对于另一个相关变量的变化快慢程度，即变化率问题； 处理问题的思想方法相同；矛盾转化的辨证方法；

数学结构相同：函数改变量与自变量改变之比，当自变量改变量趋于零时的极限.

由这两个具体问题便可抽象出导数的概念。瞬时速度平均速度2：取极限1：化为切线割线2：取极限1：化为存在,则称此极限为函数y=f(x)

在点处的导数,有时也称函数y=f(x)

在点处可导.可记为定义设函数y=f(x)

在点的某一邻域内有定义,如果3.1.1导数的定义或或或（1）导数定义的两种常见形式★（2）关于导数的说明：由此可知：导数的力学意义是变速直线运动物体的瞬时速度；导数的几何意义是曲线切线的斜率.由上知求导数步骤如下：⑴给一个增量，求相应的函数增量⑵求平均变化率⑶求平均变化率的极限，即导数是平均变化率的极限！OXYΔxM0MΔyy0x0x0+ΔxTαβ（图3.2）14/82定义2如果函数在区间内的每一点都可导，则称函数在区间内可导.这时，函数对于区间内每一值都对应着一个确定的导数，称为函数的导函数，记作或其计算公式为显然函数在点处的导数就是导数在处的函数值.

在不致引起混淆的情况下，导函数也简称为导数.是常数是函数变速直线运动的瞬时速度其中，s=f(t)为关于时间t的位置函数

切线的斜率其中，y=f(x)为曲线的方程。由定义求导数步骤:例1

求函数的导数解:(1)求增量:(2)算比值:(3)取极限:

例2解：例3解：例4解：更一般地例如,例5解：例6解：基本初等函数求导公式2.右导数:单侧导数1.左导数:★★(存在且相等），例7解特别地:即导数的几何意义例9解:由导数的几何意义,得切线斜率为所求切线方程为法线方程为解:（1）因为点(1,1)在曲线上，由导数的几何意义,得切线斜率为所求切线方程为例10已知曲线（1）求过点(1,1)的切线方程；（2）确定b

的值，使直线y=3x+b

为曲线的切线；（3）求过点(0,3)的切线方程。例10已知曲线（1）求过点(1,1)的切线方程；（2）确定b

的值，使直线y=3x+b

为曲线的切线；（3）求过点(0,3)的切线方程。解:（2）关键要确定切点。切线方程为例10：已知曲线（1）求过点(1,1)的切线方程；（2）确定b

的值，使直线y=3x+b

为曲线的切线；（3）求过点(0,16)的切线方程。解:（3）注意点(0,16)不在曲线上。切线方程为可导与连续的关系定理凡可导函数都是连续函数.证:0例如,注意:

该定理的逆定理不成立.例11解:

设函数u(x)与v(x)在点x处均可导，则:定理1（一）导数的四则运算法则特别地,如果可得公式3.1.2求导法则特别地,注：法则（1）（2）均可推广到有限多个可导函数的情形例：设u=u(x),v=v(x),w=w(x)在点x处均可导，则解：

例13设解：例12解：即

类似可得例14求y=tanx

的导数解：即类似可得例15

求y=secx

的导数

定理2如果函数在x处可导，而函数y=f(u)在对应的u处可导，那么复合函数在x处可导，且有或对于多次复合的函数，其求导公式类似，此法则也称链导法注：（二）复合函数的导数例17解：解：例16对数求导法观察函数方法:先在方程两边取对数,然后两边分别求导，求出导数.--------对数求导法适用范围:例18解：等式两边取对数得例19这函数的定义域解：两边取对数得两边对x求导得两边取对数得两边对x求导得同理例:20解：等式两边取对数得速度即加速度即引例：变速直线运动3.1.3高阶导数定义若函数的导数可导,或即或类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为n阶导数,或的二阶导数

,记作的导数为依次类推,分别记作则称高阶导数的运算法则都有n阶导数,则(C为常数)莱布尼兹(Leibniz)公式及设函数设求解:依次类推,例21思考:设问可得例22设求解:特别有:解:规定0!=1思考:例23设求

一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由变到（如图），问此薄片的面积改变了多少？引例：3.1.4微分的概念再例如,既容易计算又是较好的近似值问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?定义(微分的实质)由定义知:例24解：基本初等函数的微分公式及微分运算法则求法:

计算函数的导数,乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式2.函数和、差、积、商的微分法则上述公式必须记牢，对以后学习积分学很有好处.3.

设及都可导,则复合函数的微分为复合函数的微分法则由复合函数的微分法则结论：微分形式的不变性注“充分性”已知即在点的可导,则定理:函数在点可微的充要条件是在点处可导,且即法一法二利用微分形式不变性例25求下列函数的微分(2)解：解：例26解例27例27解：在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.（1）罗尔定理

若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且在区间端点处的函数值相等，即则在开区间(a,b)内至少存在一点

使得3.2用导数研究函数3.2.1中值定理证：上连续，故在[a,b]上取得最大值和最小值.于是,有两种可能情形：(1)

f(x)在区间[a,b]上恒为常数．

因此(2)那么，在开因此注意1)当定理条件不全具备时,结论不一定成立.例如2)满足定理中三个条件的函数f(x),函数

必定有零点，零点的个数可能有多个．3)罗尔定理的几何意义：

函数f(x)在闭区间[a,b]上满足定理条件时,在(a,b)内的曲例28

验证罗尔定理对函数线弧f(x)上必存在水平切线．解：

函数显然在上连续，

而

例29分析利用中值定理证明存在点满足等式,通常的方法用还原法:即:改写结论为把等式还原成x的方程.因此，函数g(x)在区间

[0,a]上满足罗尔定理的三个条件，则至少有点使即

也即

证

令

设g(x)=0的正根为x=a,则（2）拉格朗日中值定理

若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则在开区间(a,b)内至少存在一点

使得证:

如图，直线AB的方程为构造辅助函数由罗尔定理，则在开区间(a,b)即所以注

1)在拉格朗日中值定理中，若加上条件

则结论变成因此，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形．2)拉格朗日中值定理的几何意义：有不垂直于x轴的切线，那么曲线弧

上至少有一点C,使曲线在点C处的切线平行弦

AB.为拉格朗日中值公式．显然，公式对b<a也成立.拉格朗日中值定理的有限增量形式:若令则可记称则可写成

它精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数

也称有限增量公式．

在这区间内某点处的导数之间的关系.因此,拉格朗

日中值定理也称有限增量定理.推论1若函数在区间I上满足则在

I

上必为常数.证：

在I

上任取两点格朗日中值公式,得由的任意性知,在

I

上为常数.因此有推论2

如果函数f(x)和g(x)在区间I上可导，

且则在区间I上其中C为任意常数.证：由于则由推论1，可知

（3）柯西中值定理（补充）如果函数f(x)和F(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且

则在开区间(a,b)内至少存在一点使得

洛必达法则不定式求法（未定式求法）1.型不定式求法

定理（洛比达法则）设函数在开区间内有定义。如果注意：洛比达法则只是“充分条件”。洛必达法则例2.4.10

求极限解满足洛比达法则的条件，运用洛比达法则，有洛必达法则例2.4.11

求极限解由洛比达法则，洛必达法则2.型不定式求法

型不定式求法可用于型不定式定理（洛比达法则）设函数在开区间内有定义。如果洛必达法则例2.4.12

求极限解由洛比达法则洛必达法则例2.4.13

求极限解由洛比达法则洛必达法则应用洛比达法则注意以下几点：注1.应用洛比达公式前需判断是否为或型不定式，否则不可用此法则。例2.4.14这不是不定式，若用洛比达法则,就会出错:洛必达法则注2.在不存在的情况下，未必不存在。例2.4.15极限是存在的。但若使用洛比达法则，则有极限却不存在。洛必达法则注3.每次使用洛比达法则前，要尽量简化式子，特别是要把极限的已知部分分离出来。例2.4.16

求极限解洛必达法则3.与型不定式求法

与型不定式均需变形为或型后再用洛比达法则计算。例2.4.17

求极限记住！

解洛必达法则

型有以下几种形式：前两种有：故不是不定式。其中是不定式的有两种类型：型与

型。洛必达法则例2.4.18

求极限解原式洛必达法则例2.4.19

求极限解（略讲）洛必达法则例2.4.20

求极限解函数单调性的充分条件推广：定理13.2.2函数的单调性确定某个函数的单调性的一般步骤是：(1)确定函数的定义域；(2)求出使f

(x)=0和f

(x)不存在的点，并以这些点为分界点,将定义域分为若干个子区间；(3)确定

f

(x)在各个子区间内的符号，从而判定出f(x)的单调性.例

30求函数f(x)=x3-3x的单调区间．解：(1)该函数的定义区间为(,)；(2)

f

(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)，

令f

(x)=0，得

x=-1，x=1，它们将定义区间分为三个子区间：(,-1)，(-1,1)，(1,

)；(3)因为当x

(,-1)时，f(x)>

0，x

(1,1)时，f

(x)<0，x

(1,+

)时f

(x)>0，所以(,-1)和(1,

)是

f(x)的递增区间，(-1,1)是f(x)的递减区间.为简便直观起见，我们通常将上述讨论归纳为如下的表格：x(,-1)(-1,1)

(1,)

f

(x)

-

f(x)其中箭头，分别分表示函数在指定区间递增和递减.解：(1)该函数的定义区间为(

，)；.325)1(32)()2(313231xxxxxxf-=+-=-例31

此外，显然x=0

为f(x)的不可导点，

分定义区间为三个子区间(,0)，亦可如例

1那样，以下表表示f(x)的单调性：x(

,0)f(x)－

f(x)3.2.3函数的极值设函数y=f(x)在[a,b]上连续.若对于一点存在它的某一邻域使得则称是函数f(x)的极大值,是f(x)的极大值点.则称是函数f(x)的极小值,是f(x)的极小值点.切线是水平的（平行于X轴）OOxxyy

费马定理证明:几何解释:换句话说，若函数f(x)在其极值点处可微，则在该点处必存在唯一的一条平行于x轴的切线。注意：当f(x)可微时，条件“f´(x)=0”只是f(x)存在极值的必要条件，而非充分条件。即导数等于零的点不一定都是极值点。定理(函数极值的第一充分条件)求极值的步骤:(不是极值点情形)例32解:列表讨论极大值极小值

定理

(

极值的第二充分条件

)

(1)当

f

(x0)>0时，则

x0为极小值点，f(x0)为极小值；

(2)当

f

(x0)<0时，则

x0为极大值点，f(x0)为极大值.若

f

(x0)=0，且

f

(x0)

0，

则

x0是函数的极值点，f(x0)为函数的极值，并且

设函数

y=f(x)在

x0处的二阶导数存在，求函数极值的一般步骤是：(1)确定定义域，并求出所给函数的全部驻点；

(2)考察函数的二阶导数在驻点处的符号，确定极值点；(3)求出极值点处的函数值，得到极值.例

33求函数f(x)=x4

–

10x2+5

的极值.因为解:

(1)定义域为(-

,

+

).

f

(x)=4x3

–20x=

4x(x2-5)，

所以，由f

(x)=0可得该函数的三个驻点所以有则：(2)因为

f

(x)=12x2

–20，(3)计算极值：求函数的最值(1)求驻点和不可导点(2)求区间端点及驻点和不可导点的函数值设f(x)在闭区间[a,b]上连续，求函数最值的步骤：(3)比较大小,最大者就是最大值,最小者就是最小值;比较这些值的大小可得例34证:将所证问题转化为求函数在区间[0，1]上的最大值和最小值.将区间端点与驻点处的函数值进行比较：例35求证例36要做一个容积为V0的圆柱形储油罐，怎样设计才能使用材料最省？解:

要使用料最少，就是要使故储油罐的表面积S为：xyh储油罐的表面积最小.令S′=0,得唯一的驻点处取得极小值，由于只有一个极值，所以也为最小值.这时储油罐的高为所以，当储油罐的高和底面直径相等时，所用材料最省.问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方3.2.4凹凸性与拐点定义

设在区间内可导，如果曲线上的每一点处的切线都位于曲线的上方(下方)，则称曲线在内是凸的(凹的).定理(凹凸判定法)(1)在

内则