八年级数学下册第17章教案 (一)

第十七章勾股定理

17.1勾股定理（1）

【教学目标】

知识与技能

了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股淀理。

过程与方法

培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

情感、态度与价值观

介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发爱国热情，勤奋学习。

【教学重难点】

重点：勾股定理的内容及证明。

难点：勾股定理的证明。

【导学过程】

【情景导入】

除地球外，别的星球上有没有生命呢？

自古以来，人类就不断发出这样的疑问，特别是近年来不断出现的UFO事件，更让人们

相信有外星人的说法，如果真的有，那我们怎么和他们交流呢？

我国著名数学家华罗庚在多年前曾提出这样的设想：向太空发射一种图形，因为这种图

形在几千年前就已经被人类所认识，如果他们是“文明人”，也必定认识这种图形.

那么这到底是一种什么样的图形呢？它真的有那么大的魅力吗？

下面就让我们通过时光隧道，和古希腊的数.学家毕达哥拉斯一起来研究这种图形吧。

【新知探究】

探究一、：

1正方形A、B、C的面积有什么数量关系？

2以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的大正方形的面积

之间有什么关系？

探究二、(1)那么一般的直角三角形是否也有这样的特点呢?

(2)在方格纸上画出一个直角边分别为3和4的直角三角形，并以其三边.为边长向外作三个

正方形，并分别计算其面积。

(3)通过三个正方形的面积关系，你能说明直角三角形是否具有上述。结论吗？

(4)对于更一般的情形将如何验证呢？

方法一；

如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证明。

S正方形==

方法二；

已知：在△ABC中，ZC=90°,/A、ZB,NC的对边为a、b、c«

求证：a2+b2=c2»

分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形

的面积相等。

左边S=____

右边S=—

左边和右边面积相等,

ab

ab

即

化简可得。

方法三：

以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于，ab.

2

把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.

,/RtAEAD丝RtACBE,

\ZADE=ZBEC.

ZAED+ZADE=90°,

\ZAED+ZBEC=90".

ZDEC=180°-90°=90°.

,•△DEC是一个等腰直角三角形,

它的面积等于Lc)

2

又：ZDAE=90°,ZEBC=90°,

AD/7BC.

，ABCD.是一个直角梯形，它的面积等于一

【知识梳理】

勾股定理的具体内容是（）。

【随堂练习】

1.如图，直角^ABC的主要性质是：ZC=90°,（用几何语言表示）

⑴两锐角之间的关系：;

（2）若NB=30°,则/B的对边和斜边：；

（3）三边之间的关系：___________________

2.在RtZXABC中，ZC=90°

①若a=5,b=12,贝!Jc二；

②若a=15,c=25,则b=；

③若c=61,b=60,则a=；

④若a:b=3*4fc=10则SRLBC=0

3.已知在RJ^ABC中，NB=90°,a、b、c是AABC的三边，则

（l）c=o（已知a、b,求c）

（2）a=o（已知b、c,求a）

（3）b=o（已矢IIa、c,求b）

4.直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为—

5.已知一个Rt△的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是（）

A、25B、14C、7D、7或25

6.等腰三角形底边上的高为8,周长为32,「则三角形的面积为（）

A、56B、48C、40D、32

第十七章勾股定理

17.1勾股定理(2)

【教学目标】

知识与技能

会用勾股定理解决简单的实际问题。

过程与方法

经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法。

情感、态度与价值观

树立数形结合的思想。

【教学重难点】

重点：勾股定理的应用。

难点：实际问题向数学问题的转化。

【导学过程】

L知识回顾】

1.①在解决问题时，.每个直角三角形需知道几个条件？

②直角三角形中哪条边最长？

2.在长方形或中，宽AB为1m,长BC为20，求"长.

(1)在长方形/腼中4从BC、4c大小关系？

【新知探究】

探究一、

例1、一个门框的尺寸如图1所示.

①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？

②若薄木板长3米，宽1.5米呢？

③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？

图1

探究二、

例2、如图2,一个3米长的梯子45,斜着靠在竖直的墙4。上，这时4。的距离为2.5米.

①求梯子的底端6距墙角。多少米？

②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C

算一算，底端滑动的距离近似值(结果保留两位小数).

图2

【知识梳理】

(h)利用勾股定理解决实际问题有.哪些基本步骤i

.(2)你觉得解决实际问题的难点在哪里？你有什力，法？利:理解决实际

问题的注意点是什么？请与大家交流.

(3)本节课体现出哪些数学思想方法，都在什么情况下运用？

【随堂练习】

1.书上P26练习

2.小明和爸爸妈妈.十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树,

这棵红叶树的离地面的高度是米。

3.如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是米，则这两株树之间的垂直距离是

米，水平离是米。

1题图2题图3题图

第十七章勾股定理

17.1勾股定理(3)

【教学目标】

知识与技能

能利用勾股定理，根据已知直角三角形的两边长求第三条边长；并在数轴上表示无理数。

过程与方法

体会数与形的密切联系，增强应用意识，提高运用勾股定理解决问题的能力。

情感、态度与价值观

培养数形结合的数学思想，并积极参与交流，并积极发表意见。

【教学重难点】

，重点：利用勾股定理在数轴上表示无理数。

难点：确定以无理数为斜边的直角三角形的两条直角边长。

【导学过程】

【情景导入】

在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角

形全等.学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？

【新知探究】

探究一、已知：如图，在和林△/8C中，N俏

NC=90",AB=A,B,AC=AC.

求证：之BC.

CB小B

探究二、画图

1.我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示JT5的

点吗？

2.分析：如果能画出长为的线段，就能在数轴上画出表示的点。容易知道，长

为、历的线段是两条直角边都为的直角边.的斜边。长为而的线段能是直角边为正

整数的直角三角形的斜边吗？

利用勾股定理，可以发现，长为旧的线段是直角边为正整数、的直角三角

形的斜边。

3.作法：在数轴上找到点A,使0A=,作直线/垂直于0A,在/上取点B,使AB=,

以原点0为圆心，以0B为半径作弧，弧与数.轴的交点C即为表示旧的点。

4.在数轴上画出表示g的点？(尺规作图)

【知识梳理】

(1)勾股定理有哪些方面的应用，本节课学习了勾股定理哪几方面的应用？

(2)你能说说勾股定理求线段长的基本思路吗？

(3)本节课体现出哪些数学思想方法？

【随堂练习】

1.填空题

⑴在RtAABC,ZC=90°,a=8,b=15,贝Ic=。

⑵.在RtZ\ABC,ZB=90°,a=3,b=4,则c=。

⑶在RtZ\ABC,ZC=90",c=10,a：b=3：4,贝Ua=,b=。

(4)已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm,,则第三边长为

2.己知等腰三角形腰长是10,底边长是16,求这个等腰三角形面积。

C

△

3.已知直角三角形的两边长分别为5和12,求第三边。

AD

4.己，知：如图，等边4ABC的边长是6cm。

⑴求等边AABC的高。⑵求SAAK。

第十七章勾股定理

17.2勾股定理的逆定理（1）

【教学目标】

知识与技能

体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。

过程与方法

探究勾股定理的逆定理的证明方法。

情感、态度与价值观

理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。

【教学重难点】

重点：掌握勾股定理的逆定理及简单应用。

难点：勾股定理的逆定理的证明。

【导学过程】

L知识回顾】

回忆勾股定理的内容.

题设（条件）：________________

结论：a2+Z?2=c2

【新知探究】

探究一、据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13.个结，然

后以3个结间距，4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中

一个角便是直角.你认为结论正确吗？

1.如果三角形的三边分别为3,4,5,这些数满足关系：32+42=52,围成的三角形是直角三

角形.

2.动手画一画：下列各组数中的两数平方和等于第三.数的平方，分别以这些数为边长画

出三角形（单位：cm）,它们是直角三角形吗？

①25,6,6.5；.②4,7.5,8.5.

探究二、如图17.2-2若△力回的三边长〃、b、C满足a?+b2=C2,试证明△4%'是

直角三角形，请简要地写出证明过程.

1.此定理与勾股定理之间有怎样的关系？

(1)什么叫互为逆命题

(2)什么叫互为逆定理

(3)任何一个命题都有，但任何一个定理未必都有

2.说出下列命题的逆命题。这些命题的逆命题成立吗？

两直线平行，内错角相等；

如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；

全等三角形的对应角相等；

角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

探究三、例1:判断由线段。、8、。组成的三角形是不是直角三角形：

(1)。=15,人=8,。=17；(2)Q=13,/?=14,。=15.

(3)〃=71=24,。=25；(4)Q=1.5,b=2,c=2.5；

2.如果三条线段长a,b,c满足a?=c2-b2,这三条线段组成的三角形是不是直角三角

形？为什么？

3.A,B,C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向,C地在B地的什么方向？

4.思考：我们知道3、4、5是一组勾股数，那么3k、4k、5k(k是正整数)也是一组勾股数

吗？一般地，如果a、b、c是一组勾股数，那么ak、bk、ck(k是正整数)也是一组勾股数

吗？请写出你所知道的几组勾股数。

【知识梳理】

(1)勾股定理的逆定理的内容是什么？它有什么作用？

(2)本节课我们学习了原命题，逆命题等知识，你能说出它们之间的关系吗？

(3)在探究勾股定理的逆定理的过程中，我们经历了哪些过程？

【随堂练习】

1.下列各命题都成立，写出它们的逆命题，这些逆命题成立吗？

(1)内错角相等，两直线平行；

(2)对顶角相等；

(3)全等三角形的对应角相等；

(4)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等.

2.以下列数组为三角形的边长：(1)5,12,13；(2)10,12,13；(3)7,24,25；(4)

6,8,10,其中能构成直角三角形的有()

A.4组B.3组C.2组D.1组

3.五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形，如图,

其中正确的是（）

A.如果三角形三个角的度数比是3：4：5,那么这个三角形是直角三角形

B.如果直角三角形两直角边的长分别为a和b,那么斜边的长为才+1?

C.若三角形三边长的比为1：2：3,则这个三角形是直角三角形

D..如果直角三角形两直角边分别为a和b,斜边为c,那么斜边上的高h的长为一

C

第十七章勾股定理

17.2勾股定理的逆定理（2）

【教学目标】

知识与技能

1.进一步掌握勾股定理的逆定理，

2能应用勾股定理的逆定理解决简单的实际问题

过程与方法

在不同条件、不同环境中反复运用定理，达到熟练使用，灵活运用的程度。

情感、态度与价值观

培养数学思维以及合情推理意识，感悟勾股定理和逆定理的应用价值。

【教学重难点】

重点：勾股定理的逆定理及其应用

难点：勾股定理的逆定理的应用

【导学过程】

【知识回顾】

回忆勾股定理的逆定理

【新知探究】

探究一、例1.“远航”号•、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远

航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相

距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

探究二、

例2.如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下

土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，

DA=12米,又已知/B=90°o

【知识梳理】

通过本节课的学习，我们更加明确了勾股定理及其逆定理的用途k\

及用法，你能说说吗？\

［随堂练习］

1.小强在操场上向东走80m后，又走了60m,再走100m回到原地。A

小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向

是O