2018年高考数学 13 概率与统计教学案

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专题13概率与统计

[2018年高考考纲解读】

高考对本内容的考查主要有：

(1)抽样方法的选择、与样本容量相关的计算，尤其是分层抽样中的相关计算，A级要求.

(2)图表中的直方图、茎叶图都可以作为考查点，尤其是直方图更是考查的热点，A级要求.

(3)特征数中的方差、标准差计算都是考查的热点，B级要求.

(4)随机事件的概率计算，通常以古典概型、几何概型的形式出现，B级要求.

【重点、考点剖析】

1.概率问题

(1)求某些较复杂的概率问题时，通常有两种方法：一是将其分解为若干个彼此互斥的事件的和，然后利用

概率加法公式求其值；二是求此事件A的对立事件7的概率，然后利用/⑷=1—巴，)可得解；

(2)用列举法把古典概型试验的基本事件一一列出来，然后再求出事件A中的基本事件，利用公式P(A)=，

出事件月的概率，这是一个形象、直观的好办法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复，不遗漏；

(3)求几何概型的概率，最关键的一步是求事件/所包含的基本事件所占据区域的测度，这里需要解析几何

的知识，而最困难的地方是找出基本事件的约束条件.

2.统计问题

(1)统计主要是对数据的处理，为了保证统计的客观和公正，抽样是统计的必要和重要环节，抽样的方法有

三：简单随机抽样、系统抽样和分层抽样；

(2)用样本频率分布来估计总体分布一节的重点是：频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布

估计总体分布，考点是：频率分布表和频率分布直方图的理解及应用；

(3)用茎叶图优点是原有信息不会抹掉，能够展开数据发布情况，但当样本数据较多或数据位数较多时，茎

叶图就显得不太方便了；

(4)两个变量的相关关系中，主要能作出散点图，了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性或归方程系数

或公式建立线性回归方程.

【题型示例】

题型一古典概型问题

例1、[2017山东，理8】从分别标有1,2,•••,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张.则

抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是

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【答案】c

【解析】标有1,2,9的9张卡片中，标奇数的有5张，标偶数的有4张，所以抽到的2张卡片上

的数奇偶性不同的概率是上上=2，选C.

9x89

【变式探究】(2015•江苏，5)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，

从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为.

115

解析这两只球颜色相同的概率为〜故两只球颜色不同的概率为1一工=".

666

,,一15

答案R

6

【变式探究】(2015•北京，16)4,6两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录

如下：

力组：10,11,12,13,14,15,16

6组：12,13,15,16,17,14,a

假设所有病人的康复时间互相独立，从力，6两组随机各选1人，/组选出的人记为甲，6组选出的人记为

乙.

(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；

(2)如果a=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；

(3)当a为何值时，A,8两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)

解设事件4为“甲是4组的第/个人”，事件8为“乙是6组的第『个人"，/=1,2,…，7.由题意可

知人4)=。(8)=；,7=1,2,…，7.

⑴由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是4组的第5人，或者第6人，或者第7人”，

所以甲的康复时间不少于14天的概率是

3

产(4U4U4)=夕(4)+*4)+?(4)=-

(2)设事件，为“甲的康复时间比乙的康复时间长”.由题意知，

C-A\B\UA：,BtUUUA3B2U4民UU4氏U4民UAiR；.

因此P9=P(A®)+尸(45)+-(4加+尸(4㈤+尸(4氏)+-(4㈤+尸(4㈤+尸(4笈)+尸(4区)+2(4层)=

100(4合)=100(4)P⑻

(3)a=ll或a=18.

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【感悟提升】

1.古典概型的求解思路

(1)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列组合的相关知识.

(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求

法与基本事件总数的求法的一致性.

小、娟旭八TW小勿力中所含基本事件数一山

⑶根据Z.式尸(冷一］一基本事件总数求出•

【变式探究】某班级的某一小组有6位学生，其中4位男生，2位女生，现从中选取2位学生参加班级志愿

者小组，求下列事件的概率：

(1)选取的2位学生都是男生；

(2)选取的2位学生一位是男生，另一位是女生.

破题切入点先求出任取2位学生的基本事件的总数，然后分别求出所求的两个事件含有的基本事件数，

再利用古典概型概率公式求解.

【解析】设4位男生的编号分别为1,2,3,4,2位女生的编号分别为5,6.从6位学生中任取2位学生的所有

可能结果为(L2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(3⑼，(4,5),(4⑼，(5,6),

共15种.

从6位学生中任取2位学生，所取的2位全是男生的方法数，即从4位男生中任取2个的方法数，共有6

种，即(1,2),(L3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4).

所以选取的2位学生全是男生的概率为巧*=|.

⑵从6位学生中任取2位，其中一位是男生，而另一位是女生，其取法包括(L5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),

(3,6),(4,5),(4,6),共8种.

所以选取的2位学生一位是男生，另一位是女生的概率为巧二卷.

题型二几何概型问题

例2、［2017课标1,理】如图，正方形4物内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分

和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

Tl

A.B.

4I

j_

C.

24

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【答案】B

【解析】设正方形边长为。，则圆的半径为2,正方形的面积为。2,圆的面积为名.由图形的对称性可

知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分

1如2

的概率是。一=1，选B.

a8

【变式探究】（2016•课标I,4,易）某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30

之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）

1123

A.-B.-C.-D.~

J乙J勺

【答案】B

【解析】由题意知，小明在7：50至8：30之间到达发车站，故他只能乘坐8：00或8：30发的车，所以

他等车时间不超过10分钟的概率—咛泮=/

【变式探究】（2015•陕西，11）设复数z=（x—l）+yi（x,yGR）,若|z|Wl,则的概率为（）

3,111111,1

Aq+而C-2-TD-2+V

解析由|z|Wl可得（x—l）2+/Wl,表示以（1,0）为圆心，半径为1的圆及其内部，满足的部分为

如图阴影所示，

由几何概型概率公式可得所求概率为:

"一IIXI2

_1__1_

=厂方.

答案B

xWO,

x+Z1，

【变式探究】（2014•湖北）由不等式组确定的平面区域记为0,不等式组，

x+y2-2

y—x—2W0

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确定的平面区域记为.在0中随机取一点，则该点恰好在Q内的概率为（）

1137

A-8B-4C-4D-8

【答案】D

【解析】由题意作图，如图所示，2的面积为^X2X2=2,图中阴影部分的面积为2-2X乎X乎=[,则

7

【感悟提升】几何概型的求解思路

概率中的几何概型是一个重要内容，高考时经常考，题目不难，往往利用数形结合的方法求解，常考查几

何图形的面积、体积等，有时要用到转化的思想和对立事件求解概率的思维方法.求概率时，关键是试验

的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.其

解析为：

（1）判断所求几何概型的类型；（2）分别确定相关的区域长度（面积与体积）；（3）代入公式计算.

【变式探究】节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在

通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它

们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（）

11

AqB.-

37

C—D-

48

答案C

解析设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为腔y,x、y相互独立，由题意可知

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'OWW4

<0Wj<4,如图所示.

」x—y|W2

SiE方形2S4ABe

.••两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为尸(5一WW2)=

SE方形

4X4-2x1x2X2

乙1Li3

4><4=164,

题型三、抽样方法

例3、【2017天津，理16】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口

遇到红灯的概率分别为?」.

234

(I)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望;

(II)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.

【答案】(I)见解析；(H)—.

48

【解析】

(I)解：随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.

111/1X1111

P(X=1)=2T-3x1——+1——X—x1——+1——xl1——lx­=

34J2)3、4,2)3424

P(X=2)=(l-i、1I、11

X—X—+—xl1——X—+—X—x一,

73423；4234

=3)=lx-xl=—

'723424

所以，随机变量X的分布列为

X0123

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]_111

P

424424

随机变量X的数学期望E（X）=0X‘+1XU+2X'+3X-!-=U.

V742442412

（H）解：设y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为

p(y+z=i)=p(y=o,z=i)+p(y=i,z=o)=p(y=o)p(z=i)+p(y=i)p(z=o)

所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为一.

48

【变式探究】（2016•山东，3,易）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图

所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20）,[20,22.5）,

[22.5,25）,[25,27.5）,[27.5,30].根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的

人数是（）

A.56B.60C.120D.140

【答案】D

【解析】由频率分布直方图可知，每周的自习时间不少于22.5小时的频率为（0.16+0.08+0.04）X2.5=

0.7,所以每周的自习时间不少于22.5小时的人数是200X0.7=140.

【变式探究】（2015•陕西，2）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所

示，则该校女教师的人数为（）

(初中部)(高中部)

A.167B.137C.123D.93

解析由题干扇形统计图可得该校女教师人数为：110义70%+150义（1-60给=137.故选艮

答案B

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【变式探究】（1）（2014•湖南）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽

样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为Pl，P2,囚，则（）

A.P1=P2<P3B.P2=P3<Pl

C.P1=P3<P2D.P）=P2=P3

（2）（2014•广东）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该地区中小学生的近

视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）

①②

A.200,20B.100,20

C.200,10D.100,10

【命题意图】（D本题主要考查统计中的抽样及其概念，意在考查考生对抽样方法概念的理解.

（2）本题主要考查样本容量和分层抽样的概念及计算.要完成本题的计算需要从扇形统计图和条形统计图中

读出相关数据并进行计算，意在考查考生的数据处理能力.

【答案】⑴。（2）A

【解析】（1）根据抽样方法的概念可知，简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种抽样，每个个体被抽到的

概率都是P=3，故Pi=Pi=Pi,故选A

N

（2）在扇形统计图中，根据抽取的比例计算样本容量，根据条形统计图计算抽取的高中生近视人数.

该地区中小学生总人数为3500+2000+4500=10000,则样本容量为10000X2%=200,其中抽取的高

中生近视人数为2000X2%X50%=20,故选4

【感悟提升】在解题时注意各种抽样方法的特点及适用范围，利用各种抽样都是等概率抽样.

（1）在系统抽样的过程中，要注意分段间隔，需要抽取几个个体，样本就需要分成几个组，则分段间隔即为

N

一（N为样本容量），首先确定在第一组中抽取的个体的号码数，再从后面的每组中按规则抽取每个个体.

n

（2）在分层抽样中，要求各层在样本中和总体中所占比例相同.

【变式探究】从编号为001,002,…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编

号最小的两个编号分别为007,032,则样本中最大的编号应该为（）

A.480B.481C.482D.483

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【答案】C

【解析】因为系统抽样是等距抽样，且抽样的样本中最小两个编号的差为25,所以7+（k—l）•25W500,

解得kW管，即k取1,2,3,…，20,所以样本中最大的编号为7+（20—1）•25=482.

£0

题型四频率分布直方图与茎叶图

例4.【2017课标H,理18】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机

抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率分布直方图如下:

（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的

箱产量不低于50kg”，估计A的概率;

(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:

箱产量＜50kg箱产量250kg

旧养殖法

新养殖法

(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）

P(K2>k]

附:0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

2_n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(。+d)

【答案】(1)0.4092；(2)见解析；(3)52.35(kg).

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【解析】（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于

50kg”

由题意知P（A）=P（8C）=P（8）P（C）

旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为

（0.040+0.034+0.024+0.014+0.012）x5=0.62

故P（B）的估计值为0.62

新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为

(0.068+0.046+0.010+0.008)x5=0.66

故P（C）的估计值为0.66

因此，事件A的概率估计值为0.62x0.66=0.4092

（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表

箱产量<50kg箱产量250kg

旧养殖法6238

新养殖法3466

200x(62x66-34x38)、6705

100x100x96x104

由于15.705>6.635

故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.

（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为

(0.(X)4+0.020+().()44)x5=0.34<0.5,

箱产量低于55kg的直方图面积为

(0.004+0.020+0.044+0.068)x5=0.68>0.5

故新养殖法箱产量的中位数的估计值为

__0.5-0.34___、

50+----------丈52.35(kg).

0.068

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【变式探究】（2015•安徽，6）若样本数据小，毛，…，小。的标准差为8,则数据2小一1,2x2-1,2%10

一1的标准差为()

A.8B.15C.16D.32

解析法一由题意知，“1+期+…+xio=l(k,

51=@一%尸+《无一工了+…+(和一力。，

_1

则y=疝(如T)+(2X2T)+…+(2X10-1)]

1_

==

n[2(xi4-X24-...4-X10)—rt]2x-1,

所以Si=[<2^-1-j)2+(2xj-1-y)2+--+(2^o-1-j)2]

-x222

~K^i)+(^2-x)4--+(^0-x)]=2si,故选C.

答案C

【变式探究】(2015•湖南，12)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示:

130034566889

1411122233445556678

150122333

若将运动员按成绩由好到差编为1〜35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间［139,151］

上的运动员人数是.

解析由题意知，将1〜35号分成7组，每组5名运动员，落在区间［139,151］的运动员共有4组，故由

系统抽样法知，共抽取4名.

答案4

题型五变量间的相关关系及统计案例

例5.（2015•新课标全国II,31）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形

图.以下结论不正确的是（）

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2700

2600

2500

2400

2300

2200

2100

2000

]900

2004年2005年2006年2007年2008年20（冷年2010年2011年2012年2013年

A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著

B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效

C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势

D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

解析从2006年，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比校，得到2008年二氧化硫排放量与2007年排

放蚩的差最大，A选项正确；

2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多，B选项正确；

虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减趋势，即C选项正确;自2006

年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D选项错误，故选D.

答案D

【变式探究】（2015•福建，4）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家

庭，得到如下统计数据表：

收入x（万元）8.28.610.011.311.9

支出y（万元）6.27.58.08.59.8

AAAAAA

根据上表可得回归直线方程y=bx+a,其中b=0.76,a=y—bx.据此估计，该社区一户年收入为

15万元家庭的年支出为（）

A.11.4万元B.11.8万元

C.12.0万元D.12.2万元

AAA

解析回归直线一定过样本点中心（10,8）,:8=0.76,I.。=0.4,由=0.76x+0.4得当x=15万元

A

时，=11.8万元.故选B.

答案B

【举一反三】（2015•新课标全国I,19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费

x（单位：千元）对年销售量八单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费£和年销售量

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切(/=1,2,…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

心一........—_.

343638404244464850525456

年宣传费/千元

8