新教材2024年秋高中数学第3章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念第1课时函数的概念一学生用书无答案新人教A版必修第一册

3.1.1函数的概念第1课时函数的概念(一)1．在初中用变量之间的依靠关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念．(数学抽象)2．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．(数学抽象)3．了解构成函数的要素，能求简洁函数的定义域．(数学运算)假如将2005年某国创新指数记为100，近些年来该国创新指数的状况如下表所示．年度201220132014201520162017202420242024某国创新指数148.2152.6158.2171.5189.5196.3212.0228.3242.6以y表示年度值，i表示该国创新指数的取值，则i是y的函数吗？假如是，这个函数用数学符号可以怎样表示？学问点函数的概念定义一般地，设A，B是非空的______，假如对于集合A中的__________，依据某种确定的对应关系f，在集合B中都有________的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域________的取值范围值域与x的值相对应的y的函数值的集合____________理解函数的概念抓住以下4点：(1)“y＝f(x)”是函数符号，可以用随意的字母表示，如“y＝g(x)”“y＝h(x)”都可以．(2)“A，B”是非空的数集，定义域为空集的函数是不存在的．(3)函数定义中强调“三性”：随意性、存在性、唯一性．(4)定义域、值域的结果应当写成集合的形式．1．在函数的定义中，符号y＝f(x)是表示f与x的乘积吗？2．f(x)与f(a)的区分与联系是什么？思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)依据函数的定义，定义域中的随意一个x可以对应着值域中不同的y． ()(2)任何两个集合之间都可以建立函数关系． ()(3)函数的定义域必需是数集，值域可以为其他集合． ()(4)在函数的定义中，集合B是函数的值域． ()类型1函数关系的推断【例1】(1)(2024·四川省德阳市第三中学月考)设集合M＝x0≤x≤2，N＝{y|0≤yA．1B．2C．3D．4(2)(多选)下列对应关系是实数集R上的函数的是()A．f：把x对应到3x＋1B．g：把x对应到|x|＋1C．h：把x对应到1D．r：把x对应到x[尝试解答]推断一个对应关系是否为函数的方法[跟进训练]1．推断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．(1)A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取肯定值与B中元素对应；(2)A＝{－1，1，2，－2}，B＝{1，4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；(3)A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，对应法则f：对A中的元素开方与B中的元素对应；(4)A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．类型2求函数值【例2】(源自湘教版教材)已知定义域为R的函数f(x)＝x＋1和g(x)＝x2，计算下列各式：(1)f(2)＋g(3)；(2)f(a2)－g(a)；(3)f(f(f(0)))．[尝试解答]函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．[跟进训练]2．已知函数f(x)＝3-x21+x2，(1)求f(3)，f(4)，f(g(3))；(2)求f(g(x))．类型3求函数的定义域【例3】求下列函数的定义域：(1)f(x)＝2＋3x(2)f(x)＝(x－1)0＋2x(3)f(x)＝3-x·(4)f(x)＝x+12x思路导引：从f(x)由几部分组成，是否含有分母、开偶次方根、x0等角度思索使f(x)有意义的条件，进而进行解答．[尝试解答]求函数定义域的常用方法(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母________．(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数__________．(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合．(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的________．(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应________________，使实际问题有意义．[跟进训练]3．求函数y＝2x2-1．函数f(x)＝x+3A．{x|x≥－3} B．{x|x>－3}C．{x|x≥－3，且x≠1} D．{x|x>－3，且x≠1}2．(多选)下列四个图象中，是函数图象的是()ABCD3．下列对应或关系式中是A到B的函数的是()A．A∈R，B∈R，y＝±1B．A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，对应关系如图：C．A＝R，B＝R，f：x→y＝1D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝24．若f(x)＝11-x2，则f(3)＝____________，回顾本节学问，自主完成以下问题：1．推断一个对应关系是否为函数的条件是什么？2．f(x)与f(a)相同吗？两者存在怎样的联系？3．求函数y＝f(x)的定义域常留意哪些问题？函数定义的演化过程简介在现代数学以及其他相关学科中，函数都是特别重要甚至是不行或缺的．与其他重要数学概念一样，函数定义的发展与完善也经验了比较长的一段时间．“函数”一词是莱布尼茨创建的，他用这个词表示与曲线上的点有关的线段长度，并运用这个词表示变量之间的依靠关系．欧拉于1734年首先运用字母f表示函数，欧拉在他的著作《微分学》中给出的函数定义是：假如某变量，以如下的方式依靠于另一些变量，即当后面这些变量改变时，前者也随之改变，则称前面的变量是后面变量的函数．1851年，德国数学家黎曼给出的函数定义是：假定z是一个变量，它可以逐次取全部可能的实数值．假如对它的每一个值，都有未知量w的唯一的一个值与之对应，则w称为z的函数．人们通常称这样的定义为函数的“对应说”，因为定义中采纳了“唯一的一个值与之对应”的说法．1939年，法国布尔巴基学派在集合论的基础上给出了如下函数的定义：设E和F是两个集合，它们可以不同，也可以相同．E中的变元x和F中的变元y之间的一个关系称为一个函数关系，假如对于每一个x∈E，都存在唯一的y∈F，它满意与x给定的关系，称这样的运算为函数．它以上述方式将与x有给定关系的元素y∈F与每一个元素x∈E相联系．称y是函数在元素x处的值，函数值由给定的关系所确定．两个等价的函数关系确定同一个函数．人们通常称这样的定义为“关系说”．后来，有些学者把布尔巴基学派的定义进一步符号化：设F是定义在集合X和Y上的一个二元关系，称这个关系为函数，假如对于每一个x∈X，都存在唯一的y∈Y，使得