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福建省泉州市2024届高三上学期质量监测数学试题(二)一、选择题1.设集合,则()A. B. C. D.【答案】D【解析】因为,所以,解得:,所以,所以.故选:D.2.已知复数,则在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】,对应复平面内对应的点,因为,所以位于第二象限.故选:B3.已知,则()A. B. C. D.【答案】C【解析】因为,则,结合,解得,则,故选:C.4.已知圆柱母线长等于2,过母线作截面,截面的最大周长等于8,则该圆柱的体积等于()A. B. C. D.【答案】B【解析】当过母线作截面,截面的周长最大时,此时截面为轴截面.设圆柱的底面半径为,则因为过母线作截面,截面的最大周长等于8,所以,解得.所以该圆柱的体积为.故选:B.5.函数的数据如下表,则该函数的解析式可能形如()-2-1012352.31.10.71.12.35.949.1A.B.C.D.【答案】A【解析】由函数的数据可知,函数,偶函数满足此性质,可排除B,D;当时,由函数的数据可知,函数增长越来越快,可排除C.故选:A.6.若抛物线与椭圆的交点在轴上的射影恰好是的焦点,则的离心率为()A. B. C. D.【答案】C【解析】不妨设椭圆与抛物线在第一象限的交点为,椭圆右焦点为,则根据题意得轴,,则,则,当时,,则,则,代入椭圆方程得,结合,不妨令;解得,则其离心率,故选:C.7.某学校举办运动会,径赛类共设100米、200米、400米、800米、1500米5个项目,田赛类共设铅球、跳高、跳远、三级跳远4个项目.现甲、乙两名同学均选择一个径赛类项目和一个田赛类项目参赛,则甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于()A.70 B.140 C.252 D.504【答案】B【解析】由题意若甲、乙的相同的参赛项目为径赛类项目,则有种选法,他们再分别从田赛类项目中各选一个(互不相同)即可,这时候有种选法,所以此时满足题意的选法有,由题意若甲、乙的相同的参赛项目为田赛类项目,则有种选法,他们再分别从径赛类项目中各选一个(互不相同)即可,这时候有种选法,所以此时满足题意的选法有,综上所述,甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于种.故选:B8.已知函数.若函数存在零点,则的取值范围为()A. B. C. D.【答案】C【解析】,令,解得:;令,解得:,所以在上单调递减,在上单调递增,,,,所以的最大值为,最小值为,故,函数存在零点,即,即与的图象有交点,所以,故选:C,二、多选题9.抛掷一枚股子,设事件“出现的点数为偶数”,事件“出现的点数为3的倍数”,则()A.与是互斥事件B.不是必然事件C.D.【答案】BD【解析】掷骰子有点数为1,2,3,4,5,6六种结果,事件A=“出现的点数为偶数”包含2,4,6三种结果,事件B=“出现的点数为3的倍数”包含3,6两种结果,对于A,事件A,B有可能同时发生,故事件A,B不是互斥事件,故A错误;对于B,事件包含2,3,4,6四种结果,所以不是必然事件,故B正确;对于C,事件包含6一种结果,所以,故C错误;对于D,,故D正确.故选:BD.10.已知定义在上的函数满足,当时,,当时,,则()A. B.C. D.【答案】BD【解析】因为,则,所以的周期为2,对A,,因为,令,则,显然,对B,因为,则,则,故B正确;对C,,,则,故C错误;对D,,,则,故D正确.故选:BD.11.已知抛物线的准线为,焦点为,过的直线与交于两点,则()A.的方程为B.与以线段为直径的圆相切C.当线段中点的纵坐标为2时,D.当的倾斜角等于时,【答案】ABD【解析】由抛物线的方程可知,所以准线方程为,故A正确;设中点为,过分别作准线的垂线,垂足分别为,则由梯形中位线可得,再由抛物线定义可得,,所以,即圆心到准线的距离等于半径,所以与以线段为直径的圆相切,故B正确;设,因为中点的纵坐标为2,所以,由抛物线的定义可知,故C错误;当的倾斜角等于时,由于,所以直线的方程为,联立,消去,得,所以,由抛物线定义可得,故D正确.故选:ABD12.在空间直角坐标系中,,,,,在球的球面上,则()A.平面B.球表面积等于C.点到平面的距离等于D.平面与平面的夹角的正弦值等于【答案】AC【解析】平面ABC的一个法向量,,则,又因为平面ABC,所以平面ABC,A正确;因为,,,则,球心F在平面上的投影点即外接圆圆心,设,因,则,得,即,球半径,球F表面积,B错误;由,,得,,,,设平面ACE的一个法向量,,所以,取,,点到平面的距离等于,C正确;同理可得平面的一个法向量,平面与平面的夹角的余弦值等于,正弦值等于,D错误.故选:AC.三、填空题13.在平行四边形中,,则__________.【答案】10【解析】因为四边形为平行四边形,则,,则,故答案为:10.14.数列中,,则__________.【答案】15【解析】由,可得,,.故答案为:1515.已知直线,圆被所截得到的两段弧的长度之比为,则圆的方程可以为__________.(只需写出一个满足条件的方程即可)【答案】(答案不唯一)【解析】若圆被所截得到的两段弧的长度之比为,则劣弧所对圆心角为,设圆的半径为,则圆心到直线的距离为,不妨使得圆心为坐标原点,设圆的方程为,则,解得,则此时圆的方程为,故答案为:(答案不唯一.)16.若,则的取值范围为__________.【答案】【解析】令,则定义域为,且,由题意,,,,又在上可导,所以为函数的极值点,,,即,当时,,当时,,单调递减;当时,,单调递增,所以,成立.综上,时的取值范围为.故答案为:四、解答题17.等差数列和等比数列中,.(1)求的公差;(2)记数列的前项和为,若,求.解:(1)设等比数列的公比为,由题意得,整理,得,消去,得,解得或.(2)由(1)得或.因为,所以,故.从而,.18.教育部印发的《国家学生体质健康标准》,要求学校每学年开展全校学生的体质健康测试工作.某中学为提高学生的体质健康水平,组织了“坐位体前屈”专项训练.现随机抽取高一男生和高二男生共60人进行“坐位体前屈”专项测试.高一男生成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩在的男生有4人.高二男生成绩(单位:)如下:10212.86.46.614.38.316.815.99.717.518.618.319.423.019.720.524.920.525.117.5(1)估计高一男生成绩的平均数和高二男生成绩的第40百分位数;(2)《国家学生体质健康标准》规定,高一男生“坐位体前屈”成绩良好等级线为,高二男生为.已知该校高一年男生有600人,高二年男生有500人,完成下列列联表,依据小概率值的独立性检验,能否认为该校男生“坐位体前屈”成绩优良等级与年级有关?等级年级良好及以上良好以下合计高一高二合计附:,其中.0.050.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828解:(1)依题意得,抽取高二男生20人,所以抽取高一男生40人.因为高一男生成绩在[5,10)的男生有4人,所以,解得.由,解得.由样本估计总体,可估计高一男生成绩的平均数.由,可知样本数据的第40百分位数是第8项和第9项数据的均值,高二男生“坐位体前屈”成绩在[5,15)有7人,[15,20)有8人,所以第40百分位数在[15,20)中,故.由样本估计总体,可估计高二男生成绩的第40百分位数为16.35.(2)根据样本,知高一男生成绩良好及以上占,良好以下占,高二男生成绩良好及以上占,良好以下占,由样本估计总体,可得列联表如下:
良好及以上良好以下合计高一300300600高二300200500合计6005001100零假设为:该校男生“坐位体前屈”成绩等级与年级之间无关.根据列联表中的数据,得根据小概率值的独立性检验,我们推断不成立,即认为“坐位体前屈”成绩等级与年级有关,此推断犯错误的概率不大于.19.如图,两个棱长均等于2的正四棱锥拼接得到多面体.(1)求证:平面;(2)求平面与平面夹角的正弦值.(1)证明:连结,交于点,连结,由正四棱锥性质可知平面,平面,所以三点共线,又四边形是正方形,可得两两垂直,且交于点.以为原点,分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,由,在中,,则,从而,故,又,所以,又平面,平面,所以平面.(2)解:由(1)可得,设平面的法向量,则,令,得,设平面的法向量,则,令,得,所以,设平面与平面的夹角为,则,所以.20.一个袋子中有10个大小相同的球,其中红球7个,黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球,摸出的球不再放回.(1)求第2次摸到红球的概率;(2)设第次都摸到红球的概率为;第1次摸到红球的概率为;在第1次摸到红球的条件下,第2次摸到红球的概率为;在第1,2次都摸到红球的条件下,第3次摸到红球的概率为.求;(3)对于事件,当时,写出的等量关系式,并加以证明.解:(1)记事件“第次摸到红球”为,则第2次摸到红球的事件为,于是由全概率公式,得.(2)由已知得,,,.(3)由(2)可得,即,可猜想:,证明如下:由条件概率及,得,,所以.21.的内角所对的边分别为.已知.(1)若,求;(2)点是外一点,平分,且,求的面积的取值范围.解:(1)由正弦定理可知,所以,所以,由余弦定理,因为的内角,所以,又,所以.(2)由正弦定理,,又平分,所以,因为四边形的内角和为,且,易知,所以,①设,则①,令,则,因为在中,所以,所以,所以时恒成立,且,时,,时,则,所以.22.动圆与圆和圆中的一个内切,另一个外切,记点的轨迹为.(1)求的方程;(2)已知点轴与交于两点,直线与交于另一点,直
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