2024年山东省济宁市中考数学试卷

第1页（共1页）2024年山东省济宁市中考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1．（3分）﹣3的绝对值是（）A．3 B． C．﹣3 D．﹣2．（3分）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“建”字一面的相对面上的字是（）A．人 B．才 C．强 D．国3．（3分）下列运算正确的是（）A． B． C． D．4．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，连接OE．若OE＝3，则菱形的边长为（）A．6 B．8 C．10 D．125．（3分）为了解全班同学对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类节目的喜爱情况，班主任对全班50名同学进行了问卷调查（每名同学只选其中的一类），依据50份问卷调查结果绘制了全班同学喜爱节目情况扇形统计图（如图所示）（）A．班主任采用的是抽样调查 B．喜爱动画节目的同学最多 C．喜爱戏曲节目的同学有6名 D．“体育”对应扇形的圆心角为72°6．（3分）如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则它的内切圆半径为（）A．1 B．2 C． D．7．（3分）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y18．（3分）解分式方程时，去分母变形正确的是（）A．2﹣6x+2＝﹣5 B．6x﹣2﹣2＝﹣5 C．2﹣6x﹣1＝5 D．6x﹣2+1＝59．（3分）如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E，∠F＝43°19'，则∠A的度数为（）A．42° B．41°20' C．41° D．40°20'10．（3分）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第六幅图中正方形的个数为（）A．90 B．91 C．92 D．93二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。11．（3分）我国自主研发的500m口径球面射电望远镜（FAST）有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为250000m2．将数250000用科学记数法表示为．12．（3分）已知a2﹣2b+1＝0，则的值是．13．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请补充一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．14．（3分）将抛物线y＝x2﹣6x+12向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是．15．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线．（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，F．（2）以点A为圆心，BE长为半径画弧，交AC于点G．（3）以点G为圆心，EF长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点H．（4）画射线AH．（5）以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AH于点M．（6）连接MC，MB．MB分别交AC，AD于点N根据以上信息，下面五个结论中正确的是.（只填序号）①BD＝CD；②∠ABM＝15°③∠APN＝∠ANP；④；⑤MC2＝MN•MB．三、解答题：本大题共7小题，共55分。16．（6分）先化简，再求值：x（y﹣4x）+（2x+y）（2x﹣y），其中x＝17．（6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（3，4），C（1，4）．（1）将△ABC向下平移2个单位长度得△A1B1C1．画出平移后的图形，并直接写出点B1的坐标；（2）将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°得△A2B1C2．画出旋转后的图形，并求点C1运动到点C2所经过的路径长．18．（8分）为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）（1）班和（3）班中，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表．【收集数据】八年级（1）班20名学生成绩：85，95，90，90，85，90，100，80，95，90，95，95，100，95．八年级（3）班20名学生成绩：90，80，95，90，85，100，95，85，90，95，90，95，95，95．【描述数据】八年级（1）班20名学生成绩统计表分数80859095100人数33ab3【分析数据】八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表统计量班级平均数中位数众数方差八年级（1）班mn9541.5八年级（3）班9190p26.5【应用数据】根据以上信息，回答下列问题．（1）请补全条形统计图；（2）填空：m＝，n＝；（3）你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由；（4）从上面5名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率．19．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，D是BC上一点，∠BAE＝∠CAD，∠ADE＝∠ACB（1）若AB＝8，求AE的长；（2）求证：EB是⊙O的切线．20．（8分）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．（1）求这段时间内y与x之间的函数解析式；（2）在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，商场获得利润最大？最大利润是多少？21．（9分）综合与实践某校数学课外活动小组用一张矩形纸片（如图1，矩形ABCD中，AB＞AD且AB足够长）进行探究活动．【动手操作】如图2，第一步，沿点A所在直线折叠，折痕为AF，连接EF第二步，把四边形AEFD折叠，使点A与点E重合，折痕为GH，再把纸片展平．第三步，连接GF．【探究发现】根据以上操作，甲、乙两同学分别写出了一个结论．甲同学的结论：四边形AEFD是正方形．乙同学的结论（1）请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确．若正确，写出证明过程；若不正确【继续探究】在上面操作的基础上，丙同学继续操作．如图3，第四步，沿点G所在直线折叠，折痕为GP，连接PM第五步，连接FM交GP于点N．根据以上操作，丁同学写出了一个正确结论：FN•AM＝GN•AD．（2）请证明这个结论．22．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（0，﹣3），（﹣b，c）两点，其中a，b，且ab＞0．（1）求a，c的值；（2）若该二次函数的最小值是﹣4，且它的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；②如图，在y轴左侧该二次函数的图象上有一动点P，过点P作x轴的垂线，与直线AC交于点E，连接PC，BE．是否存在点P，使若存在；若不存在，请说明理由．

2024年山东省济宁市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1．（3分）﹣3的绝对值是（）A．3 B． C．﹣3 D．﹣【解答】解：|﹣3|＝3，故选：A．2．（3分）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“建”字一面的相对面上的字是（）A．人 B．才 C．强 D．国【解答】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“建”与“国”是对面，故选：D．3．（3分）下列运算正确的是（）A． B． C． D．【解答】选项A：和不是同类二次根式，不合题意；选项B：，正确；选项C：＝≠1，不合题意；选项D：∵≥8，∴＝6，不合题意．故选：B．4．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，连接OE．若OE＝3，则菱形的边长为（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴△AOB是直角三角形，∵E是AB的中点，∴OE＝AB，∵OE＝5，∴AB＝6，即菱形的边长为6．故选：A．5．（3分）为了解全班同学对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类节目的喜爱情况，班主任对全班50名同学进行了问卷调查（每名同学只选其中的一类），依据50份问卷调查结果绘制了全班同学喜爱节目情况扇形统计图（如图所示）（）A．班主任采用的是抽样调查 B．喜爱动画节目的同学最多 C．喜爱戏曲节目的同学有6名 D．“体育”对应扇形的圆心角为72°【解答】解：班主任采用的是全面调查，故选项A说法错误；喜爱娱乐节目的同学最多，故选项B说法错误；喜爱戏曲节目的同学有：50×6%＝3（名），故选项C说法错误；“体育”对应扇形的圆心角为：360°×20%＝72°，故选项D说法错误；故选：D．6．（3分）如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则它的内切圆半径为（）A．1 B．2 C． D．【解答】解：如图，连接OA，过点O作OM⊥AB，∵六边形ABCDEF是正六边形，点O是它的中心，∴∠AOB＝＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是正三角形，∵OM⊥AB，∴AM＝BM＝AB＝1，在Rt△AOM中，OA＝2，∴OM＝＝，即它的内切圆半径为，故选：D．7．（3分）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1【解答】解：在反比例函数y＝中k＜0、四象限，y随x的增大而增大，∵C（3，y7）在第四象限，∴y3＜0，∵﹣4＜﹣1，∴0＜y5＜y2，∴y3＜y5＜y2，故选：C．8．（3分）解分式方程时，去分母变形正确的是（）A．2﹣6x+2＝﹣5 B．6x﹣2﹣2＝﹣5 C．2﹣6x﹣1＝5 D．6x﹣2+1＝5【解答】解：原方程两边同乘2（3x﹣8）得2（3x﹣7）﹣2＝5，即4x﹣2﹣2＝4故选：A．9．（3分）如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E，∠F＝43°19'，则∠A的度数为（）A．42° B．41°20' C．41° D．40°20'【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠CDF是△ADE的外角，∴∠CDF＝∠A+∠E，∵∠BCD是△CDF的外角，∴∠BCD＝∠F+∠CDF，∴∠BCD＝∠F+∠A+∠E，∴∠A+∠F+∠A+∠E＝180°，∴2∠A+∠F+∠E＝180°，∵∠E＝54°41'，∠F＝43°19'，∴2∠A+54°41'+43°19'＝180°，∴∠A＝41°，故选：C．10．（3分）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第六幅图中正方形的个数为（）A．90 B．91 C．92 D．93【解答】解：由所给图形可知，第一幅图中正方形的个数为：1＝15；第二幅图中正方形的个数为：5＝16+22；第三幅图中正方形的个数为：14＝32+23+32；第四幅图中正方形的个数为：30＝32+24+32+42；…，所以第n幅图中正方形的个数为：17+22+72+…+n2，当n＝5时，12+22+38+…+62＝91（个），即第六幅图中正方形的个数为91个．故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。11．（3分）我国自主研发的500m口径球面射电望远镜（FAST）有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为250000m2．将数250000用科学记数法表示为2.5×105．【解答】解：250000＝2.5×102，故答案为：2.5×105．12．（3分）已知a2﹣2b+1＝0，则的值是2．【解答】解：∵a2﹣2b+3＝0，∴a2+2＝2b，∵a2≥4，∴a2+1≥3，∴b＞0，∴＝＝2．13．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请补充一个条件OB＝OD或AD∥BC或AB∥CD，使四边形ABCD是平行四边形．【解答】解：①当OB＝OD时，四边形ABCD是平行四边形∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形；②当AD∥BC时，四边形ABCD是平行四边形∵AD∥BC，∴∠OAC＝∠OCB，∠ODA＝∠OBC，在△OAD和△OCB中，，∴△OAD≌△OCB（AAS），∴OD＝OB，又∵OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形；③AB∥CD时，四边形ABCD是平行四边形∵AD∥BC，∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC，在△OAB和△OCD中，，∴△OAB≌△OCD（AAS），∴OB＝OD，又∵OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形．综上所述：补充条件是OB＝OD或AD∥BC或AB∥CD．故答案为：OB＝OD或AD∥BC或AB∥CD．14．（3分）将抛物线y＝x2﹣6x+12向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是k≥3．【解答】解：将抛物线y＝x2﹣6x+12向下平移k个单位长度得y＝x5﹣6x+12﹣k，∵平移后得到的抛物线与x轴有公共点，∴Δ＝b2﹣4ac≥0，∴（﹣6）6﹣4×1×（12﹣k）≥4，解得k≥3，故答案为：k≥3．15．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线．（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，F．（2）以点A为圆心，BE长为半径画弧，交AC于点G．（3）以点G为圆心，EF长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点H．（4）画射线AH．（5）以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AH于点M．（6）连接MC，MB．MB分别交AC，AD于点N根据以上信息，下面五个结论中正确的是①②⑤.（只填序号）①BD＝CD；②∠ABM＝15°③∠APN＝∠ANP；④；⑤MC2＝MN•MB．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴三角形ABC为等腰直角三角形，∠ABD＝∠ACD＝45°，又∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝，∴∠ABD＝∠ACD＝∠BAD＝∠CAD＝45°，∴BD＝AD＝DC，故①正确；根据题意作图可得：∠MAC＝∠ABD＝45°，BM＝BC，过M作MK⊥BC于点K，则∠MKB＝90°∵AD是△ABC的角平分线，由三线合一可得：AD⊥BC，∵∠DAM＝∠DAC+∠MAC＝45°+45°＝90°，∴∠DAM＝∠MKB＝∠ADC＝90°，∴四边形ADKM为矩形，∴MK＝AD＝BC＝，∴∠MBK＝30°，∴∠ABM＝∠ABD﹣∠MBK＝45°﹣30°＝15°，故②正确；∵∠APN＝∠ABM+∠BAD＝15°+45°＝60°，∠ANP＝∠MBK+∠DAC＝30°+45°＝75°，∴∠APN≠∠ANP，故③错误；设AP＝x，则PD＝AD﹣x，∵AM∥BC，∴∠AMB＝∠MBC＝30°，∴tan∠AMB＝tan30°＝＝＝，即AM＝x，tan∠MBC＝tan30°＝＝＝，即AD＝，∴＝＝﹣1；∵∠BMC＝∠BCM＝＝＝75°，∵∠MNC＝∠ANP＝75°，∴∠MNC＝∠BCM，又∵∠BMC＝∠CMN，∴△BMC∽△CMN，∴MC：MN＝MB：MC，∴MC2＝MN•MB，故⑤正确；综上所述，正确的有：①②⑤；故答案为：①②⑤．三、解答题：本大题共7小题，共55分。16．（6分）先化简，再求值：x（y﹣4x）+（2x+y）（2x﹣y），其中x＝【解答】解：原式＝（xy﹣4x2）+（3x2﹣y2）＝xy﹣2x2+4x6﹣y2＝xy﹣y2，当x＝，y＝2时×2﹣32＝1﹣8＝﹣3．17．（6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（3，4），C（1，4）．（1）将△ABC向下平移2个单位长度得△A1B1C1．画出平移后的图形，并直接写出点B1的坐标；（2）将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°得△A2B1C2．画出旋转后的图形，并求点C1运动到点C2所经过的路径长．【解答】解：（1）如图，△A1B1C5即为所求．由图可得，点B1的坐标为（3，2）．（2）如图，△A2B1C6即为所求．点C1运动到点C2所经过的路径长为＝π．18．（8分）为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）（1）班和（3）班中，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表．【收集数据】八年级（1）班20名学生成绩：85，95，90，90，85，90，100，80，95，90，95，95，100，95．八年级（3）班20名学生成绩：90，80，95，90，85，100，95，85，90，95，90，95，95，95．【描述数据】八年级（1）班20名学生成绩统计表分数80859095100人数33ab3【分析数据】八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表统计量班级平均数中位数众数方差八年级（1）班mn9541.5八年级（3）班9190p26.5【应用数据】根据以上信息，回答下列问题．（1）请补全条形统计图；（2）填空：m＝91，n＝92.5；（3）你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由；（4）从上面5名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率．【解答】解：（1）补全条形统计图，如图所示：（2）根据题意得：m＝×（85+95+100+90+90+80+85+90+80+100+80+85+95+90+95+95+95+95+100+95）＝91；从小到大排列得：80，80，85，85，90，90，95，95，95，100，100，最中间的两个为90和95，n＝；故答案为：91，92.5；（3）我认为八年级（1）班成绩更好一些，理由为：平均数两个班相同，中位数和众数方面（1）班优于（3）班，综上所述，八年级（1）班成绩更好一些；（4）八年级（1）班三位满分同学记作1，2，3，（3）班两位同学满分记作4，3，列表如下：126453﹣﹣﹣（1，2）（5，3）（1，5）（1，5）7（2，1）﹣﹣﹣（7，3）（2，3）（2，5）5（3，1）（5，2）﹣﹣﹣（3，5）（3，5）5（4，1）（7，2）（4，8）﹣﹣﹣（4，5）5（5，1）（3，2）（5，6）（5，4）﹣﹣﹣所有等可能的情况有20种，其中所抽取的7名学生恰好在同一个班级的情况有（1，（2，（3，（3，（2，（6，（4，（5，则P（所抽取的8名学生恰好在同一个班级）＝＝．19．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，D是BC上一点，∠BAE＝∠CAD，∠ADE＝∠ACB（1）若AB＝8，求AE的长；（2）求证：EB是⊙O的切线．【解答】（1）解：∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE+∠BAD＝∠CAD+∠BAD，即∠EAD＝∠BAC，又∵∠ADE＝∠ACB，AD＝AC，∴△ADE≌△ACB（ASA），∴AE＝AB，∵AB＝8，∴AE＝8；（2）证明：如图，连接BO并延长交⊙O于点F，∵BF是⊙O的直径，∴∠BAF＝90°，∴∠AFB+∠ABF＝90°，∵∠AFB＝∠ACB，∴∠ACB+∠ABF＝90°，在△ADC中，AD＝AC，∴∠ACB＝∠ADC，∴3∠ACB+∠CAD＝180°，由（1）知AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABE，∴2∠ABE+∠BAE＝180°，∵∠BAE＝∠CAD，∴∠ACB＝∠ABE，∴∠ABE+∠ABF＝90°，即∠OBE＝90°，∵OB为半径，∴EB是⊙O的切线．20．（8分）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．（1）求这段时间内y与x之间的函数解析式；（2）在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，商场获得利润最大？最大利润是多少？【解答】解：（1）由题意，设一次函数的解析式为y＝kx+b，又过（100，300），200），∴．∴．∴所求函数解析式为y＝﹣5x+800．（2）由题意得，，∴100≤x≤116．∵商场获得的利润＝（x﹣80）（﹣5x+800）＝﹣5x8+1200x﹣64000＝﹣5（x﹣120）2+8000，又﹣3＜0，100≤x≤116，∴当x＝116时，利润最大．答：当销售单价为116时，商场获得利润最大．21．（9分）综合与实践某校数学课外活动小组用一张矩形纸片（如图1，矩形ABCD中，AB＞AD且AB足够长）进行探究活动．【动手操作】如图2，第一步，沿点A所在直线折叠，折痕为AF，连接EF第二步，把四边形AEFD折叠，使点A与点E重合，折痕为GH，再把纸片展平．第三步，连接GF．【探究发现】根据以上操作，甲、乙两同学分别写出了一个结论．甲同学的结论：四边形AEFD是正方形．乙同学的结论（1）请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确．若正确，写出证明过程；若不正确【继续探究】在上面操作的基础上，丙同学继续操作．如图3，第四步，沿点G所在直线折叠，折痕为GP，连接PM第五步，连接FM交GP于点N．根据以上操作，丁同学写出了一个正确结论：FN•AM＝GN•AD．（2）请证明这个结论．【解答】（1）解：甲同学和乙同学的结论都正确，证明如下，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠BAD＝90°，∵折叠，∴∠D＝∠AEF＝90°＝∠DAE，AD＝AE，∴四边形AEFD是矩形，∴四边形AEFD是正方形；故甲同学的结论正确．作GK⊥AE，设AE＝2x，则AG＝EG＝x，∵四边形AEFD是正方形，∴∠EAF＝45°，∴AF＝2x，AK＝KG＝x，∴FK＝AF﹣AK＝x，∴tan∠AFG＝＝；故乙同学的说法也正确．（2）证明：方法一：过G作GQ