《运筹学》 课件 第1章-线性规划

7/16/2024第1章线性规划1CONTENTS目录7/16/20241.1

线性规划建模1.2

线性规划的解1.3

线性规划的图解法1.4线性规划的基本定理1.5

单纯形法1.6

单纯形法的进一步讨论1.7应用举例21.1线性规划建模例1.1

生产计划问题问产品A,B各生产多少,可获最大利润?生产经营中经常提出的一个问题是：如何合理地利用人、财、物，以降低成本，获取效益，这就是规划问题。7/16/20241.1.1线性规划引例

AB备用资源

钢材（吨）1230劳动力（工时）3260特种设备（台时）0224

利润（元/件）40504

x1

+2x2

303x1+2x2

60

2x2

24

x1，x2

0maxz=40x1+50x2解:设产品A,B的产量分别为变量x1,

x2s.t.7/16/20241.1.1线性规划引例5例1.2混合配料问题请设计一个既保证维生素摄入量，又最经济的配食方案。

饲料ABC

每单位成本

饲料14102饲料26125饲料31716饲料42538每天维生素12148的最低需求维生素/mg7/16/20241.1.1线性规划引例6解：设每天给每头奶牛喂食饲料i的单位用量为xi

(i=1,2,3,4)minz=2x1

+5x2+6x3+8x4

4x1

+6x2+x3+2x4

12x1

+x2+7x3+5x4

14

2x2

+x3+3x4

8

xi

0(i=1,…,4)7/16/20241.1.1线性规划引例s.t.7线性规划问题的特征要解决的问题的目标可以用数值指标反映对于要实现的目标有多种方案可选择有影响决策的若干约束条件线性规划模型的要素决策变量：向量

(x1,

…,xn)T

，即决策人要考虑和控制的因素（通常非负）约束条件：线性等式或不等式目标函数：z=f(x1,

…,xn)

线性式，求

z

极大或极小7/16/20241.1.1线性规划引例8max(min)z=c1x1+c2x2+…+cnxna11x1+a12x2+…+a1nxn(=,)b1a21x1+a22x2+…+a2nxn

(=,)b2………am1x1+am2x2+…+amnxn

(=,)bmxj()0,j=1,2,…,n7/16/20241.1.2线性规划模型的一般形式9a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn

=b2…………am1x1+am2x2+…+amxn

=bmxj0(j=1,2,…,n)maxz=c1x1+c2x2+…+cnxn其中

bi

0(i=1,2,…,m)7/16/20241.1.3线性规划模型的标准形式10maxz=cTxs.t.Ax=bx

0

a11a12………a1n其中A=

a21a22………

a2n

…

am1am2………amn

x1

x=x2

xn…

b1

b=b2

bm…

c1

c=c2

cn…标准形式的矩阵表示：7/16/20241.1.3线性规划模型的标准形式11(1)目标函数(2)约束条件(3)决策变量非标准型

标准型7/16/20241.1.3线性规划模型的标准形式12(1)

目标函数xoz-z令z’=

－

z非标准型

标准型7/16/20241.1.3线性规划模型的标准形式13(2)

约束条件例1.

maxz=40x1+50x2

x1+2x2303x1+2x2602x224

x1,x20非标准型

标准型7/16/20241.1.3线性规划模型的标准形式14(2)

约束条件

x1+2x2+x3=303x1+2x2+x4=602x2+

+x5=24

x1,

…,x50

x3,x4,x5

称为松弛变量(slackvariables)例1.

maxz=40x1+50x2+0·x3+0·x4+0·x5非标准型

标准型7/16/20241.1.3线性规划模型的标准形式154x1+6x2+x3+2x4

12x1+x2+7x3+5x4

142x2+x3+3x4

8

x1,

…,x4

0

例2.

minz=2x1+5x2+6x3+8x4(2)

约束条件非标准型

标准型7/16/20241.1.3线性规划模型的标准形式16(2)

约束条件4x1+6x2+x3+2x4-x5=12x1+x2+7x3+5x4-x6=142x2+x3+3x4-x7=8

x1,

…,x7

0

x5,x6,x7

剩余变量(surplusvariables)例2.

minz=2x1+5x2+6x3+8x4非标准型

标准型7/16/20241.1.3线性规划模型的标准形式17(3)

决策变量3

x1'-3x1"+2x28x1'

-x1"–4x2

14x1',x1",x203x1+2x28x1–4x2

14x20令

x1=x1'-x1"非标准型

标准型7/16/20241.1.3线性规划模型的标准形式18(3)

决策变量x1'

+x211x1'

16x1',x20x1+x25-6

x110x20-6+6x1+6

10+6

令

x1'

=x1+6

0

x1'

16非标准型

标准型7/16/20241.1.3线性规划模型的标准形式197/16/20241.1.3线性规划模型的标准形式变换的方法目标函数为

min型，价值系数一律反号，即令

f

(x)=-f(x)=-

cTx第

i个约束的

bi

为负值，则该行左右两端系数同时反号，同时不等号也要反向第

i个约束为型，在不等式左边增加一个非负的变量

xn+i，称为松弛变量；同时令

cn+i

=0第

i个约束为型，在不等式左边减去一个非负的变量

xn+i，称为剩余变量；同时令

cn+i

=0若

xj0，令

xj=-

xj

，代入非标准型，则有

xj

0若

xj正负不限，令

xj=xj

-

xj

，xj

0，xj

0，代入非标准型201.2线性规划的解maxz=cTxs.t.Ax=b(1)x

0(2)定义1：满足约束(1)，(2)的x=(x1,…,xn)T称为LP问题的可行解，全部可行解的集合称为可行域。定义2：使目标函数达到最大值的的可行解称为LP问题的最优解。(LP)7/16/20241.2线性规划的解22BN(m<n)rank(A)=m[至少有一个m阶子式不为0]Am×n

满秩m×m满秩子矩阵a11…a1ma1m+1…a1na21…

a2ma2m+1…

a2n………am1…

ammamm+1…

amnP1…

PmPm+1…

PnAm×n=maxz=cTxs.t.Ax=bx

0x

=(x1,…,xn)T7/16/20241.2线性规划的解23定义3：基(基阵)

—

若A

中一个m×m子矩阵B

是可逆矩阵，则称方阵B

为LP问题的一个基。A=(P1…

PmPm+1…

Pn)=(BN)

基向量

非基向量

BN…X=(x1…

xmxm+1…

xn)T=(XBXN)T

基变量

非基变量

XB

XN…7/16/20241.2线性规划的解24AX=b的求解A=(BN)X=(XBXN)TXBXN(BN)=bBXB+NXN=bBXB=b-NXNXB=B-1b-B-1NXN7/16/20241.2线性规划的解25定义4：基本解

—

对应于基B，X=为AX=b的一个解。B-1b

0定义5：基本可行解

—基B，基本解X=

B-1b

0若B-1b0，称基

B为可行基。若其基本解是最优解，成为最优基本解，相应的基为最优基。※

基本解中最多有m个非零分量;基本解的数目7/16/20241.2线性规划的解26约束方程的解空间基本解可行解非可行解基本可行解7/16/20241.2线性规划的解271.3线性规划的图解法非负约束Thenon-negativeconstraintsx2x1最简单、直观的方法但只适用有两个决策变量的情况7/16/20241.3.1图解法的步骤29012345678可行域x2非可行域x1+2x2£843214x1£16x1最优解点x1=4，x2

=2z=

2x1+3x2即x2=

-2x1/3+z/3z取不同值时是一束斜率为-2/3平行线，z最大值出现在最高的一条线上。

4x2£

127/16/20241.3.1图解法的步骤已知某线性规划模型归结为：目标函数max

z=

2x1+3x2约束条件x1+2x2

8

4

x1

16

s.t.4x2

12x1,x2

0307/16/20241.3.1图解法的步骤max

z=x1+3x2 s.t. x1+x2≤6

-x1+2x2≤8

x1≥0,x2≥0可行域目标函数等值线最优解64-860x1x231例1.1

maxz=40x1+50x2

x1+2x2303x1+2x2602x224

x1,x207/16/20241.3.2线性规划解的几种可能性32DABC解：(1)确定可行域

x10x1=0(纵)x20x2=0(横)x1+2x230(0,15)(30,0)0102030x23x1+2x2

60(0,30)(20,0)

2x2

24(0,12)203010x17/16/20241.3.2线性规划解的几种可能性33(2)求最优解解：x*=(15,7.5)zmax=975z=40x1+50x20=40x1+50x2(0,0),

(10,-8)C点：

x1+2x2=30

3x1+2x2=60DABC0102030x2203010x17/16/20241.3.2线性规划解的几种可能性34例：

maxz=40x1+80x2

x1+2x2303x1+2x2602x224

x1,x207/16/20241.3.2线性规划解的几种可能性无穷多个最优解35最优解：BC线段B点x(1)=(6,12)C点x(2)=(15,7.5)x*=

x(1)+(1-

)x(2)(01)求解DABC0102030x2203010x1Z=40x1+80x2=0

1.3.2线性规划解的几种可能性036无界无有限最优解例：

maxz=2x1+4x22x1+x2

8-2x1+x22x1,x20Z=02x1+x2=8-2x1+x2=28246x240x17/16/20241.3.2线性规划解的几种可能性无界解37例：

maxz=2x1+x2

x1+x2

22x1+2x26x1,x20无解无可行解7/16/20241.3.2线性规划解的几种可能性无可行解x1+x2=22x1+2x2=64123x220x13387/16/20241.3.2线性规划解的几种可能性

线性规划的可行域及最优解的可能结果图示：

(a)可行域封闭，唯一最优解(b)可行域封闭，多个最优解(d)可行域开放，多个最优解(e)可行域开放，目标函数无界(f)可行域为空集(c)可行域开放，唯一最优解39唯一解无穷多个最优解无有限最优解无可行解有解无解总结:7/16/20241.3.2线性规划解的几种可能性40可行域为凸多边形若有最优解，一定在可行域的顶点达到X(1)X(2)凸多边形凹多边形X(1)X(2)7/16/20241.3.3图解法的启示41凸集及其性质定义1：凸集—

D是n维欧氏空间上的一个集合

X(1),

X(2)∈D,对任一个满足

X=

X(1)+(1-

)X(2)(01)

有X∈D凸集中任意两点的连线仍然属于该集合。

7/16/20241.3.3图解法的启示42凸集及其性质定义2：凸组合—

X(1),X(2),…,X(k)

是n维欧氏空间中

的

k个点,若有一组数

µ1,µ2,…

,µk

满足

0

µi1

(i=1,…,k)

µi=1

ki=1有点X=µ1X(1)

+…+µkX(k)则称点X为X(1),X(2),…,X(k)

的凸组合。7/16/20241.3.3图解法的启示437/16/20241.3.3图解法的启示—凸集D,点XD，若找不到两个不

同的点

X(1),X(2)D使得

X=

X(1)

+(1-

)

X(2)

(0<<1)

则称

X为D的顶点。凸集及其性质定义3：顶点凸多边形也称为极点extremepoint44几何概念代数概念约束直线满足一个等式约束的解约束半平面满足一个不等式约束的解约束半平面的交集：凸多边形满足一组不等式约束的解约束直线的交点基本解可行域的极点基本可行解目标函数等值线：一组平行线目标函数值等于一个常数的解1.3.3图解法的启示0451.4线性规划的基本定理若(LP)问题有可行解，则可行解集（可行域）是凸集（可能有界，也可能无界），有有限个顶点。(LP)问题的基本可行解可行域的顶点。若(LP)问题有最优解，必定可以在基本可行解（顶点）达到。7/16/20241.4线性规划的基本原理47若(LP)问题有可行解，则可行解集（可行域）是凸集（可能有界，也可能无界），有有限个顶点。即证满足约束条件的所有点组成的图形是凸集。or7/16/20241.4线性规划的基本原理48

(LP)问题的基本可行解可行域的顶点。引理：线性规划问题的可行解

X

=(x1,

…,xn)

为基本可行解的充要条件是

X的正分量所对应的系数列向量是线性独立的。证明：由基本可行解定义显然成立；若向量P1,P2,…,Pk

线性独立，则必有k≤m；（1）“k=m”

恰好构成一个基；（2）“k<m”一定可以从其余列向量中找出(m-k)个与P1,P2,…,Pk

构成一个基，其对应的解恰为X。7/16/20241.4线性规划的基本原理49

(LP)问题的基本可行解可行域的顶点。反证法（1）X

不是基本可行解X

不是可行域的顶点假设X的前m个分量为正：由引理，P1,P2,…,Pm

线性相关，即7/16/20241.4线性规划的基本原理50反证法（2）X

不是可行域的顶点X

不是基本可行解可以找到可行域内另外两个不同点Y和Z：X=aY+(1-a)Z(0<a<1)

(LP)问题的基本可行解可行域的顶点。7/16/20241.4线性规划的基本原理51

若(LP)问题有最优解，必定可以在基本可行解（顶点）达到。证明：设是线性规划的一个最优解。若不是基本可行解，则不是顶点。可以找到另两个点。代入目标函数：如果仍然都不是基本可行解，按上面的方法继续做下去，最后一定可以找到一个基本可行解，且目标函数值等于。7/16/20241.4线性规划的基本原理521.5单纯形法单纯形法的基本思路：从一个初始的基本可行解出发，经过判断，如果是最优解，则结束；否则经过基变换得到另一个改善的基本可行解，如此一直进行下去，直到找到最优解。(1)

确定初始基本可行解(2)从一个基本可行解转换到相邻的基本可行解(3)最优性检验和解的判别7/16/20241.5.1迭代原理54(1)

确定初始基本可行解一般约束条件的变量系数矩阵中总会存在一个单位矩阵：7/16/20241.5.1迭代原理55(2)从一个基本可行解转换到相邻的基本可行解仅变换一个基变量P1P2…PmPm+1…Pj…Pnb7/16/20241.5.1迭代原理56P1P2…Pl-1PjPl+1…PmbPlPj进行初等变换形成单位矩阵(2)从一个基本可行解转换到相邻的基本可行解7/16/20241.5.1迭代原理57(3)最优性检验和解的判别将基本可行解和分别代入目标函数得：>0≤

0

>07/16/20241.5.1迭代原理58单纯形法的基本思路：从一个初始的基本可行解出发，经过判断，如果是最优解，则结束，否则经过基变换得到另一个改善的基本可行解，如此一直进行下去，直到找到最优解。第1步：求初始基可行解，列出初始单纯形表。第2步：最优性检验。第3步：从一个基可行解转换到相邻的目标函数值更大的基可行解，列出新的单纯形表。第4步：重复第2、3步，一直到计算结束为止。7/16/20241.5.2迭代步骤59非标准形的LP问题标准的LP问题设法使约束方程的系数矩阵中包含一个单位阵以此作为基求出问题的一个初始基可行解为了书写规范和便于计算，对单纯形的计算有一种专门的表格，称为单纯形表。

含初始基可行解的单纯形表

——初始单纯形表

含最优解的单纯形表

——最终单纯形表第1步-求初始基可行解，列出初始单纯形表7/16/20241.5.2迭代步骤60

cj

c1…cm…cj…cnCB

基b

x1…

xm

…

xj

…

xn

c1

x1b1

c2

x2

b2

：：：：：：

cm

xm

bm10…a1j…a1n00…a2j…a2n

：：：：

：：

：：01…amj

…amn

cj

-zj0…0……基变量基变量的取值检验数σj第1步-求初始基可行解，列出初始单纯形表7/16/20241.5.2迭代步骤61

cj

c1…cm…cj…cnCB

基b

x1…

xm

…

xj

…

xn

c1

x1b1

c2

x2

b2

：：：：：：

cm

xm

bm10…a1j…a1n00…a2j…a2n

：：：：

：：

：：01…amj

…amncj-zj0…0……所有检验数≤0，且基变量中不含人工变量时，即为最优解。当表中存在

cj–zj＞0时，如有

Pj≤0，则问题为无界解。如果都不是，下一步……第2步–最优性检验1.5.2迭代步骤062确定换入变量和换出变量第3步–换基，使目标函数值更大换入变量=进基变量=EnteringVariable根据，确定xk为换入变量换出变量=出基变量=LeavingVariable按

规则计算，可确定xl为换出变量7/16/20241.5.2迭代步骤637/16/20241.5.2迭代步骤以

alk

为主元素(pivotnumber)进行迭代，得到新的单纯形表。第3步–换基，使目标函数值更大旋转运算Pivoting64

cj

c1…cl…cm…

cj…ck…CB

基b

x1…

xl

…

xm

…

xj

…

xk…

c1

x1b1：：：

ck

xk：：：

cm

xm

bm1…0…

…0…：：：：：0…0

…

…1…

：：

：：：0…1

…

…0…cj-zj0……0……0…1.5.2迭代步骤第3步–换基，使目标函数值更大旋转运算Pivoting065例1.4

用单纯形法求解线性规划问题maxz=40x1+50x2

x1+2x2

30

3x1+2x2

60

2x2

24x1,x20s.t.第4步–重复2、3步，直到计算结束7/16/20241.5.2迭代步骤66解：首先将上述问题化为标准型：1.5.2迭代步骤7/16/202467单纯法求解cBxBbx1x2x3x4x54050000x3x4x500030602413022210001000104050000-z

153012初始单纯形表重新计算检验数，结果如下页检验数判别换基迭代非基变量检验数为计算

06850122x2501121/2036-106-11.5.2迭代步骤cBxBbx1x2x3x4x54050000x3x4001201010-1-11/2400-25-z

06

12--第2单纯形表00336101x25060-840计算

非基变量检验数为检验数判别06904061x14011018-32000-4015第3单纯形表-400701.5.2迭代步骤cBxBbx1x2x3x4x54050000x3x4012110-11/20-z

第3单纯形表00x25060-840检验数判别0700x1401018-32000-4015-400700x59-3/211/2015-1/211/2015/23/4-1/4-35/2-15/20-975检验数全非正,已经取得最优解,最优解为:X*=(15,15/2,0,0,9)TZ*=975最终单纯形表FinalSimplextableau1.5.2迭代步骤1.6单纯形法的进一步讨论前面的例子中，化为标准形式后约束条件的系数矩阵都含有单位矩阵，可以作为初始可行基。如果化为标准形式的约束条件的系数矩阵中不存在单位矩阵呢？如何建立初始单纯形表？例1.5:maxz=x1+2x2+x3

x1+4x2-2x3

120x1+x2+x3=60x1

,x2,x30s.t.7/16/20241.6单纯形法的进一步讨论72maxz=x1+2x2+x3x1+4x2-2x3-x4

=

120x1+x2+x3

=60x1

,x2,x3,x4

0s.t.可以添加两列单位向量P5

，P6，构成单位矩阵。maxz=x1+2x2+x3-Mx5

-Mx6x1+4x2-2x3-x4+x5

=

120x1+x2+x3

+x6

=

60x1,x2,x3,x4,

x5,x6

0s.t.人工变量-M罚因子7/16/20241.6.1人工变量法–大M法73

12

10-M

-M

CBXB

b

x1x2x3x4x5x6

2

x2

601

1

10010

x4

120306

1-14-10-100-2-M最终单纯形表:7/16/20241.6.1人工变量法–大M法747/16/20241.6.1人工变量法–两阶段法大M是一个很大的数,但计算机处理时取多大呢?两阶段法不用确定M具体值，可用于计算机求解。第一阶段：先求解一个目标函数中只包含人工变量的

线性规划问题，判断其有否可行解：-当人工变量取值为0时，这时的最优解就是原线性规划问题的

一个基可行解；-如果最优解的基变量中含有非零的人工变量，则原线性规划问题

无可行解。第二阶段：有可行解时去掉人工变量再求解。757/16/20241.6.1人工变量法–两阶段法maxz=x1+2x2+x3x1+4x2-2x3-x4

=

120x1+x2+x3

=60x1

,x2,x3,x4

0s.t.x1+4x2-2x3-x4+x5

=

120x1+x2+x3

+x6

=

60x1,x2,x3,x4,

x5,x6

0s.t.maxz=x1+2x2+x3-Mx5

-Mx676第一阶段的线性规划问题：minz=x5

+x6x1+4x2-2x3-x4+x5

=

120x1+x2+x3+x6

=

60x1,x2,x3,x4,

x5,x60s.t.第二阶段去除人工变量，目标函数回归到：maxz=x1+2x2+x3(maxz=-x5

-x6

)maxz=x1+2x2+x3-Mx5-Mx6从第一个阶段的最后一张单纯形表出发，继续用单纯形法计算。1.6.1人工变量法–两阶段法077例1.6:maxz=2x1+x2x1+x2

22x1+2x2

6x1,x20s.t.maxz=2x1+x2+0x3+0x4-Mx5x1+x2+x3

=

22x1+2x2-x4

+x5

=

6x1,x2,x3,x4,

x50s.t.判定无解条件:

当进行到最优表时，仍有人工变量在基中，且≠0，则说明原问题无可行解。7/16/20241.6.2无可行解78

2100-MCBXB

b

x1x2x3x4x50

x3211100-M

x56220-11cj-zj2+2M1+2M0-M02x1211100-Mx5200-2-11cj-zj0-1-2-2M-M07/16/20241.6.2无可行解79例1.7：maxz=4x1+x2-x1+x2

2x1–4x2

4x1–2x2

8x1,x20-x1+x2+x3

=2x1–4x2+x4

=

4x1–

2x2+x5

=

8x1,…,x50—当表中存在

cj–zj

＞0时有Pj≤0，则问题为无界解。7/16/20240801.6.3无界解7/16/202480

41000

CBXB

b

x1x2x3x4x50

x32-111000

x441-40100x581-2001

0410007/16/20240811.6.3无界解7/16/202481

41000

CBXB

b

x1x2x3x4x50x360-31104x141-40100x54020-11160170-400

x312001-1/23/24

x112100-121

x22010-1/21/2500009/2-17/21.6.3无界解082本问题无界。x1x2OZ=00831.6.3无界解—当所有检验数时，对某个非基变量xj

有cj-zj=0，且可以找到。—这表明可以找到另一个顶点（基可行解），其目标函数值也到达最大。—由于可行域为凸集，所以该两点连线上的点也属于可行域，且目标函数值相等。即有无穷多解。—如果所有非基变量的，则LP问题唯一解。7/16/20241.6.4无穷多最优解84例1.8:

maxz=40x1+80x2x1+2x2

30

3x1+2x2

60

2x2

24

x1,x20x1+2x2+x3

=

303x1+2x2

+x4

=

602x2+x5=

24

x1…x507/16/20241.6.4无穷多最优解85

4080000CBXBbx1x2x3x4x50x3

30121000x4603

2

0100x5240

2001040800000x361010-10

x4

363

0

01-180x2

12

01001/2(接下表)

40000-400861.6.4无穷多最优解

4080000CBXBbx1x2x3x4x5

40x161

010-10x4

1800-31280x21201001/2120000-400040x11510-1/21/200x5

900-3/21/2180x215/2

0

13/4-1/40

120000-40000871.6.4无穷多最优解X(1)=(6,12)Z(1)=1200X(2)=(15,15/2)Z(2)=1200无穷多解全部解：X=α+(1-α)

(0

α1)6151215/27/16/20241.6.4无穷多最优解88退化解：—有时存在两个以上相同的最小值，从而使下一个表的基可行解中出现一个或多个基变量等于零的退化解。7/16/20241.6.5退化和循环89例:maxz=10x1+

12x23x1+4x2

64x1+x2

23x1+2x2

3x1,x203x1+4x2+x3

=64x1+x2+x4

=

23x1+2x2+x5

=

3x1…x507/16/20241.6.5退化和循环90

1012000XBb

x1x2x3x4x5θi

0

x36341003/20x42410102/10x53320013/20101200012x23/23/411/40020x41/213/40-1/4102/130x50

3/20-1/20101810-30012x23/2011/20-1/20x41/2005/61-13/610x1010-1/302/3

1800-8/30-2/3

()()

1.6.5退化和循环退化解zmax=18x*

=(0,3/2,0,1/2,0)T但是，退化解情形有可能出现迭代计算的死循环！7/16/20241.6.5退化和循环92死循环的例子：1.6.5退化和循环093和初始基可行解相同1.6.5退化和循环094—为避免出现计算循环，可采用Bland(1974)准则:(1)当存在多个时，始终选取下标值为最小的变量作为换入变量；(2)当计算

θ值出现两个或以上相同的最小比值时，始终选取下标值为最小的变量作为换出变量；7/16/20241.6.5退化和循环95前例中，在第5张表时我们运用Bland法则，得：7/16/20241.6.5退化和循环961.7应用举例7/16/20241.7应用举例

(1)要求解问题的目标能用数值指标来表示，并且目标函数z=f(x)为线性函数；

(2)存在着多种可选方案；

(3)要达到的目标是在一定约束条件下实现的,这些约束条件可用线性等式或不等式来描述。一般来讲，一个经济、管理问题凡满足以下条件时，才能建立线性规划的模型。下面举例说明线性规划在经济管理等方面的应用。98

7/16/20241.7.1风险控制问题997/16/20241.7.1风险控制问题该问题可以表述为如下的线性规划模型：

1007/16/20241.7.1风险控制问题目标函数是带有绝对值的特殊线性规划问题，如何将其转换成一般的线性规划模型呢？

101例1.11某工厂生产三种不同型号的润滑油A，B和C，表1.28是工厂刚刚接到的一季度生产订单。已知每月生产三种润滑油的单位成本如表1.29所示，生产单位润滑油所需的工时分别为1，0.8和1.5（小时/吨）。该工厂每个月的最大生产能力均为900（小时）。若生产出来的润滑油当月不交货，每吨库存1个月的存储费分别为220，200和160元。请为该厂设计一个既保证完成订单，又使一季度生产和库存总成本最低的生产计划。7/16/20241.7.2生产库存问题102表1.28一季度生产订单（单位：吨）7/16/20241.7.2生产库存问题表1.29一季度单位生产成本（单位：元/吨）103

目标函数：总成本由生产成本和库存成本两部分构成：7/16/20241.7.2生产库存问题