初中数学二次根式的乘法与除法教学案

9.3二次根式的乘法与除法(D教学案

-教学目标：

1、让学生掌握二次根式乘除法的法则。

2、让学生能熟练应用法则进行计算。

二重点难点：

重点：难点是二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用.积的算术平方根在应用时既

要强调这部分题目中的字母为正数，但又要注意防止学生产生字母只表示正数的片面认识.

要让学生认识积的算术平方根性质与根式的乘法公式是互为逆运算的关系。综合应用性质或

乘法公式时要注意题目中的条件一定要满足.

难点：二次根式的乘除法与积与商的算术平方根的关系及应用.

三、教学过程

(-)小组展示预习情况

知识回顾：

1、二次根式的化简

4ab(a20,b，0)=,e(a20,b>0)=.

2、二次根式的乘除

⑴、二次根式的乘法法则:

4a-4b=(a^O,b^0)o

即两个二次根式相乘,将它们的相乘,根指数。

(2)、二次根式的除法法则:

包=Q20,b>0)

y[b

即两个二次根式相除,把被开方数,根指数。

(-)合作探究

1、在例题1、2中，你认为容易出错的题目(学生已经预习，可以发现问题)

例1、计算下列各题：

(1)V5•V20(2)2Va•5Vb；

解题方法总结:

例2、计算下列各题：

(1)V154-(V5•V27)⑵24疝+3而

对于例2,你还有其他解法吗？与同学交流。

2、二次根式乘除法的应用

(1)如果yfx•Jx-10=10)>那么

A、x20B、x210

C、OWxWlOD、x为全体实数

(2)下列各式计算正确的是()

A、-J5a->Ja=5a

C、VSa9=4a3D>Jx(X-5)-x/x•\lx-5

(3)下列式子中不成立的是()

A^—3y[a=«-3)。a=\/9aB、273-372=676

C、(2+6)(2-6)=1D、V2-V3=V2^3=V6

（4）等式=成立的条件是（

Vx-5

A、xW5B、x23

C、x23且xW5D、x>5

（5）下列等式中成立的是（）

A、—=V4=2B、；后=邪=3

2

C、回一百=J48+3=M=4D、G+夜=3

(2)『闹=；(3)

计算：（1）73x76=

三挑战自我：教材P123学生讨论，教师总结方法。

（四）课堂小结：

通过本节学习，你学会了什么？

（四）达标测评（见达标测评案）

（五）、布置作业：

P126习题12题

9.3《二次根式的乘除法》导学案（1）

课本内容：P122—P124

学习流程：

课前预习案

一、教材助读：

回顾课本内容，思考下列问题：

1、填空：

（1）积的算术平方根性质：

（2）商的算术算术平方根性质：

（3）把积的算术平方根与商的算术平方根性质公式逆向使用，你能得到怎样的两

个等式：____________________________

（4）你得到的等式在运算顺序上有何特点？

二、预习自测：

1,下列计算正确的是：（）

3、一一V2,>/24=

3--------------------------------

2、计算：

/AO

(1)2-\[a,5-\[b(2)--j=-(3)V2-i-5/6

V3

(4)V154-(V5-V27)(5)24而+38

三，跟踪练习：

-4V15x(--V5)

亚又2M2

2^6xy-^32xy2

yjx3+x2y

课内探究案

一、小组展示预习情况

二、合作探究

（-）在预习例题1、2时，你认为难以理解的哪一类型的题目？小组交流解答的思路。

（-）二次根式乘除法的应用

1、如果五•Jx_10=Jx（x-lO）,那么（

A、x20B、x>10

C、OWxWlOD、x为全体实数

2、下列各式计算正确的是（）

A^\[5a-y/a=5a

C、J8a9=4a3D、yJx(x-5)=y/x-\lx-5

3、下列式子中不成立的是（）

A、—3\/a=J（-3）%=\f9aB、2百・3近=6几

C、（2+我（2-拘=1D、V2.V3=J2x3=V6

心等式、反3=成立的条件是（

Vx-5

A、x¥5B、x23

C、x23且xW5D、x>5

5、下列等式中成立的是（）

A、盘="=2

B、-x/27=V9=3

23

C、质+百=J48+3=AM=4D、\/34-5/2=3

6、计算:

三：挑战者我：教材pl23比较两个数的大小

四、对标自查：

我的收获：

我的疑问：

达标检测案

1、下列计算中，正确的是（）

A、8Gx2G=16gB、50x5/=5"

C、V2x=V5D、4^x272=876

2、下列计算中，错误的是（）

A佰一4

V25-5

C、£5=-V6

V33

3、若Jx@_3）=6・,则x的取值范围是（）

A、x>0B、x23C、0<xW3D、x是一切实数

4、等式I［亘成立的条件是（）

Vx-24^2

A、x》-lB、xN2C、x>2D、x》-1且xW2

5、计算:

6、计算:

7、化简:

(1)78x18；(2)J25M；⑶治

学情分析

1.由于性质、法则和关系式较集中，在二次根式的计算、化简和应用中又相互交错，

综合运用，因此要使学生在认识过程中脉络清楚，条理分明，在教学时就一定要逐步有序的

展开.在讲解二次根式的乘法时可以结合积的算术平方根的性质，让学生把握两者的关系。

从特殊到一般总结归纳的方法，类比的方法，讲授与练习结合法，教师引导启发，按照由特

殊到一般的规律，降低学生理解的难度。

2.二次根式乘除法法则的形成过程中，由学生大胆猜测，经过思考分析讨论的过程，让

学生在交流中体会成功。注重学生对知识的形成，是学生真正成为课堂的主人,学习的主体。

积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质可以通过从特殊到一般的归纳方法，让学生

通过计算一组具体的式子，引导他们做出一般的结论。由于归纳是通过对一些个别的、特殊

的例子的研究，从表象到本质，进而猜想出一般的结论，这种思维过程对于初中学生认识、

研究和发现事物的规律有着重要的作用，所以在教学中对于培养的思维品质有着重要的作用。

3.本节课训练学生运算技能的“训练点”有两个方面：一是“用二次根式的运算法则进

行运算”，核心是有效地利用二次根式的性质和乘法法则，其中，将各式转化为最简二次根

式是关键步骤；二是运算习惯的培养，与“数感”“符号意识”等相关，具体可以从“先观

察，后计算”“先化简二次根式，后计算”“利用乘法公式进行计算”等等.

4.本节内容与以前所学的实数内容有较多的联系，在思考问题的方法上与整式的内容也

有很多相通之处，因此，教学时，应多注意前后知识的联系性，引导学生发现整式中的乘法

公式在二次根式的运算中也成立.

5.要注意算理，说明过程，书写规范.本节课学生对二次根式的计算掌握较好，在化简最

简二次根式时，还要进一步的加强训练。

效果分析

《二次根式》这一章内容并不多，但二次根式的运算在数学中占有很重要的地位，承上

启下，是数与式的连接，是低级运算和高级运算连接的重要的一环，是从一般到特殊的数学

思想的重要体现，是数学运算的基础。这一部分的教学我主要是从以下几点进行的：

1、注意了对平方根和算术平方根的复习，从而引入了二次根式的乘除法则，得到了二次根

式乘除法的计算方法，和计算公式。公式就是工具，工具顺手了工作就快就有效率。因此,

在这里让学生进行了大量的练习，熟练公式，打好基础。

2、注意了二次根式乘除法的计算公式的逆用。总结了乘法公式的逆用就是用来使“被开方

数中不含能开的尽方的因数或因式”，除法公式的逆用就是用来使“被开方数不含分母”，从

而保证了结果是最简二次根式。注重方法的传授。

3、教学中强调了前面学过的运算法则和运算律对二次根式同样适用，反映了数学理论的一

贯性，使学生在学习中感到所学并不难。在教学中，充分利用教材内容，结合实际问题提高

学生的学习积极性。

4、教学中不仅要抓整体，更要注意一些重要细节。在学生做题过程中让学生用心总结一些

简单值和特殊值的乘除和化简的方法。教材中淡化计算过程，这里也透露出教材的一个特点:

很重视学生思维上的培养，却忽视了基本计算能力的训练，似乎认为每个学生都能达到一学

就会的理想境界。基础好和反应快的学生没有问题，但并不是都是这样，教师就要让学生了

解计算过程每一步的由来。

教材分析

本章是在学习了有理数的意义和运算，算术平方根，实数以及一元一次不等式知识的基

础上，进一步学习最基本的也是最常用的无理式，即二次根式。本章主要内容包括二次根式

的概念，性质和运算。学习本章之后，不仅为以后将要学习的解直角三角形，一元二次方程

和二次函数等内容打下必要的基础，而且也是为继续学习高中数学提供了知识准备。在教材

的处理上，注重突出学生的运算法则的算理，提高学生的推理意识和能力

本节的教学重点是利用积的算术平方根与商的算术平方根的性质进行二次根式的计算

和化简.积（商）的算术平方根的性质是本节的中心内容，化简和运算都是围绕其进行的，

而运用此性质计算化简又是二次根式的化简和混合运算的基础.二次根式的计算和化简通常

与如勾股定理等几何方面的知识综合在一起.

本节难点：1。二次根式的乘法（除法）与积（商）的算术平方根的关系及应用•积的算

术平方根在应用时既要强调这部分题目中的字母为正数，但又要注意防止学生产生字母只表

示正数的片面认识.要让学生认识到积的算术平方根性质与根式的乘法公式是互为逆运算的

关系•综合应用性质或乘法公式时要注意题目中的条件一定要满足.

2.积的算术平方根的性质和商的算术平方根及比较大小等内容都可以通过从特殊到一

般的归纳方法，让学生通过计算一组具体的式子，引导他们做出一般的结论。由于归纳是通

过对一些个别的、特殊的例子的研究，从表象到本质，进而猜想出一般的结论，这种思维过

程对于初中学生认识、研究和发现事物的规律有着重要的作用，所以在教学中对于培养的思

维品质有着重要的作用。

二次根式运算是初中数学的重要内容，也是历年来中考的必考内容.有些题目用常规方

法解决比较繁琐，但若能抓住题目自身特点，灵活运用不同的方法和技巧，就能化繁为简，

化难为易，事半功倍.

达标检测案

1、下列计算中，正确的是（）

A、873x273=1673B、5^x572=576

C、V2x\/3=非1)、473x272=876

2、下列计算中，错误的是（）

人、V件25，5

3、若Jx（x-3）=«•Jx-3，则x的取值范围是（）

A、x20B、x23C、0WxW3D、x是一切实数

)

C、x>2D、x，-l旦x22

7、化简:

(1)78x18；(2)J25加；⑶瑞;

8、若非=a,后=b,则J谅的值用a,b可以表示为（)

a+bh-aahb_

A、B、C、I)、

"To"Toa

9、把oj-：的根号外的因式移到根号内为.

课后反思

今天通过学习二次根式的乘除法，使我感觉到类比的数学思想在数学中的重要性。

前面我们已经学习了最简二次根式、合并同类二次根式以及二次根式的加减法，今天我们进

一步学习二次根式的乘除法。在二次根式的乘除法运算法则的学习和应用的过程中，渗透分

析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和学习兴趣。本节课在学生学习过程

中对二次根式的乘除法法则理解上问题不大，但常常忘记运算结果需要化简，结果不能化成

最简二次根式，此外被开方数是多项式的乘除法运算上容易出错，尽管课堂上反复练习但还

是有人出错。因此，这部分内容只能多做多发现问题，让学生多比较，从而认识到自己的错

误所在八教学中不仅要抓整体，更要注意一些重要细节。在学生做题过程中让学生用心总

结一些简单值和特殊值的乘除和化简的方法。教材中淡化计算过程，这里也透露出教材的一

个特点：很重视学生思维