2005年全国初中数学竞赛（广西赛区）复赛试卷

2005年全国初中数学竞赛（广西赛区）复赛试卷一、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）1．（6分）有理数，，，使，则的最大值是．2．（6分）已知一个菱形的一条对角线的长是另一条对角线的长的两倍，如果这个菱形的面积是，则这个菱形的边长为．3．（6分）二次函数的图象如图所示，则化简二次根式的结果是．4．（6分）在一个圆形时钟的表面，表示秒针，表示分针为两针的旋转中心）若现在时间恰好是12点整，则经过秒钟后，的面积第一次达到最大．5．（6分）有两副扑克牌，每副牌的排列顺序是：第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色的牌又按，2，3，，，的顺序排列，某人把按上述排列的两副扑克牌上下叠放在一起，然后从上到下把第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三张丢掉，把第四张放在最底层，如此下去，直到最后只剩下一张牌，则所剩的这张牌是．二、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．（6分）如图，有一矩形纸片，，，将纸片折叠，使边落在边上，折痕为，再将以为折痕向右折叠，与交于点，则的面积为A．4 B．6 C．8 D．107．（6分）若，是实数），则的值一定是A．零 B．负数 C．正数 D．整数8．（6分）已知点是锐角三角形的内心，，，分别是点关于，，的对称点，若点在△的外接圆上，则等于A． B． C． D．9．（6分）设，利用等式，则与最接近的正整数是A．18 B．20 C．24 D．2510．（6分）设、是正整数，且满足，，则等于A．171 B．177 C．180 D．182三、解答题（共3小题，满分60分）11．（20分）某商店出售铅笔，每支售价为0.20元，一打支）售价为2.00元，如果一次买10打以上，可按每打1.80元付款．（1）某班共有59人，每人都需要1支铅笔，则该班集体购买时最少需要付多少元？（2）某年级共有203人，每人都需要1支铅笔，则该年级集体购买时最少需要付多少元？12．（20分）如图，是锐角三角形，以为直径作，是的切线，从上一点作的垂线交的延长线于，若．求证：．13．（20分）已知关于的一元二次方程的两个根均为整数，求所有满足条件的实数的值．

2005年全国初中数学竞赛（广西赛区）复赛试卷参考答案与试题解析一、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）1．（6分）有理数，，，使，则的最大值是2．【分析】根据绝对值的运用判断出有理数，，，中负数的个数，然后分别讨论求出最大值．【解答】解：，有理数，，，中负数为奇数个．①若有理数，，，有一个负三个正，则；②若有理数，，，有三个负一个正，则；所以的最大值是2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了绝对值的运用，采用分类讨论的思想进行解题．2．（6分）已知一个菱形的一条对角线的长是另一条对角线的长的两倍，如果这个菱形的面积是，则这个菱形的边长为．【分析】设菱形的对角线长为、，则，即可计算的值，根据勾股定理即可求出的值，即可解题．【解答】解：设菱形的对角线长、则解得，即，，菱形对角线互相垂直平分，，，故答案为．【点评】本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中运用勾股定理求的值是解题的关键．3．（6分）二次函数的图象如图所示，则化简二次根式的结果是．【分析】根据二次函数的图象确定，，的取值范围后再化简二次根式．【解答】解：由图知，二次函数的图象的开口向上，，与轴交于轴的负半轴，，对称轴在一象限，，，则，图象过点，因此，，，所以原式．故答案为：．【点评】本题利用了二次函数的图象确定，，的取值范围后再化简二次根式，难度不大，注意二次根式的结果为非负数．4．（6分）在一个圆形时钟的表面，表示秒针，表示分针为两针的旋转中心）若现在时间恰好是12点整，则经过秒钟后，的面积第一次达到最大．【分析】设边上的高为，则，所以，当时，等号成立，此时的面积最大．【解答】解：设经过秒时，与第一次垂直，又因为秒针1秒钟旋转6度，分针1秒钟旋转0.1度，于是，解得．故经过秒钟后，的面积第一次达到最大．故答案为：．【点评】通过钟表秒针与分针所成三角形的面积的最值考查了它们的夹角．表示秒针，表示分针，当时，此时的面积最大．5．（6分）有两副扑克牌，每副牌的排列顺序是：第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色的牌又按，2，3，，，的顺序排列，某人把按上述排列的两副扑克牌上下叠放在一起，然后从上到下把第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三张丢掉，把第四张放在最底层，如此下去，直到最后只剩下一张牌，则所剩的这张牌是第二副牌中的方块6．【分析】经过实验可知，扑克牌为张时，总能剩下牌的最后一张，那么108张牌，先数出44张后，还剩张，那么数出44张后的最后一张牌就是所剩的牌．【解答】解：根据题意，如果扑克牌的张数为2、、、，那么依照上述操作方法，剩下的一张牌就是这些牌的最后一张，例如：手中只有64张牌，依照上述操作方法，最后只剩下第64张牌，现在手中有108张牌，多出（张，如果依照上述操作方法，先丢掉44张牌，那么此时手中恰有64张牌，而原来顺序的第88张牌恰好放在手中牌的最底层，这样，再继续进行丢、留的操作，最后剩下的就是原顺序的第88张牌，按照两副扑克牌的花色排列顺序，所剩的最后一张牌是第二副牌中的方块6．故答案为：第二副牌中的方块6．【点评】考查推理与论证；理解操作方法是解决本题的突破点；得到所剩牌的规律是解决本题的难点．二、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．（6分）如图，有一矩形纸片，，，将纸片折叠，使边落在边上，折痕为，再将以为折痕向右折叠，与交于点，则的面积为A．4 B．6 C．8 D．10【分析】显然，关键是求的长．根据两次折叠后的图形中得比例线段求解．【解答】解：由图可知经过两次折叠后（最右边的图形中），，．，．．，，．，．．故选：．【点评】已知折叠问题就是已知图形的全等，然后将所要用到的线段进行适当的转换即可得出结果．7．（6分）若，是实数），则的值一定是A．零 B．负数 C．正数 D．整数【分析】本题可将进行适当变形，将的表达式转换为几个完全平方式的和，然后根据非负数的性质来得出的取值范围．【解答】解：，，．故选：．【点评】本题主要考查了非负数的性质，将的表达式根据完全平方公式的特点进行变形是解答本题的关键．8．（6分）已知点是锐角三角形的内心，，，分别是点关于，，的对称点，若点在△的外接圆上，则等于A． B． C． D．【分析】首先根据题目说明勾勒如图所示．通过图很容易知道为的内切圆半径）．在中，利用直角三角形性质，斜边是直角边的2倍，则该直角边所对的角为．即可知．同理，，于是．问题得解．【解答】解：为的内切圆半径）点同时是△的外接圆的圆心设与的交点为，则同理，，于是故选：．【点评】本题考查三角形的内切圆与内心、三角形外接圆与外心、直角三角形的性质．解决本题的关键是首先根据题意画出几何图形，再将求角大小转化为在直角三角形中求角的大小．9．（6分）设，利用等式，则与最接近的正整数是A．18 B．20 C．24 D．25【分析】利用等式，代入原式得出数据的规律性，从而求出．【解答】解：利用等式，代入原式得：而故选：．【点评】此题主要考查了数的规律，关键是运用已知发现规律，题目规律性比较强．10．（6分）设、是正整数，且满足，，则等于A．171 B．177 C．180 D．182【分析】本题可先根据两个不等式解出、的取值范围，根据、是整数解得出、的可能取值，然后将、的值代入中解出即可．【解答】解：，，即；又，；，，即；由题设、是正整数得，或31；①当时，由，得：，这样的正整数不存在．②当时，由，得，所以，所以．故选：．【点评】本题主要考查了不等式的解法，根据、的取值范围，得出、的整数解，然后代入解出．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．三、解答题（共3小题，满分60分）11．（20分）某商店出售铅笔，每支售价为0.20元，一打支）售价为2.00元，如果一次买10打以上，可按每打1.80元付款．（1）某班共有59人，每人都需要1支铅笔，则该班集体购买时最少需要付多少元？（2）某年级共有203人，每人都需要1支铅笔，则该年级集体购买时最少需要付多少元？【分析】（1）根据题意知，班级共有59人有两种方案可以实行，可买5打或4打加9支，分别求出需要多少钱，（2）由于，于是可以这样买：买17打或16打加11支，求出两种买法所需要的钱．【解答】解：（1）一共需要买59支，可以买5打或4打加9支，前者需要付款：（元，后者需要付款：（元，，最少需要付9.8元．答：最少需要付9.8元．（2）一共需要买203支，，可以买17打或16打加11支，前者需要付款：（元，后者需要付款：（元，，最少需要付30.6元．答：最少需要付30.6元．【点评】本题主要考查应用类问题的知识点，解答本题的关键是熟练理解题意，此题难度不大．12．（20分）如图，是锐角三角形，以为直径作，是的切线，从上一点作的垂线交的延长线于，若．求证：．【分析】连接，根据为的直径，求证利用其对应边成比例得，再利用切割线定理得出，然后利用等量代换即可．【解答】证明：如图，设交于点．连接，为的直径，，，，，，，，，，即，切于，为割线，，即．【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质和切割线定理的理解和掌握，证明此题的关键是作好辅助线：连接，求证出，和，这是此题的突破点．此题有一定难度，属于难题．13．（20分）已知关于的一元二次方程的两个根均为整数，求所有满足条件的