2015-2016学年沪科版初中九年级数学上册教案全册

21.1二次函数

课型：新课

教学目标：(1)能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变

量的取值范围。

(2)注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯

重点难点：能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量

的取值范围。

教学准备：投影仪

课时安排：

一课时

课时目标:

共享预案个性调整

教学过程

一、试一试

1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm,先取x的一

些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym?.试

将计算结果填写在下表的空格中，

AB长x(m)123456789

BC长(m)12

面积yin?)48

2.x的值是否可以任意取?有限定范围吗？

3.我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随

之确定，y是x的函数，试写出这个函数的关系式，

对于1.,可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的

BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提

出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的

问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达

成共识：当AB的长为5cm,BC的长为10m时，围成的矩形面积

最大；最大面积为50m2o

对于2,可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意

见。形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0

<x<10o

对于3,教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少

m?(2)面积y等于多少？并指出y=x(20-2x)(0<x<10)就是

所求的函数关系式.

二、提出问题

某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，■

天可销出约100件.该店想通过降低售价、增加销售量的办法

来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0/元,

1

其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销

售利润最大？

在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答：

1.商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系？

[利润=(售价一进价)X销售量]

2.如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的

利润是多少元？

[10—8=2(元),(10—8)X100=200(元)]

3.若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一

天可销售约多少件商品？

[(10-8-x)；(100+100x)1

4.x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范

围，

[x的值不能任意取，其范围是0WxW2]

5.若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。

[y=(10-8-x)(100+100x)(0WxW2)]

将函数关系式y=x(20-2x)(0<x<10=化为：

y=-2x2+20x(0<x<10).....................(1)

将函数关系式y=(10—8—x)(100+100x)(0<x<2)化为：

y=-100x2+100x+20D(0WxW2)...............(2)

三、观察；概括

1.教师引导学生观察函数关系式(1)和(2),提出以下问题让

学生思考回答；

(1)函数关系式(1)和(2)的自变量各有几个？

(各有1个)

(2)多项式-2x2+20和-100x2+100x+200分别是几次多项

式？

(分别是二次多项式)

(3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点？

(都是用自变量的二次多项式来表示的)

(4)本章导图中的问题以及P1页的问题2有什么共同特点？

让学生讨论、交流，发表意见，归结为：自变量X为何值时，

函数y取得最大值。

2.二次函数定义：形如y=ax?+bx+c(a、b、、c是常数，

aWO)的函数叫做x的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫

做一次项的系数，c叫作常数项.

四、课堂练习

L(口答)下列函数中，哪些是二次函数？

(l)y=5x+l(2)y=4x2-l

(3)y=2x:,-3x2(4)y=5x'1-3x+l

2.P3练习第1,2题。

五、小结

2

1.请叙述二次函数的定义.

2,许多实际问题可以转化为二次函数来解决，请你联系生

活实际，编一道二次函数应用题，并写出函数关系式。

六、作业布置

教材P4习题23.12,3,4,5,6

其他：

板书设计：

教学反思：

3

21.2二次函数丫=2*2的图象（1）

课型：新课

教学目标：（一）知识教学点：1.使学生知道二次函数的意义；2.使学生会用描点法

画出二次函数y=x2的图象，并结合y=x2的图象，初步理解抛物线及其有关概念.

（二）能力训练点：1.进一步培养学生用描点法画函数图象的能力；2.向学生进

行数形结合的数学思想方法的教育.

（三）德育渗透点：通过对儿个特殊的二次函数的讲解，向学生进行一般与特殊的

辩证唯物主义教育.

重点难点：1.教学重点：二次函数的意义及二次函数y=x2的图象的画法.因为它

们是研究二次函数的重要基础.

2.教学难点：正确画出二次函数y=x2的图象.因为它的图象是一条曲线，画起来

较复杂，而且学生在画图之前，尚不清楚二次函数y=x2的图象的具体形状和变化趋势,

所以不易把握.

教学准备：投影仪

课时安排：

一课时

课时目标：

共享预案个性调整

教学过程

（-）明确目标

我们已经在介绍了函数的一些基本知识的基础上介绍了一

种特殊的函数次函数（包括正比例函数），从今天开始，

我们将来介绍另一种特殊的函数——二次函数.（板书）

（-）整体感知

首先，我们来看两个实际问题：（出示幻灯）

4

1.圆的半径是R,它的面积为S,你能否写出S与R之

间的函数关系式？

这个问题由学生举手回答，可找层次较低的学生完成，培

养他们的参与意识和自信心.然后把答案写在黑板上留用.

2.已知一个矩形场地的周长是60,一边长为/,请你写出

这个矩形场地的面积S与这条边长之间的函数关系式.

这个问题其实就是13.2中的例1,可由学生得出结论，

若学生给出的是S=/(30-/),再继续提问：你能否把函数关

系式中的括号去掉？然后把所得的结论写在黑板上.

提问：比较S=sR2与S=30/-/2这两个函数，都是用自

变量的儿次式来表示的？

用这个问题，引出二次函数，在学生回答之后，教师加以

总结，板书：

一般地，如果y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，aWO),那

么，y叫做x的二次函数.

提问：1.上述概念中的a为什么不能是0?

2.对于二次函数y=ax2+bx+c中的b和c可否为0?若b

和c各自为0或均为0,上述函数的式子可以改写成怎样？你

认为它们还是不是二次函数？

3.由问题1和2,你能否总结：一个函数是否是二次函数，

关键看什么？

由这三个问题加深学生对二次函数意义的理解，也同时给

出了二次函数的三个特例：y=ax2+bx(aWO)；y=ax2+c(aW

0)；y=ax2(aWO),使学生深刻理解：看一个函数是否是二

次函数的关键是看二次项的系数是否为0.

4.二次函数的解析式，与我们所学过的什么知识相类似？

通过这个问题，使学生能把二次函数与一元二次方程初步

搭上联系即可，为以后的教学做好铺垫.

5

练习题1、2口答，注意第1题要让学生说明不是二次函数

的原因.

提问：根据我们所学知道，一次函数的图象是条直线，那

么二次函数的图象又是什么样的呢？

这个问题主要是为了引起学生的兴趣，不必回答，教师也

不用给出答案.

我们研究任何问题都最好由最简单的入手，根据刚才对二

次函数的介绍，你认为最简单的二次函数是什么？

这个问题一方面可以使学生自然过渡到要先研究y=x2.另

一方面也使同学认识到研究问题要由简到繁的基本方法.

所以第三个问题是，由我们学习的画函数的图象方法与步

骤，我们应怎样画二次函数y=x2的图象呢？

可由学生先回答画函数图象的三个步骤：（1）列表；（2）

描点；（3）连线.然后分步骤来研究这个图象的方法.

（1）列表：①自变量X的取值范围是什么？

②要画这个图，你认为X取整数还是取其它数较好？

③看X2,它是一个数的平方形式，它的结论与X的值有什

么关系？

学生可能有多种答法，引导学生回答：当X取互为相反数

时，X2的值相同.

④若选7个点画图，你准备怎样选？

通过这4个问题可以使学生很顺利地想到为什么要先取书

上给出的这7个点，而且也使学生初步学会画二次函数图象时

选点的技巧.

（2）描点：①在画坐标系时x轴的正、负半轴和y轴的正、

负半轴是否都要画一样的长？

②怎样画就可以了呢？

6

答：X轴的正，负半轴画的一样长，y的正半轴画的较长，

负半轴画的较短就可以.

通过这两个问题可培养学生的作图技巧.

（2）连线：①观察这7个点的位置，它们是否在一条直线

上？

②我们应怎样连接这7个点？

让学生先连一次试试，然后教师演示.关于原点附近的变

化趋势，最好能用动画演示，增强学生的直观认识，或看书也

可以.

注意：我们所画的只是近似图象.

接下来，让学生观察这个函数图象提问：

1.函数y=x2的图象有什么特点？

答：是轴对称图形.

2.你是怎样判断函数y=x2的图象有上述特征的？

这个问题，按不同的层次，有三种得出方法：（1）观察图；

（2）看列表；（3）直接根据解析式，看学生层次定讲解的深

度.

学生回答完上面的问题之后就可指出：函数y=x2的图象是

一条关于y轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线.实际上，二

次函数的图象都是抛物线.

（板书）

在此处，可大致解释一下抛物线是由物理中的问题而来的，

不要深讲.

再结合图象指出：抛物线y=x2是开口向上的，y轴是它的

对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，即（0,0）

点.

关于抛物线的顶点，可按不同层次的学生进行不同层次的

解释：

7

从图象上直观得到：抛物线y=x2的顶点是图象的最低点；

从解析式上看，当x=0时，y=x2取得最小值0,（0,0）就是

抛物线y=x2的顶点坐标.

（三）重点、难点的学习与目标完成过程

本节课的重点是二次函数的意义及二次函数y=x2的图象的

画法.为了使学生知道二次函数的意义，首先用了两个生活中

的实际问题，引出两个解析式，而这两个解析式的共同特征就

是它们都是用自变量的二次式表示的，由此得到二次函数的意

义.为了能使学生有更深一步的认识，通过对y=ax2+bx+c中a,

b,c的取值的剖析，得到三个特殊的二次函数，也让学生明确

了判断二次函数的本质问题.而对二次函数y=x2的图象，教师

更是步步设疑，用一个个的问题，帮助学生进行分析、总结画

图的方法，整个过程都很自然而且梯度较好，适合学生理解，

最后又如图归纳得出所有二次函数的图象都是抛物线，使学生

的认识更上一层.通过动画演示抛物线在原点附近的变化趋势，

既提高了学生的学习兴趣，又使学生很直观地看到图形的得出，

更容易接受和记忆.

（四）总结，扩展

教师提问，学生思考回答：

1.你能否说清二次函数的意义？

注意总结：（1）函数解析式关于自变量是整式；（2）自

变量的最高次数是2.

2.二次函数y=x2的图象是什么形状的？它的开口方向,对称轴，

顶点坐标各是什么？

四、布置作业：课本习题第10页.1,2

五、板书设计

二次函数丫=2*2的图象（一）

引例：（1）s=函数y=x2的与函数y=x2的图象有

图象：关的知识：

JTRD2;

8

(2)(1)抛物线：

s=30/-/2----o

二次函数意

义：

特例：

(2)开口方向，对称

轴，顶点：

板书设计：

教学反思：

21.2二次函数丫=2*2的图象和性质(2)

课型：新课

教学目标：1、使学生会用描点法画出丫=2r的图象，理解抛物线的有关概念。

2、使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良

好思维习惯

重点难点：重点：使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax?的图

象是教学的重点。难点：用描点法画出二次函数y=ax?的图象以及探索二次函数性质是

教学的难点。

教学准备：投影仪

课时安排：

一课时

课时目标:

9

共享预案个性调整

教学过程：

一、提出问题

1,同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的？

(先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次

函数的性质)

2.我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的

性质呢?如果可以，应先研究什么？

(可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，

应先研究二次函数的图象)

3.一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么？

二、范例A

例1、画二次函数y=ax2的图象。\9j/

解：(1)列表：在x的取值范围内\I/

列出函数对应值表：Vt/

■1.iI1j1

-4-3-2-1|0234"

X・・・-3-2-10123・・・

y・・・9410149・・・

(2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐

标，在平面直角坐标系中描点

(3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x?的

图象，如图所示。

提问：观察这个函数的图象，它有什么特点？

让学生观察，思考、讨论、交流，归结为：它有一条对称

轴，且对称轴和图象有一点交点。

抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。

顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.

三、做一做

1.在同一直角坐标系中，画出函数y=x?与y=-x?的图象，

观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别？

2.在同一直角坐标系中，画出函数y=2x?与y=-2x'的图象，

观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么？

3.将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么？

对于1,在学生画函数图象的同时，教师要指导中下水平的学

生，讲评时，要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点。

两个函数图象的共同点以及它们的区别，可分组讨论。交流，

让学生发表不同的意见，达成共识，两个函数的图象都是抛物

线，都关于y轴对称，顶点坐标都是(0,0),区别在于函数y=x?

的图象开口向上，函数y=-x?的图象开口向下。

10

对于2,教师要继续巡视，指导学生画函数图象，两个函数

的图象的特点；教师可引导学生类比1得出。

对于3,教师可引导学生从1的共同点和2的发现中得到结

论：四个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，它的顶点

坐标都是(0,0).

四、归纳、概括

函数y=x'y=-x\y=2x\y=-2x,是函数y=ax?的特例，由函数

y=x\y=-x\y=2x\y=-2x?的图象的共同特点，可猜想:

函数y=ax?的图象是一条,它关于对称，它

的顶点坐标是o

如果要更细致地研究函数y=ax2图象的特点和性质，应如何

分类？为什么？

让学生观察y=x2、y=2x?的图象，填空；

当a>0时，抛物线y=ax?开口,在对称轴的左边，曲

线自左向右；在对称轴的右边，曲线自左向右—

—是抛物线上位置最低的点。

图象的这些特点反映了函数的

什么性质？

先让学生观察下图，回答以下

问题；

(1)XA>设大小关系如何?是否都

小于0?

(2)弘、yB大小关系如何?

⑶及、一大小关系如何?是否都

大于0?

(4)yc>外大小关系如何?

(XRXB，且XWO,XB<0；yA>yB；XC<XD,且一>0,XD>0,yc<yD)

其次，让学生填空。

当X<0时，函数值y随着x的增大而,当X>0时，

函数值y随X的增大而______；当乂=时，函数值y=ax?

(a〉0)取得最小值，最小值y=

以上结论就是当a>0时，函数y=ax2的性质。

思考以下问题：

观察函数y=-x\y=-2x?的图象，试作出类似的概括，当

a<0时，抛物线y=ax?有些什么特点?它反映了当a〈O时，函数

y=ax?具有哪些性质？

让学生讨论、交流，达成共识，当a<0时，抛物线y=ax2

开口向上，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的

右边，曲线自左向右下降，顶点抛物线上位置最高的点。图象

的这些特点，反映了当a〈0时，函数y=ax，的性质；当x<0时，

函数值y随x的增大而增大；与x>0时，函数值y随x的增大

而减小，当x=0时，函数值y=ax?取得最大值，最大值是y=0。

五、课堂练习：P10练习1、2、3、450

11

六、小结：

1.如何画出函数y=ax?的图象？

2.函数y=ax2具有哪些性质？

六、作业布置

教材PH.5

板书设计：

教学反思：

21.3二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

课型：新课

教学目标1.使学生能利用描点法画出二次函数y=a(x—hT的图象。

2.让学生经历二次函数y=a(x—h)2性质探究的过程，理解函数y=a(x—h)2的性

质，理解二次函数y=a(x—h)2的图象与二次函数y=ax?的图象的关系。

重点难点：重点：会用描点法画出二次函数y=a(x—h尸的图象，理解二次函数y=a(x

一hT的性质，理解二次函数y=a(x—h)2的图象与二次函数y=ax?的图象的关

系是教学的重点。

难点：理解二次函数y=a(x—hT的性质，理解二次函数y=a(x—h)?的图象与二

次函数y=ax?的图象的相互关系是教学的难点。

12

教学准备：投影仪

课时安排：

第一课时

课时目标：

共享预案个性调整

教学过程：

一、提出问题

1.在同一直角坐标系内，画出二次函数y=-gx'',y=一；x。一1

的图象，并回答：

(1)两条抛物线的位置关系。

(2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。

(3)说出它们所具有的公共性质。

2.二次函数y=2(x—1尸的图象与二次函数y=2x?的图象的

开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间

有什么关系？

二、分析问题，解决问题

问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题？

(画出二次函数y=2(x—l)2和二次函数y=2x?的图象，并加

以观察)

问题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y=2x2与y

=2(x-l)z的图象吗？

教学要点

1.让学生完成下表填空。

・・

X•-3-2-10123•

y=2x?

2(x—1)'

2.让学生在直角坐标系中画出图来：3.教师巡视、指导。

问题3：现在你能回答前面提出的问题吗？

教学要点

1.教师引导学生观察画出的两个函数图象.根据所画出的图

象，完成以下填空：

开口方向对称轴顶点坐标

y=2x2

13

y=2(x—I)2

2.让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，

达成共识：函数y=2(x—l)2与y=2x?的图象、开口方向相同、

对称轴和顶点坐标不同；函数y=2(x-l)2的图象可以看作是函

数y=2x?的图象向右平移1个单位得到的，它的对称轴是直线

x=l,顶点坐标是(1,0)。

问题4：你可以由函数y=2x?的性质，得到函数y=2(x—

I)?的性质吗？

教学要点

L教师引导学生回顾二次函数y=2x，的性质，并观察二次

函数y=2(x—1尸的图象；

2.让学生完成以下填空：

当x_____时，函数值y随x的增大而减小；当x_____时，

函数值y随x的增大而增大;当x=_____时,函数取得最—

值y=_____o

三、做一做

问题5：你能在同一直角坐标系中画出函数y=2(x+l)2与函数

y=2x?的图象，并比较它们的联系和区别吗？

教学要点

1.在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导；

2.请两位同学上台板演，教师讲评；

3.让学生发表不同的意见，归结为：函数y=2(x+l)2与

函数y=2x?的图象开口方向相同，但顶点坐标和对称轴不同；

函数y=2(x+lT的图象可以看作是将函数y=2x2的图象向左

平移1个单位得到的。它的对称轴是直线x=-1,顶点坐标是

(―1,0)o

问题6；你能由函数y=2x?的性质，得到函数y=2(x+l)2

的性质吗？

教学要点

让学生讨论、交流，举手发言，达成共识：当xV—1时，

函数值y随x的增大而减小；当x>一1时，函数值y随x的增

大而增大；当x=-1时，函数取得最小值，最小值y=0。

问题7：在同一直角坐标系中，函数y=-；(x+2)z图象与

函数y=一:六的图象有何关系？

(函数y=一1(x+2)2的图象可以看作是将函数y=一的

图象向左平移2个单位得到的。)

问题8：你能说出函数y=—；(x+2)2图象的开口方向、对

称轴和顶点坐标吗？

14

(函数y=一；(x十2产的图象开口向下，对称轴是直线x=

-2,顶点坐标是(—2,0))。

问题9：你能得到函数y=；(x+2)2的性质吗？

教学要点

让学生讨论、交流，发表意见，归结为：当xV—2时，函

数值y随x的增大而增大；

当x＞一2时，函数值y随工的增大而减小；当x=-2时，函

数取得最大值，最大值y=0。

四、课堂练习：P1,12练习1、2、3

五、小结：

1.在同一直角坐标系中，函数y=a(x—h)2的图象与函数y=

ax?的图象有什么联系和区别？

2.你能说出函数y=a(x—h)2图象的性质吗？

3.谈谈本节课的收获和体会。

六、作业布置

教材P12习题2,3

板书设计：

教学反思：

21.3二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

课型：新课

教学目标：1.使学生理解函数y=a(x—h)?+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。

2.会确定函数y=a(x—hT+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。

3.让学生经历函数y=a(x—h)?+k性质的探索过程，理解函数y=a(x—h)?+k的性质。

重点难点：重点：确定函数y=a(x—h)?+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理

解函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax?的图象之间的关系，理解函数y=a(x

-h)2+k的性质是教学的重点。

难点：正确理解函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及

15

函数y=a(x—h)2+k的性质是教学的难点。

教学准备：投影仪

课时安排：

第二课时

课时目标：

共享预案个性调整

教学过程：

一、提出问题

1.函数y=2x?+l的图象与函数y=2x?的图象有什么关系？

(函数y=2x?+l的图象可以看成是将函数y=2x?的图象向上

平移一个单位得到的)

2.函数y=2(x—l)2的图象与函数y=2(的.图象有什么关系？

(函数y=2(x—1尸的图象可以看成是将函数y=2x?的图象

向右平移1个单位得到的，见P10图26.2.3)

3.函数y=2(x—l)2+l图象与函数y=2(x—l)2图象有什么关

系？函数y=2(x-l)2+l有哪些性质？

二、试一试

你能填写下表吗？

y=2x2向右平向上平移

移y=2(x—1个单位y=2(x—f

的图象1个单的图②

位

方向上

由y轴

、、(0,0)

问题2：从上表中，你能分别找到函数y=2(x—l)?+l与函

数y=2(x—l)2、y=2x?图象的关系吗？

问题3：你能发现函数y=2(x—l)2+l有哪些性质？

对于问题2和问题3,教师可组织学生分组讨论，互相

交流，让各组代表发言，达成共识；

函数y=2(x—l¥+l的图象可以看成是将函数y=2(x—

的图象向上平称1个单位得到的，也可以看成是将函数

y=2x?的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的。

当x<l时，函数值y随x的增大而减小，当x>l时，

函数值y随x的增大而增大；当x=l时，函数取得最小值，

最小值y=l°

三、做一做

问题4：在图26.2.3中，你能再画出函数y=2(x—l)2—2

的图象，并将它与函数y=2(x—1尸的图象作比较吗？

16

教学要点

1.在学生画函数图象时，教师巡视指导；

2.对“比较”两字做出解释，然后让学生进行比较。

问题5：你能说出函数y=-^(x-l)2+2的图象与函数

y=一的图象的关系，由此进一步说出这个函数图象的开口

方向、对称轴和顶点坐标吗？

(函数y=—：(x—l)2+2的图象可以看成是将函数y=一(

O0

Xz的图象向右平移一个单位再向上平移2个单位得到的，其

开口向下，对称轴为直线x=l,顶点坐标是(1,2)

四、课堂练习：P13练习1、2、3、4。

对于练习第4题，教师必须提示：将一3x2—6x+8配方，

化为练习第3题中的形式，即

y=—3x2—6x+8=—3(x2+2x)+8=—3(x2+2x+1—1)

+8=-3(X+1)2+11

五、小结

1.通过本节课的学习，你学到了哪些知识？还存在什么困惑？

2.谈谈你的学习体会。

六、作业布置

教材P16习题5

板书设计：

教学反思：

21.3二次函数y=ax?+bx+c的图象和性质

课型：新课

教学目标：1.使学生掌握用描点法画出函数y=ax?+bx+c的图象。

2.使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

3.让学生经历探索二次函数y=ax?+bx+c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及

性质的过程，理解二次函数y=ax2+bx+c的性质

重点难点：重点：用描点法画出二次函数y=ax2+bx+c的图象和通过配方确定抛物线

的对称轴、顶点坐标是教学的重点。

17

难点：理解二次函数y=ax?+bx+c(aWO)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别

„bb4ac-b\„.,.

是*=一五、(z—―,)是教字的难点。

2a2a4a

教学准备：投影仪

课时安排：

第三课时

课时目标：

共享预案个性调整

教学过程：

一、提出问题

1.你能说出函数y=-4(x—2)?+l图象的开口方向、对称

轴和顶点坐标吗？

(函数y=-4(x—2¥+l图象的开口向下，对称轴为直线x

=2,顶点坐标是(2,1)。

2.函数y=—4(x—2)2+1图象与函数y=-4x，的图象有

什么关系？

(函数y=-4(x-2)2+l的图象可以看成是将函数y=-

4r的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的)

3.函数y=-4(x—2)z+l具有哪些性质？

(当x<2时，函数值y随x的增大而增大，当x>2时，函

数值y随x的增大而减小；当x=2时，函数取得最大值，最大

值y=D

4.不画出图象，你能直接说出函数y=-5x?+x—5的图象

的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？

151

[因为y=-5(+x—5=—5(x—I),—2,所以这个函数的图

象开口向下，对称轴为直线x=l,顶点坐标为(1,-2)]

15

5.你能画出函数y=-jx2+x—a的图象，并说明这个函数

具有哪些性质吗？

二、解决问题

由以上第4个问题的解决，我们已经知道函数y=-1x2+x

5

一改的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。根据这些特点，可

以采用描点法作图的方法作出函数y=-5x?+x—5的图象，进

而观察得到这个函数的性质。

解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表；

18

X一2-101234

y…1-41-21-41

~62-22-22~62

⑵描点:用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面直角

坐标系中描点。

(3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y=-1x2

5

+x—j的图象。

说明：(1)列表时，应根据对称轴是X=l,以1为中心，对

称地选取自变量的值，求出相应的函数值。相应的函数值是相

等的。

(2)直角坐标系中x轴、y轴的长度单位可以任意定，且允

许x轴、y轴选取的长度单位不同。所以要根据具体问题，选取

适当的长度单位，使画出的图象美观。

让学生观察函数图象，发表意见，互相补充，得到这个函

数韵性质；

当xVl时，函数值y随x的增大而增大；当x>l时，函

数值y随x的增大而减小；

当x=l时，函数取得最大值，最大值y=-2

三、做一做

1.请你按照上面的方法，画出函数y=1x2-4x+10的图象,

由图象你能发现这个函数具有哪些性质吗？

教学要点

(1)在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导；

(2)叫一位或两位同学板演，学生自纠，教师点评。

2.通过配方变形，说出函数y=-2x?+8x—8的图象的开

口方向、对称轴和顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值?这

个值是多少？

教学要点

(1)在学生做题时，教师巡视、指导；(2)让学生总结配方

的方法；(3)让学生思考函数的最大值或最小值与函数图象的开

口方向有什么关系?这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系？

以上讲的，都是给出一个具体的二次函数，来研究它的图

象与性质。那么，对于任意一个二次函数y=ax2+bx+c(aWO),

如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标?你能把结果

写出来吗？

教师组织学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，

达成共识；

y=ax2+bx+c=a(x2+^x)+c=a[x2+^x+(^)2—(^)2]

19

+c=a[x'+-x++c—

a2a4a

=a(x+%+4ac—4

(十2a，,4a

当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下。

h4ac—b2

对称轴是X=-b/2a,顶点坐标是(一针，——)

2a4a

四、课堂练习：P20练习第l、2、3,4,5题。

五、小结：通过本节课的学习，你学到了什么知识？有何体

会？

六、作业：

1.填空：

(1)抛物线丫=(—2x+2的顶点坐标是_______；

⑵抛物线y=2x「2x-,的开口______,对称轴是_______；

⑶抛物线y=-2x2-4x+8的开口______,顶点坐标是

_______,

(4)抛物线y=-1x2+2x+4的对称轴是______；

(5)二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3,则a=______.

2.画出函数y=2x?-3x的图象，说明这个函数具有哪些性质。

3.通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

(l)y=3x?+2x；(2)y=—xJ—2x

()3y=—2x2+8x—8(4)y=^x2—4x+3

4.求二次函数y=mx2+2mx+3(m>0)的图象的对称轴，并说出

该函数具有哪些性质

板书设计：

教学反思：

21.4二次函数与一元二次方程

课型：新课

教学目标：掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程

ax+bx+c=O的解的情况之间的关系。

重点难点：二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=O的根之间关系的探

20

索。

教学准备：投影仪

课时安排：

一课时

课时目标：

共享预案个性调整

教学过程：

一、情境创设

一次函数y=x+2的图象与x轴的交点坐标________

问题1.任意一次函数的图象与x轴有几个交点？

问题2.猜想二次函数图象与x轴可能会有几个交点？可

以借助什么来研究？

二、探索活动

活动一观察

在直角坐标系中任意取三点A、B、C,测出它们的纵坐

标，分别记作a、b、c,以a、b、c为系数绘制二次函数y=ax2+bx+c

的图象，观察它与x轴交点数量的情况；任意改变a、b、c值

后，观察交点数量变化情况。

活动二观察与探索

如图1,观察二次函数y=x"x-6的图象，回答问题：

⑴图象与x轴的交点的坐标为A

(,),B(,)

(2)当x=________时，函数值y=0o

(3)求方程X2-X-6=0的解。

21

活动三猜想和归纳

(1)你能说出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的

其它情况吗？猜想交点个数和方程ax，bx+c=O的根的个数有何

关系。

(2)一元二次方程ax?+bx+c=O的根的个数由什么来判

断？

这样我们可以把二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交

点、一元二次方程ax'+bx+cR的实数根和根的判别式三者联系

起来。

2

二次函数y=ax+bx+c方程ax2+bx+c=0根的判别式

图象与X轴公共点个数根的情况

22

三、例题分析

例1.不画图象，判断下列函数与X轴交点情况。

(1)y=x2-10x+25

(2)y=3x-4x+2

(3)y=-2x2+3x-l

例2.已知二次函数y=mx2+x-l

(1)当m为何值时，图象与x轴有两个交点

(2)当m为何值时，图象与x轴有一个交点？

(3)当m为何值时，图象与x轴无交点？

四、拓展练习

1.如图2,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、

Bo

(1)请写出方程ax2+bx+c=0的根

(2)列举一个二次函数，使其图象与x轴交于(1,0)和

(4,0),且适合这个图象。

23

2.列举一个二次函数，使其图象开口向上，且与x

轴交于(-2,0)和(1,0)

五、小结

这节课我们有哪些收获?

六、作业

求证：二次函数y=x，ax+a-2的图象与x轴一定有两个不同的

交点。

板书设计:

教学反思:

24

21.4二次函数与一元二次方程

课型：新课

教学目标：1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间

的联系。

2、理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方

程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根。

3、理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标。

重点难点：1、体会方程与函数之间的联系.

2、理解何时方程有两个不等的实根,两个相等的实数和没有实根.

3、理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标.

4、探索方程与函数之间的联系的过程.

5、理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.

教学准备：投影仪，多媒体课件

课时安排：

一课时

课时目标:

共享预案个性调整

教学过程

一、复习

1、一元二次方程-5x2+40x=0的根为：o

2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的根的判别式△

==当△>()方程根的情况是：；当△=()

时，方程:当△<()时，方程0

3、二次函数y=ax?+bx+c(a、b^c是常数，且aWO)图像是一

条，它与x轴的交点有几种可能的情况？

二、创设问题情境,引入新课

师：上学期我们学习了一元一次方程kx+b=O(kWO)和一次函

数y=kx+b(kWO)后，讨论了它们之间的关系.当一次函数中的函

25

数值y=0时，--次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=O,

且一次函数y=kx+b(k/O)的图象与x轴交点的横坐标即为一元

一次方程kx+b=O的解.

现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)和二次函数

y=ax2+bx+c(a^O),它们之间是否也存在一定的关系呢?本节课

我们将探索有关问题.

三、活动探究

二次函数①y=x2+2x,②y=x?-2x+l,③丫=x-2x+2的图象如

下图所示.

(1)每个图象与x轴有几个交点？

(2)一元二次方程X2+2X=0,X2-2X+1=0有几个根?解方程验证一

下:一元二次方程x2-2x+2=0有根吗？

(3)二次函数y=ax?+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次

方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？

师：还请大家先讨论后解答.

答：(1)二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+l,y=x-2x+2的图象与x

轴分别有两个交点,一个交点,没有交点.

(2)一元二次方程x2+2x=0有两个根0,-2;方程X2-2X+1=0

有两个相等的根1或一个根1；方程X2-2X+2=0没有实数根.

(3)从观察图象和讨论中可知,二次函数y=x2+2x的图象与

x轴有两个交点,交点的坐标分别为(0,0),(-2,0),方程x，2x=0

有两个根0,-2;

二次函数y=x2-2x+l的图象与x轴有一个交点，交点坐标为

(1,0),方程x2-2x+l=0有两个相等的实数根(或一个根)1;二次

函数y=x-2x+2的图象与x轴没有交点,方程x-2x+2=0没有实

数根.

由此可知,二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标

即为一元二次方程ax?+bx+c=O的根。

26

二次函数尸出为6.士的一元二次方程“必+加也"。一无二次方矛

图象和x轴交点的根根的判别了

有两个交点有两个相异的实数根ba-4ac

有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac

没有交点没有实数根b2-4ac

总结：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:

有两个交点、有一个交点、没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c

的图象与x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的

值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根。

四、课堂练习

2

1、若方程ax+bx+c=0的根为Xi=-2和x2=3,则二次函数

y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是。

2、抛物线y=0.5x-x+3与x轴的交点情况是（）

A、两个交点B、一个交点C、没有交点D、画出图

象后才能说明

3、抛物线y=x2-4x+4与轴有个交点，坐标

是___________

4、不画图象，求抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点坐标。

5、（P28练习3）证明：抛物线y=x，'-（2pT）x+pLp与x轴必

有两个不同的交点。

6、（拓展练习）•元二次方程X2-4X+4=1的根与二次函数

y=x2-4x+4的图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出

来。

五、课堂小结

二次函数丫=2乂，6乂+（：的图象与x轴的交点有三种情况:有两

个交点、有一个交点、没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象

与x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即

一元二次方程ax2+bx+c=0的根。

27

六、作业布置

教材P331,2,3

板书设计：

教学反思：

21.4二次函数与一元二次方程

课型：新课

教学目标：1、能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根，进一步发展估算能

力。

2、通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根,进一步掌握二次函数图

象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系,提高估算能力。

3、利用图象法求一元二次方程的近似根,重要的是让学生懂得这种求解方程

的思路，体验数形结合思想。

重点难点：1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间

的联系。

2、能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。

3.利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。

教学准备：投影仪

课时安排：

一课时

课时目标：

共享预案

个性

调整

教学过程

一、复习

提问：二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程

ax2+bx+c=0的根有什么关系？

28

二次函数¥,ax2+bx+c的一元二次方程-元二次方程

图象和X轴交点ax2+bx+c9的根根的判别式Ab?

有两个交点有两个相异的实数根b2-4ac>0

有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac=0

没有交点没有实数根b2-4ac<0

1、若方程ax2+bx+c=0的根为Xi=-2和x?=3,则二次函数y=ax2+bx+c

的图象与X轴交点坐标是O

2、抛物线y=0.5x-x+3与x轴的交点情况是()

A、两个交点B、一个交点C、没有交点D、画出图象后才能

说明

3、不画图象，求抛物线y=x?-x-6与x轴交点坐标。

二、创设问题情境，引入新课

师：上节课我们学习了二次函数y=ax2+bx+c(aW0)的图象与x轴的

交占坐

标和一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)的根的关系，懂得了二次函数图象与

x轴交点的横坐标,就是y=0时的一元二次方程的根,于是