教师资格《初中数学学科知识与能力》第一章数学学科知识（下）

教师资格《初中数学学科知识与能力》第一章数学学科知识(下)

79［简答题］

,已知矩阵4=1I-1,求亚阵4的特征值和特征向最

011

参考解析:

坦阵A的特征多项式为IAE-AI=-1A-l1=A(A-l)\所以.由A(A-l)U)知A的特征根儿=0.

0-1A-1

A尸21；当A=0时,由-1-11z,=0得*产2*,.工尸-*“因此，属于特征何4=0的特征向量为＜»产-1。当

0-1-1

入=1时,由-10Ix/=0得4=«,.必=0,因此.属于特征值A=1的特征向量为a占0I

80［简答题］

求出齐次线性方程组的一个基础解系并用它表示出全部解。

Ixl-2x1+xr-x^¥x,=o,

2xi+xr"^3+2x4-3xj=0,

3孙一21：2-»%4-2«5=0,

2x\-5xr^xyrlx^2x<=0n

参考解析：对方程组的系数矩阵作初等变换，有

1-21-111-21-11-21-111-2-1

21-12-305-34-5011000100

3-2-11-204-44-500-84-5004-5

2-51-220-1-10000-84-50000

乂因为

-1

00

04

所以「04后女5,方程纲的基础解系含有2个线性无关的M向量,且原方程的同解方程组为

xrHtjsO,

-8xr*4x4-5xs=0,

T

令Zj=ltzt=O,W可产(-1,7.1»2t0).

T

令zr=Otx1=l,W小=(,0.0..1).

则内，小为原方程组的一个基础解系.且嫉齐次线性方程组的全部解为4=%»“外。其中心,自为任意

实数.

81［简答题］

'xi+xz-rtjxO,

设线性方程组W+ZXMM,与方程组4+如+皈产所1有公共解，求a的值及所有公共解

|x,+4xrHTXi=0

参考解析：将方程联立

ZJ+XJ+XJSO,

X1+2xyHirj=O.

勺44打后孙=0.

X|4XfHlX^=a-le

1110102-a0

12a001所10

读方程组的制即为两个方程组的公共制,矩阵经过线性变换得到

14<?000(a-1)(a-2)0

11aa>l00a-la-1

「1

(1)当0=1时r(4)=r(A)=2<3,方程组有无数组解,所以两个方程组有公共解A0"为常数);

।I

0

(2)当《=2时，r(A)=r(4)・3,方程组有唯一『-1，所以两个方程组有公共解为I

82［简答题］

1

X|-2X2+3XI-4X4=4,

求解线性方程组与r，+%=-3,

工］+3孙+44=】，

-7X^+3XX+XA=-3A

参考解析：

1-23-441-23-44

01-11-301-11-3

方程组的增广矩阵;U.通过适当的初等行变换为阶梯形矩阵,解得

0-731-300080

xi=-8.X,=3.XI=6.X4=0:

83［简答题］

।2

巳知直线+y=I在矩阵A=(。对应的变换作用下变为直线/'：*+以=Io

\01/

(1)求实数。净的值;(3分)

(2)若点P(*°,)b)在直线/上，且A「)=「卜求点夕的坐标。(4分)

［解析】(I)设直线As+y=1上任一点M(x.y)

在矩阵A对应的变换作用下的像是M'(x'.y'),

由O―)・将

尸=X.2〉.

二>,

又点设(/・力在「上•所以/♦“'=1，即"

(b+2)y=1•

「。=1.rosI•

4、”&力1L依题意得解得

参考解析：1,6♦2=1,Is=-1©

(2)由o「)，得广=♦,解得

lyjlyjbo=y0.

y0=oo

又点P(*o.%)在直线/上.所以％=I.

故点夕的坐标为(1.0)

84［简答题］

在一次军事演习中，某舟桥连接到命令要赶到某小河D岸为行进中的A

部队架设浮桥。假设舟桥连到达D岸的时间服从7点到7点30分这时

间段内的均匀分布，架设浮桥需要20分钟时间，A部队到达D岸的时间

服从7点30分到8点整这时间段内的均匀分布，且舟桥连的到达时间

和A部队的到达时间相互独立。求A部队到达D岸时能立即过桥的概率。

参考解析：假设7点是零时，记x,y分别表示舟桥连与A部队到达D

岸的时间，则A部队到达D岸时

.x+20W,,

能.即过桥的充要条件是，OWxWSO.

.30GW60.

如图，阴影部分为不等式组表示的区域，

010V)

这是一个几何戳乜.所求概率为。=

_工

二互：

85［简答题］

设可为AX=8(bK0)的一个解…《…为对应齐次线性方程组AX=O的基鼬解系，证明

—《［，…《…由线性无关。

参考解析：设V为4X=M”0)的一个解4.晶…为

对应齐次线性方程纲AX=0的桩珈解系.证明

&《2.…《…E线性无关

(解析】证明：用反证法进行注明由圣.

品为对应齐次线性方程组AX=。的基础解系，

知或，另.….金一线性无关

设.…者E线性相关.

则”可由摹&.….#…线性表示.即》»叫。+

因齐次线性方程组解的线性组合还是齐次线性方程组的解，故n必是

AX=O的解，这与已知条件n为AX=b(b/o)的一个解相矛盾。

由上可知E线性无关

86［简答题］

设函数/(工)连续,且关于工=广对称,a<T<6,证明：［/(x〃k=2(/U)dx+［，(x)d"

【解析】证明/(G关于x=7■对称，即/(；+T)=

令2T-u=*,则/*/(x)&=(7(2T-u)d(-“)=

_0r-(u-r))du=-j7ir+(u-r)]du

=-£/(u)du=-j/(*)dx.

参考解析：则(/(Gdx.1/(”)dx=O.

上式两边同时加上[/(4)dx,得1/(x)dx=

[〃x)dx♦Jj⑸去♦1/(x)dx

//(X)<lx♦/(x)dx+^/(x)dx♦1/(x)dx

=2j/(x)dx-¥£/(x)dx.

原式得证。

87［简答题］

己知曲线x?+2y2+4x十4y+4=0按向量a=(2,1)平移后得到曲线C。(1)

求曲线C的方程；

⑵过点D(0,2)的直线1与曲线C相交于不同的两点M、N1,且M在D、

N之间，设aw=AMX.求实数人的取值范围。

参考解析：(Dx2+2y2+4x+4y+4=0可化为」尸+(川厂'=1由已知设点

2

(x0+2)«lv2,

P(xO,yO)满足一LW。+D.=L设按向量a=(2,l)平移后平移后点P的

x-x0=2,

对应点为Q(x,y),则ke，故平移后曲线C的方程为

(2)当直线的斜率不存在时，M(0,1),N(0,-1),此时入=1/2；当直线

的斜率存在时，设1：y=kx+2,代入曲线C得，(2k2+l)x2+8kx+6=0,

22

A=64k-24(2k+l)>0,得户>2设M(x“%),N(x2,y2),则

弘6

x.+x,=；—,x.x,=-；—,

'229+1'22U+1

由DM=AM/V,M*I=A(X2-*I),

又A#Xj,A=,M'l-

X2

故3怖毕

x3I+AA

又乜巨=-V-2

3（2M

由炉>,，得4V32y竽即2V乜+乜,

23(2+±)3x2x,3

即2<"；+1："<，,解得人■或A<—

1♦人人J1/

又人>0.故A>y,

综上可知人ee,+8)

88［简答题］

TT

已知R3的两组基Q尸（1,0,-l）,a2=（2,1,1）,a3=（1,1,1）,与B

TT

MO,1,1）\P2=（-h1，0）,83=（1,2,1）O

⑴求基a”a2,(13到基Bi,B：,,的过渡矩阵；

⑵求尸(9,6,5厂在这两组基下的坐标；

(3)求向量6,使它在这两组基下有相同的坐标。

参考解析：(1)设从基a”a2,a3,到基Bi,02,3的过渡矩阵为C,

则（Bi,82,33）—（3.1，@2,@3）C,则

12r0-11■o

C=（6，q,aj"（四，d=011i12-i

-1111012

(2)设丫在基a”a2,④下的坐标为(y”N2,则有y】Bi+y282+丫3B3二

f+力=9,

|力+力+2力=6,

Y,即［%+r、=5.

T

解得YLO,Y2=-4,Y3=5O设Y在基a”a2,a3下的坐标为(X1,X2,X3),

按坐炉变换公式乂^丫，

有l244」L5」LJ故丫在这两组基下的坐标分别为(I,2,4尸

和(0,-4,5)\

(3)设6rgl+*必+x、a,：+>孙，

即孙+x2(a?/。+4(a、-/3J=0,

%+3巧=0,

解得看=0=看=0,

....1-2々+必=0,

所以，仅有零向量在这两组基下有相同的坐标。

89［简答题］

在尸中，求由基£|,叫,£,到基的过渡矩阵，其中

斤(1,0,0)哂=(1.1,-1)

区尸(0,1,0)”产(0.2.1)

e,=(0.0.1)>»j=(l.1,4)

并求乒3.电2)在建,和小下的坐标。问是否存在一非零向量-它在基用,向,用和甚初,m.

小下有相同的坐标。若存在，求出该向量的坐标;若不存在,说明理由。

参考解析:

0I

gm%）=但,。2,与）2I=（6|,02,%M,这里A=即为所求由基耳,邑到基

小B”队的过渡矩阵□

将上式两边右集41德

（6i,G.e,）=（/B-WJ4T.

Xj,所以向小）卜的坐标为A”讣

00

I0

（4：£）eI200

-I!0

7

0100T

0400

3

105

10T

=T"'）’即从’=

3

10Io5

设《在两级基下的坐标均为（力，力.力）,则

布齐次雄性力祖姐〜2co.即方

程纨只而军鲜.所以不存在一萍零血置，,它在冬£1・七・明和慕麟.阴.明下有相同的半标

90［简答题］

122

求矩阵A=212的特征值和特征向量:

221

参考解析：因为特征多项式为

A-1-2-2

AE-A|=-2A-I-2=(A*l)a(A-5).

—2—2A—1

所以特征值是-1（二重）和5.

把特征值-1代人齐次方程组

!(A-1反广^厂备川.

I-Zxj+CA-l)xj-2«ia0.

L2IL2«MA-1)X,=0.

海到

-2XL2*L2«H).

r-2»|-2»7-2xi=0,

1

-2XI-2XJ-2X,=()O

它的基即"系是

，lX0、

0.1.

-1-I

\//

f］)f0、

因此*于特征值-1的全部特征向量是九oMlI.其中&“心是不同时为零的任意实效对二

-1-1

/\/

再用特征值5代人,得到

4孙-2»3-3=0.

-2xi+4ji2-2xj=O,

-2»「2xyf4xH)0

它的草础解系是

1

I7

r1

因此届r特征值5的全都特征向但是AI，其中£是不等于零的任意实效,

91［简答题］

设al=(L-1,2,4),a2=(0,3,1,2),a3=(3,0,7,14),a4=(l,

-1,2,0),a5=(2,1,5,6)o

⑴证明al,a2线性无关;

(2)把al,a2扩充成一极大线性无关组。

参考解析：

(I)由于a-a：的对应坐标分置不成比例.因而小,.级性无关。

⑵因为Oh=3aly?,且由

可事得

A|M#4=0,

所以4,a?.a,线性无关。

再令

k。产<r$=0.

代人向总后.由f相应的齐次级性方程组的系数行列式为0.因为嫉齐次线性方程组存在非零解，即50”人,

4城性相关，所以明可以向4,4,a.统性表出。

所以a,.a?.<r4就是原向量姐的一个极大线性无关组.

92［简答题］

-2X|+x2+Xj=-2,

非齐次线性方程组

(1)当A取何值时有解，并求其解；(4分)

(2)当A取何值时无解；(3分)

(3)当A取何值时有唯一解，说明理由。(3分)

参考解析：(1)对非齐次线性方程组对应的增广矩阵作初等变换有,

/-2

(AM=

1-2

+A-1)

Vooo(A-I)(A*2)；

要使方程组有解.必沏有(4-1)(4+2)=0,即人

=1或人■2,

当J时.(A»=

/-2I-21l\

101-10.

0000；

方程组的解为则此时方程组的星础

常数)

当2时,(A.b)

(-2I-2)/I0-12\

2I-2U01

-12

-24J100

I100>

方程组的斛为〜则此时方程组的基础

H*2.

小

解系为负=/I,特解为2.

JJ\°>

方程组的通解为［/为任重

常数)

(2)由(1)知，当人且人2-2时，方程组无解。

(3)方程组没有唯一解。只有当r(A)=r(A,b)=n时，方程组有唯一解,

而本题中r(A)=2<3,因此无唯一解。

93［简答题］

巳知R'的两组基6=(1,0,-1)T,«,=(2,1",小=(1.1,1)T与禺=(0.1,1)T,P：=

(1)求基《,小.防到基⑶.伐.氏的过渡矩阵;(3分)

(2)求丫=(9,6,5厂在这两组基下的坐标；(3分)

(3)求向量6,使它在这两组基下有相同的坐标。(4分)

参考解析：(II议从基a.6.a,到柒A./r4,的过

渡矩阵为c.

则（«,在必）=（%.a,.a,）C.

/121Y'

则C・（a,5•丹）“（四必必）=01I

「11L

AO-I1\f0I1X

II2=-I-3-2

J0iJl244;

（2）设>在基///，下的坐标为（力，力•力了，

则有yfi\?+，四=>.

f♦力=9,

即,h+力+2”=6,解得力=0,力=-4,、=5

♦力二"

设y在基«1a下的坐标为(8・*2.小)T,按

坐标变换公式x=cy.

故>在这两组基F的坐标分别为“，2,4)r和

(0.-4.5儿

(3)设6=x(a)+x】a：♦r)at=孙⑶♦工力】

+/Ai,

即5(a-Bi)+“式。2・住)♦%(%-闭)=0.

X,+3盯=0,

(Tf=0,解得阳=勺=0.

-2x,+x,=0.

所以，仅有零向量在这两组基下有相同的坐标。

94［简答题］

<11a\(1)

设矩阵A=1a1,。=1，已知线性方程组AX=口有解但不唯一。

<aII/\—2?

(1)试求a的值；(5分)

(2)求正交矩阵Q,使Q「AQ为对角矩阵。(5分)

参考解析：(1)对线性方程组AX=B的增广矩阵作行初等变换，有

<11a1\

11-27

fl1a1\

0<i-1I-<i0»

kO0(a-l)(a*2)ad

因为方程组AX=。有解但不唯、所以r(A)=

KA)<3.故a=-2.

/II-2、

(2)由(1)知.A=1-2I.对应的特

<-2II>

征方程为|“E-AI=A(A-3)(*+3).

可得特征值为儿=3.A：=-3,A,=0.

T

时应特征向量分别为.=(1.0.-l),a:=

(1.-2,l)T,a,«(1,1,l)T,

将a,.a：,a,单位化得.

2=w=

=日r(言•:HO:

(11j_\

厉而有

21

令Qo后.则有Q'AQ=

卜万1

(300>

0-30

、000>

95［简答题］

设A为3阶矩阵为4的分别属于特征值-11的特征向量,向量小满足A6=4+a、

(I)证明%,外,外线性无关;(6分)

(2)令尸=(­&),求尸乂尸(4分)

参考解析：（I）证明:没存在数*,AA,使得上6♦

卜必+乩6=0.1

用A左乘①的两边并由Aax=-<r,,4a,二吗得

-klal+（为+&,）.+&必=0,②

①-②得.2小0-*必=0.

•••5.6为从的属于不同特征值的特征向情.

5必线性无关,从而匕=3=0，

代人①得k［4=0,乂由于％~0..・.k2=0,

故,%⑷1线性无关C

（2）尸=（%,%,%）可逆，

AP=A（a｝，/.%）;（4a,,Aa,,Aa,）=

（一丹，s必+aA）=

第三节图形与几何

1［单选题］已知平面直角学标系内一个圆，其方程为

/+9+2右\-2#3=0,若在线y=Qx沿x轴平移后与圆相切，则移动后的直线在

Y轴上最小的截距是（）

A.-2

B.-6

C.2

D.6

正确答案：C

参考解析：圆的方程简化为（"⑸'+GT）』，圆心为（-6」），半径为1。

设平移后的直线方程为“需：,直线与圆相切，则直线到圆心的距离

小也立近？1%

也简得|b-41=2,解得b=2或b=6,要使截距最小，

则取b=2。

tx-lvxyj-2z

2［单选题］直线人工二二1和的夹角o为（）

A.n/6

B.JI/4

C.Ji/3

D.Ji/2

正确答案：B

参考解析：直线11的方向向量为Sl=(l,-4,1),直线12的方向向

量为S2=(2,-2,-l)o由夹角公式有

mM=.："x2+(Y)x(二+〃包所以外工

>/14+(-4)I+1V22+(-2)3+(-1)124'故选及

(x-l)1+(y+4)2+zJ=25,

方程所表示的图形为()

3［单选题］J'+I=0

A.球面

B.椭球面

C.圆面

D.椭圆

正确答案：C

参考解析：方程(X-1)'+(>+4『+?=25表示空

间一球面，方程y+l=0表示空间中一平面，则题干中方程表示平面丫=

一1截球面所得的曲面，为一圆面。故选C。

4［单选题］^aeR,则“a=l”是“直线L：ax+2y-l=0与直线R

x+(a+l)y+4=0平行”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

正确答案：A

参考解析：当a=l时，直线L：x+2y-l=0与直线以x+2y+4=0显然

a2—1

平行；若直线11与直线12平行，则有了=展+/丁，解得a=l或-2,所以

“a=l”是“直线11：ax+2y-l=0与直线12：x+(a+l)y+4=0平行”的充

分不必要条件，故选A。

5［单选题］方程2+5丁=1表示的曲面是()

A.旋转双曲面

B.旋转椭球面

C.旋转抛物面

D.椭圆抛物面

正确答案：A

参考解析：方程所表示的曲面是可以由双曲线绕z轴

旋转而成的旋转双曲面。故选A。

6［单选题］一圆柱底面积为S,侧面展开图为正方形，则这个圆柱的全

面积为()

A.4ns

B.(1+4Ji)S

C.(2+4Ji)S

D.(3+4Ji)S

正确答案：C

参考解析：设圆柱底面半径为r,则S=lnN,底面周长为1=2nr,

又侧面展开图为正方形，故圆柱的全面积为2S+l=2S+4Jis=(2+4Ji)So

7［单选题］下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()

A.等边三角形

B.等腰梯形

C.正五边形

D.正六边形

正确答案：D

参考解析：等边三角形、等腰梯形、正五边形都是轴对称图形，不是

中心对称图形；正六边形既是轴对称图形，也是中心对称图形。故选D。

设直线/：：+''+'+卜°八平面n为4工-2)y-2=0,则(

)□

8［单选题］2r-y-lQz+3=O

A.i平行于n

B.i在其上

C.i垂直于n

D.i与n斜交

正确答案：C

的方向向*为。=(1,3,2»(2,-1.-10)=(-2«.14.-7),平面"的法向总

参考解析:l2x-y-10z+3=0

为西=(4,-2,1),a〃b,所以直线i与平面式垂直。

9［单选题］直线/：峨=誓=等与平面k："r+z=2的位置关系是()o

A.平行

B.相交但不垂直

C.垂直

D.直线i在平面Ji上

正确答案：B

参考解析：直线1的方向向量为m=（2,-1,-3）,平面的法向量为五

=（1,1,1）,因为m和n既不垂直也不平行，所以直线1和平面R相交

但不垂直。

+3y+2/+1=0,

及平面w：2x+6y+4z-l=0,则直线L(

10［单选题］2x-y-IOz+3=0

A.平行于n

B.在Ji上

C.垂直于Ji

D.与R斜交

正确答案：A

参考解析：直线三的方向向量为n=

132=-7(4]-。+*).平面"的法

向量为m=(2,6,4),由m-nmin又

直线〃上一点（-'孑,。）不在平面h上,所以

宜线〃平行干”，

11［单选题］在等腰三角形、平行四边形、椭圆和抛物线四个图形中,

是中心对称图形的有（）

1个

A.

B2个

C3个

4个

D.

正确答案：B

参考解析：四个图形中，椭圆既是轴对称图形也是中心对称图形，平

行四边形是中心对称图形，等腰三角形和抛物线是轴对称图形，所以这

四个图形中有2个是中心对称图形。

12［单选题］下列说法中正确的是（）

A.会重合的图形一定是轴对称图形

B.中心对称图形一定是会重合的图形

C.两个成中心对称的图形的对称点连线必过对称中心

D.两个会重合的三角形一定关于某一点成中心对称

正确答案：C

参考解析：两个成中心对称的图形的对称点连线必过对称中心。

13［单选题］关于三角形关系的描述，初中有“大角对大边”，高中有

“正弦定理”，这个研究过程的思路主要表现为()。

A.从理论到实际

B.从一般到特殊

C.从定性到定量

D.从有限到无限

正确答案：C

参考解析：“大角对大边”是定性地描述三角形的边和角的关系，而

“正弦定理”——在AABC中内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,三

角形外接圆的半径为R,则有、in4«inWuin/：

——是定量地给出了三角形的边和角的关系，所以这个研究过程的思路

主要表现为从定性到定量。故本题选C。

14［单选题］已知三点A(L2,3),B(3,4,5),C(2,4,7),则4ABC

的面积为()。

A.14

B.5^2

C.2万

D./

正确答案：D

参考解析：一一

由题患可得.可=(2.2.2).4^=(1.2.4),所以.6x,记=

/2222122k1-।

:4,4~\\,\\2=(冢-6.2),T是AABC的面积S-诋=三|初kx.记|=-x

//+(-6)，+2,=/?4故本题选D

15［单选题］平面yOz内的一条直线绕z轴旋转一周所得的图形不可能

是()。

A.旋转单叶双曲面

B.圆柱面

C.圆锥面

D.平面

正确答案：A

参考解析：坐标平面yOz内的一条直线，①如果平行于z轴，则直线

绕z轴旋转一周得到的图形是圆柱面；②如果与z轴相交但不垂直，则

直线绕Z轴旋转一周得到的图形是圆锥面；③如果与Z轴垂直，则直线

绕z轴旋转一周得到的图形是平面。故本题选A。

16［单选题］方程y2=2-x表示的空间曲面为()。

A.球面

B.旋转双曲面

C.圆锥面

D.抛物柱面

正确答案：D

参考解析：球面的标准方程为(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=/。旋转双曲面

的方程：单叶双曲

的轨迹叫作柱面，抛物柱面的方程为y2=2px0y2=2-x为母线平行于z轴，

准线为xOy平面上的抛物线的抛物柱面。

6JX1X1/Jii

而二+与一斤=1,双叶双曲面-r+9-丁=-I。圆锥面方程为=/。直线沿定曲线C移动形成

a*bcabcaa

17［单选题］三角形外接圆的画法依据是()。

A.三角形内角的平分线到角的两边距离相等

B.线段的垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等

C.三角形内角的平分线上任意一点到角的两边距离相等

D.线段的垂直平分线到线段两端的距离相等

正确答案：B

参考解析：三角形外接圆是与三角形各顶点都相交的圆，三角形的外

接圆圆心是任意两边的垂直平分线的交点，所以三角形外接圆的画法依

据是线段的垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等。C项中，三

角形内角的平分线上任意一点到角的两边距离相等是三角形内切圆的

画法依据。A,D两项的说法本身就有误。故本题选B。

18［简答题］

已知圆C：(xT)?+(y-2)425及直线1：(2m+l)x+(m+l)y=7m+4(mGR)0

证明：不论m取什么实数，直线Z与圆C恒相交。

r2x+y-7=0,

参考解析：直线1可化为x+y-4ix+'7=o+m(2x+y-7)=0,即不论m取

r2x-»7-7=0,

什么实数，它恒过直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点。由方程组卜+、-4=0

得交点为(3,1)。

又。V(3-1)2+(1-2)2=5<25,

・•.点(3,1)在圆内部,

，不论m为何实数，直线Z与圆恒相交。

19［简答题］

求椭球面。言+*=1,在点|送，我—谭力处的切平面和法线；

参考解析：

令网3)号语+P，则•会,我■卜会闻云,古，我•卜落•

d去，%，方卜合■•故切平面方程为号小卜占卜吊卜-云卜

0.即

abc

法线方程为。卜-氏同尸备卜(a我■卜

20［简答题］

求由尸|lnx|与直线x=*,x=10和彳轴所围成图形的面积。

§=：］十|111«|dz=j^(-!nx)dx+［lnxdx=-(slnx-x)工+ainxr)，

参考解析：=需1n8需。

21［简答题］

求由两个圆柱面PMM与L+xM所围成立体的体积。

参考解析：

如图所示为设立体在第一卦限部分的图像(占整体的八分之一).对任意如打0,同,平面X』与这部分立体

的裁面是一个边长为丫公式的正方念，所以截面函数d(x)=d--.Me［O,a1由定机分的知识知,对截面函数

A(3)在区间［O,a］上积分就是诙立体在第一卦眼部分的体根。所以

V=8二(d-J)d»=-*d。

22［简答题］

试求通过点检(-1.0,4),垂直于平面〃：3x-4y+z-10=0,且与在线心若唠平行

的平面方程。

参考解析：

平面〃的法向直线/的方向向*£(3,1,2).所以所求平面的法向3-41=-9i-

p12

y*l5*=(-9.-3.15).平面上任意一点MG,y.z),则.*=(x+1.y.：-4),由矶用

-9(x+l)-3J,*15(J-4)3=0

整理得所有平面方程：%*y-5z+23=O.

23［简答题］

根据k一不同取值，说明(9-k)x2+(4-k)y2(l-k)z2=l表示的各是什么图

形。

方程(9-**+(4-*)卢(1-*)？»1(1)

①4>9时.(1)式不成立.不表示任何图形；

②44<9时.(1)式变为与-4-4=1,表示双叶双曲线；

③1«<4时，⑴式变为与+4-与=1.表示单叶双曲线；

(r6c

参考解析：④*T时.(1)式变为5+£，,川’表示椭球面；

3=1时，(口式变为W+W"=1.表示母线平行z牯的怖球柱面；

⑥*=4时,⑴式变为£=；=1,表示双曲柱面；

a*C*

⑦*=9时，(1)式变为4Hl,不表示任何留影。

h*r*

24［简答题］

求由两个圆柱面/+)'=/'/+/围成立体的体积。

参考解析：如图所示为两圆柱面在第一卦限部分的图象。

对任意赤£：0.a］,平面x=/与两圆柱面所围立

体的截面是一个边长为的正方形,所以

截面函数4(x)=a2-x^ze［0,a］o

由定积分的几何意义知，对截面函数A(x)在区间［0,a］上的积分就是该

立体在第一卦限部分的体积，

所以>':8((A:-x2)dx=8•y-j|=竽/

25［简答题］

求圆域x2+(y-b)2Wa"其中b>a)绕x轴旋转而成的立体的体积。

【解析】如图所示.卜平网周的方程为y,=1>

上半10周的方程为“=&+vs-4，

选取x为积分变/则体枳元索为dl=

（砌；-w»]）<lx-4-nb>/a'-x"dx.

于是所求旋转体的体积为I=4豆

<Lr=8irA{vzu:-*2dx=8ir6,号-=2tr

26［简答题］

抛物线y2=2x把圆x2+y2=8分成两部分，求这两部分面积之比。

参考解析：抛物线y2=2x把圆x2+y2=8分成两部分，求这两部分面积

之比。

I斛析［抛物线/=2x与园/>/=8的交点分

别为(2,2)与(2.-2),加图所示,摊物线将如分

成两个部分4.记它们的面积分别为S,.S,.

则-ft-S,=］,(/8-0-5)小,=

*i------r-ft<，0irJW

rV8-dy-丁=8Jro<6Me——

去+2”・S1=8ir-A|=6n-于是I=

4.

33—+2

449n-2

27［简答题］

X+y+6=0,,,

在平面7T上,而平面"与曲面/+/=；相切于点(1,-2,5),求a,6的值。

{x+ay-z=3

曲面F♦/二，相切于点(I・・2.5),求a.6的值

［解析】设函数*(>,>,:)=x:♦『-z.

A\(.r,y»*)=2i.f，(x.j.*)=2),f\(x,y,x)=

-1.

所以曲面J♦/=:在点(L-2.5)处的切平面77

参考解析：的法向最为巾=(2,-4.-1).

过直线L的平面束方程为(x+y+b)+k(x+ay-z-3)=0,整理得

(k+1)x+(ak+1)y-kz-3k+b=0,其法向量为n=(k+l,ak+1,-k)o

根据题感知,即娥=也?♦二

L一9一I

解得k=l,a=-5o

将点(1,-2,5)代入平面(x+y+b)+k(x+ay-z-3)=0,得b=-2。故a=-5,

b=-2o

28［简答、题］

在椭圆［+W=l(a>b>0)内接一个矩形,使其平行于椭圆的轴，且面积最大.求这一矩形的边长

(T6，

及面积

'参'*解析：设X,y分别为椭圆内接矩形两邻边边长的一半，则矩形

面积为S=4xy,由题可知(x,y)为椭圆上的点，

因为=0w，w2宣.

'厂ly=b*in/.

所以S=4a从in/ccwf=2abgin2,.则S'=4a/>eoQ,5*

=-8a6sin2/.

令9=0,得r,=»2=竽.

5*二,二一8"。<0.5*I,.?=8必>0,

故当，=子时,3殿大.Sa=s(左)=2由此时.

矩形的边长分别为2工=及0.2>=点，

29［简答题］

求过z轴且与平面2.r+>-6;-7=0的夹角为/的平面方程

［»析】平面过£轴，则点0(0.0.0)是平面上的

一点,平面2jt+y-61-7=。的法向增为m=

(2.1,-^)o

设所求平面的法向最为"=M+"+c*,则”•*

=0,可得r=0,可设平面方程为s+by=0,

所求平面与已知平面的夹角等于半,则。8年=

〃•/wi,2a_工

"«"yTT?'-/io"2'

解得a=-36或a=y,

参考解析：所以所求F面方程为X+3v=0或3一,=0

30［简答题］

在以0为原点的空间直角坐标系中，点A,B,C的坐标依次为：(-2,1,

4),(-2,2,6),(-1,3,3)o

⑴求三角形ABC的面积；(3分)

⑵求四面体O-ABC的体积。(4分)

参考解析：

ijA

(1)由题可知，病=(0.1.2),元=(1.2.-1).所以痛012=(-5.2.-I),由向鼠外

12-1

积的几何意义可得.△.48C的面积S=；|.而x探|=+2’+