初中数学竞赛专项训练(一)及答案

初中数学（实数）竞赛专项训练（1）

一、选择题

1、如果自然数a是一个完全平方数，那么与a之差最小且比a大的一个完全平方数是（）

A.a+1B.a2+lC.a2+2a+1D.a+2筋+1

2、在全体实数中引进一种新运算*,其规定如下：①对任意实数a、b有a*b=（a+b）（b—l）②对

任意实数a有a*2=a*a。当x=2时，［3*（x*2）］—2*x+l的值为（）

A.34B.16C.12D.6

3、已知n是奇数，m是偶数，方程12004+y=〃有整数解x。、y°。则（）

1lx+28y=m

A.xo、yo均为偶数B.xo、yo均为奇数

C.xo是偶数yo是奇数D.xo是奇数yo是偶数

4、设a、b、c、d都是非零实数，则四个数-ab、ac>bd>cd（）

A.都是正数B.都是负数C.两正两负D.一正三负或一负三正

5、满足等式x亦+y6-J2003y-j2003x+，2003冲，=2003的正整数对的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

6、已知p、q均为质数，且满足5P?+3q=59,由以p+3、1—p+q、2p+q—4为边长的三角

形是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

7、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以

被（）整除。

A.IllB.1000C.1001D.1111

8、在1、2、3……100个自然数中，能被2、3、4整除的数的个数共（）个

A.4B.6C.8D.16

二、填空题

1、若§=~—n----------1’则s的整数部分是

--------1............F................

19801981---------2001

2、M是个位数字不为零的两位数，将M的个位数字与十位数字互换后，得另一个两位数N,

若M—N恰是某正整数的立方，则这样的数共个。

3、已知正整数a、b之差为120,它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么，a、b

中较大的数是。

4、设m是不能表示为三个互不相等的合数之和的最大整数，则01=

5,满足19982+n?=19972+1?(0<m<n<1998)的整数对(m、n)共有个

6、已知x为正整数，y和z均为素数，且满足x=yz-+-=则x的值是

xyz

三、解答题

1、试求出这样四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等

于这个四位数。

2、从1、2、3、4……205共205个正整数中，最多能取出多少个数使得对于取出来的数中的

任意三个数a、b、c(a<b<c),都有ab#c。

3、已知方程》2一6%—4〃2一32〃=0的根都是整数。求整数n的值。

4、设有编号为1、2、3……100的100盏电灯，各有接线开关控制着，开始时，它们都是关

闭状态，现有100个学生，第1个学生进来时，凡号码是1的倍数的开关拉了一下，接着

第二个学生进来，由号码是2的倍数的开关拉一下，第n个（nWlOO）学生进来，凡号码

是n的倍数的开关拉一下，如此下去，最后一个学生进来，把编号能被100整除的电灯上

的开关拉了一下，这样做过之后，请问哪些灯还亮着。

5、若勾股数组中，弦与股的差为1。证明这样的勾股数组可表示为如下形式:

2a+1,2a2+2a,2a2+2a+\,其中a为正整数。

参考答案

一、选择题

1、解：设与a之差最小且比a大的一个完全平方数是x,则五=&+1,所以

x=(Va+l)2=a+2y[a+l应选D

2、原式=[3*(2*2)]-2*2+1

=[3*(2*2)]-2*2+1

=3*3-3+1应选D

=(3+1)(3-1)-3+1

=8-3+1

=6

3、2004=n—J%,n是奇数，打必是奇数，又11x°=m—28孔，m和28yo均为偶数，所以口

是偶数，X。应为偶数。故选C

4、解：一ab,ac•bd,cd=-a2b2c2d2V0,所以这四个数中应一正三负或一负三正。应选D

5、解：由-万+y五一,2003x-j2003y+j2()03g，—2003=0可得

(7^-J2003)(6+6+J2003)=0而&+4+>0

所以而-而55=0故昼=2003又因为2003是质数，因此必有

卜=1(x=2003应选B

[y=2003[y=1

6、解：因5P?+3q为奇数，故p、q必一奇一偶，而p、q均为质数，故p、q中有一个为2,

53

若g=2p2=一不合题意舍去。若p=2,则q=3,此时p+3=5,l-p+q=12,2p+q-4=13,

因为52+122=132,所以5、12、13为边长的三角形为直角三角形。故选B

7、解：依题意设六位数为abcabc,则而诙=aXl()5+bx/+&g+axU+b*10+c

=aX102(103+l)+bX10(103+l)+c(103+l)=(aX103+bX10+c)(103+l)

=1001(aX103+bX10+c),而aXKP+bxio+c是整数，所以能被1001整除。故选C

8、解：能被2、3、4整除即能被[2,3,4]=12整除，共有12、24、36、48.......96共8

个。应选C

二、填空题

1、解：因1981、1982......2001均大于1980,所以S〉——，一=之地=90,又1980、1981........

”122

1980

1200121

2000均小于2001,所以S＜-------------=------9啜，从而知S的整数部分为9。。

122

22义」一人

2001

2、解：设两位数M=10a+b,则N=10b+a,由a、b正整数，且l〈a,bW9,

M—N=(10a+勿一(10力+a)=9(a—切=。3,又c是某正整数，显然c3<100,cW4,而且

c3是9的倍数，所以c=3,即a—b=3,满足条件的两位数有41、52、63、74、85、96

共6个

3、解设(a,b)=d,且a=md,b=nd,其中m>n,且m与n互质，于是a、b的最小公

倍数为mnd,依题题有加〃[即(，…)&=2x3x5①，则Qn据②可

丁=105加〃=3x5x7②

m=105「m=135%2=21-m=15

得或＜或＜或＜

n=l〃=3n=5n=7

根据①只取仁7一可求得d="，故两个数中较大的数是md=225。

4、解：最小三个合数是4,6,8,4+6+8=18,故17是不能表示为三个互不相等的合数之和

的整数，当m>18时，若m=2k>18,则m=4+6+2(k—5),若m=2k—1>18,则m=

4+9+2(k-7)即任意大于18的整数均可表示为三个互不相等的合数之和，故m=17

5、解：n2-m2=3995=5X17X47,(n-m)(n+m)=5X17X47,显然对3995的任意整数分

拆均可得到(m,n),由题设(0Vm<n<1998),故满足条件的整数对(m,n)共3个。

6、解：由_1=1•—三及x=yz得y—z=l,即y与z是两个相邻的自然数，又y与z均

xzyyz

为素数，只有y=3,z=2,故*=丫2=6。

三、解答题

1、解：设前后两个二位数分别为x、y,10Wx,yW99。

根据题意有(x+y)2=100x+y

即，+2(y_5())x+(y2_y)=0

当△=4(y-50)2-4(y2-y)=4(2500-99y)>0

即2500-99)，NOy425时方程有实数解

x=50-y±12500-99y

由于2500-99y必为完全平方数，而完全平方数的末位数仅可能为0、1、4、5、6、9,

故y仅可取25,此时，x=30或20,故所求四位数为2025或3025。

2、解：首先1、14、15、16……205这193个数满足题设条件，事实上，设a、b、c(a<b

<c)这3个数取自1、14、15、16...205,

若a=l,则ab=a<c；

若a>L则ab214X15=210>c

另一方面考虑如下12个数组

(2,25,2X25)(3,24,3X24)……(13,14,13X14)上述这36个数互不相等,

且其中最小的数为2,最大的数为13X14=182<205,所以每一个数组中的3个数不能全

部都取出来，于是，如果取出来的数满足题设条件，那么，取出来的数的个数不超过205-12

=193(个)

综上所述，从1、14、15、16……205中最多能取出193个数，满足题设条件。

3、解：原方程解得：

_6±)36+4(4〃2+32”)_6±J4x4/+4x32〃+4x9

X——

22

6±+32〃+9r~~~

=----------------=3±+32/?+9

2

因为方程的根是整数，所以4n2+32n+9是完全平方数。

设4n2+32n+9=m2(m>0)

(2n+8)2-55=m2

(2n+8+m)(2n+8—m)=55

因55=1X55=(-1)X(-55)=(-5)X(-11)=5X11

2〃+8+m=55(2〃+8+«i=ll2〃+8+加=-12〃+8+加=-5

V解得：n=

2n+8-m=1\2n+8-m=52〃+8—m=-552〃+8-m=-11

10、0、-8、-18

4、解：首先，电灯编号有几个正约数，它的开关就会被拉几次，由于一开始电灯是关的，所

以只有那些被拉过奇数次的灯才是亮的，因为只有平方数才有奇数个约数，所以那些编号

为1、22、3\42、5\62、72、82、9?、10?共趣盏灯是亮的。

5、证明：设勾长为x,弦长为z,则股长为z-l

V(z,z-l)=l

••.X,z-1,z是一个基本勾股数组。

由Z为奇数知：Z-1为偶数，从而X为奇数，设x=2a+l(a为正整数)，则有

(2a+l)2+(z-l)2=z2,解得

z=2/+2a+l,故勾股数组具有形式

2«+12a2+2a2a'+2a+1

初中数学竞赛专项训练(2)

(代数式、恒等式、恒等变形)

一、选择题：下面各题的选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填在

括号内。

1、某商店经销一批衬衣，进价为每件□元，零售价比进价高a%,后因市场的变

化，该店把零售价调整为原来零售价的州出售，那么调价后每件衬衣的零售

价是()

A.m(l+a%)(l-b%)元B.m・a%(l-b%)元

C.m(l+a%)b%元D.m(l+a%b%)元

2、如果a、b、c是非零实数，且a+b+c=O,那么2+2+£+*幺的所有可

Ia||b||c||abc\

能的值为()

A.OB.1或-1C.2或-2D.O或-2

3、在AABC中，a、b、c分别为角A、B,C的对边，若NB=60°,则

的值为

A.1

2

C.1

4、设aVbVO,a2+b2=4ab,则的值为

a-b

()

A.V3B.V6C.2D.3

5、已知a=1999x4-2000,b=1999x4-2001,c=1999x+2002,则多项式

a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为

()

A.OB.1C.2D.3

6、设a、b、c为实数，x-a2-2b+—,y-b2-2c+—,z-c2-2a+—,则x、

362

y、z中，至少有一个值

()

A.大于0B.等于0C.不大于0D.小于0

7、已知abcWO,且a+b+c=O,则代数式Z+久+巨的值是()

becaab

A.3B.2C.1D.O

8、若一8孙+9/-4x+6y+13(x、y是实数)，则M的值一定是

()

A.正数B.负数C.零D.整数

二'填空题

1、某商品的标价比成本高P%,当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的

折扣(即降价的百分数)不得超过d%,则d可用P表示为

2、已知-IVaVO,化简、(a++-4+、3-与+4得______________

VaVa

3、已知实数z、y、z满足x+y=5及z2=xy+y-9,贝Ux+2y+3z二

4、已知XI、X2>.........、X40都是正整数,且X1+X2+...........+X4O=58,若X12+X2?+..........

+X4O2的最大值为A,最小值为B,则A+B的值等于

5、计算:+4)(74+4)(114+4)(15"+4)……(394+4)二

、(54+4)(94+4)(134+4)(174+4).(414+4)-

6、已知多项式ar?+"2-47元一15可被3x+l和2尤一3整除，则Q+力=

三、解答题:

1、已知实数a、b、c、d互不相等，Sia+—=b+—=c+—=d+—=x,试求x

bcda

的值。

2、如果对一切x的整数值，x的二次三项式ox?+以+，的值都是平方数（即整

数的平方）。

证明：①2a、ab、c都是整数。

②a、b、c都是整数，并且c是平方数。

反过来，如果②成立，是否对于一切x的整数值，x的二次三项式初2+以+，

的值都是平方数？

3、若a=1995?+1995249962+19962,求证：a是一完全平方数，并写出a的

值。

4,设a、b、c、d是四个整数，且使得/〃=("+cd)2—上面+及―屋产是一

4

个非零整数，求证：ImI一定是个合数。

5、若"的十位数可取1、3、5、7、9o求。的个位数。

参考答案

一、选择题

1、解：根据题意，这批衬衣的零售价为每件m(1+a%)元，因调整后的零售

价为原零售价的b%,所以调价后每件衬衣的零售价为m(1+a%)b%元。

应选C

2、解：由已知，a,b,c为两正一负或两负一正。

①当a,b,c为两正一负时：

abcabc.匚匚“ahcabc八

——+——+——=1,----二一1所以——+——+——+-----=0；

|a||b||c||abc\\a\\b\|c\\abc\

②当a,b,c为两负一正时：

&+々+工=一1,匹=1所以&+幺+工+必=0

|a||b||c||abc\\a\\b\\c\\abc\

由①②知卫+幺+工+匹所有可能的值为0o

\a\\b\|c|\abc\

应选A

3、解：过A点作ADJ_CD于D,在RtZ\BDA中，则于NB=60°,所以DB=

—,AD=—Co在RtAADC中，DC2=AC2-AD2,所以有(a--)2=

222

b2--C2,整理得a2+c2=b2+ac,从而有

4

cac2+cb+a2+aba2+c2+ab+bc.

______I_____—___________________________________—i

a+bc+b(a+/?)(c+b)ac+ab+beb2

应选C

4、解：因为(a+b)2=6ab,(a-b)2=2ab,由于a<b<0,得a+b=-J6ab,a-b=-42ab,

故叱=瓦

a-b

应选A

5、解：:a2+〃+T-。〃一力。一一切？+(。一+(。一。)2卜

又。一/7=一1,b-c=-Lc-a=2

原式=1[(-1)2+(-1)2+22]=3

应选D

6、解：因x+y+z=(a-l>+(/?-1)2+(。-1)2+4一3>0

贝女、y、z中至少有一个大于0

应选A

7、解：原式=一(6+0/+一伯+0小+一(。+3-，

beacab

Y+与-

bcacab

=-a+-b+-c=3~

abc

应选A

8、解：因为M=3——8町+9y2—4x+6y+13

=2(x-2y)2+(x-2)2+(y+3)2>0,

且x-2y,x-2,y+3这三个数不能同时为0,所以M>0。

应选A

二、填空题

1、解：设该商品的成本为a,则有a(l+p%)(l-d%)=a,解得d=-^-

100+p

2、解因为一l<a<0,所以，<-l<a,即a—，>0,且a+L<0。

aaa

=亚-2+)+J/+2+)

--(a——)2+./(«+—)2=|a|+1a+工|=a-工-(a+，)=一2

\a\aaaaaa

3、解:由已知条件知(x+1)+y=6,(x+1),y=z2+9,所以x+1,y是t?—6t

+z2+9=0的两个实根，方程有实数解，则4=(-6)2-4(z2+9)=-4z2

20,从而知z=0,解方程得x+l=3,y=3o所以x+2y+3z=8

4、解：494o因为把58写成40个正整数的和的写法只有有限种，故

222

x,+x2+...+x40的最小值和最大值是存在的。不妨设X1<x2<...<X40,若X1

2222

>1,则/+々=(%)-1)+(x2+l),且(X[—1)+(x2+1)=%,+X2+2

22

(x2-x,)+2>X,+X2,所以，当网>1时，可以把花逐步调整到1,这时

无：+才+…+》亲将增大；同样地，可以把W，七，…％39逐步调整到1，这

时X；+/2+...+X4G2将增大。于是，当X],无2，…尤39均为1，》40=19时,

X；+々2+…+%4()2取得最大值，即A=「+4+...+12+192=400。若存在两个

-394--

数匕，xj,使得X,—匕22(1WiWjW40),则(x,+1)?+(吃-1)2=x/+xj

22

—2(Xj—Xj-1)<Xi+Xj,这说明在X],%3，…%39，%40中，如果有两

个数的差大于1,则把较小的数加1,较大的数减1,这时，X,2+%/+...+

将减小。所以，当/+式+…+刀4c2取到最小时，不，X2,…X40中任意两个

数的差都不大于1。于是当匹=%2=3=々2=1，％23=无24=3=彳40=2时,

X1+%/+...+x4G2取得最小值，即8=r+七…+F,+?+22+22,=94,

22个18个

故A+B=494

22

5、解：•.•/+4=(无2+2)一(2元＞=(x+2x+2)(/-2X+2)

=[(x+l)2+l][(x-l)2+l]

由#(22+1)(42+1)(62+1)...(382+1)(4O2+1)22+11

22222-2-

'•八(4+1)(6+1)(8+1)...(40+1)(42+1)42+1353

a47,u

----+—。+----15=0八

6、解：由已知可知，〃」)=0,〃3)=0得2793，解得

32

——a+—b------15==0

842

a=24

'b=2

/.a+b=24+2=26

三、解答题

1＞解：由已知有a+l=x①b+--x②c+—=x(3)d+—=x④

bcda

由①解出人=」一⑤代入②得c

x-a—cix—1

将⑥代入③得「一"+-=x

x-ax-\d

2

即公3-gd+l)x-(2d-a)x+ad+1=0⑦

由④得ad+l=or,代入⑦彳Kd-)(/-2x)=0

由已知d-6F0,x3—2x=0

若x=0,贝U由⑥可得i=c,矛盾，故=2,x=±V2

2、解：①令x=0,得©=平方数c?；令工=±1,得。+b+c=/%2,a-b+c=n2,

其中m、n都是整数，所以，2〃=m2+〃2-2c,2b=加2-〃2都是整数。

②如果2b是奇数2k+l（k是整数），令x=4得16。+46+。2=*,其中h是整

数，由于2a是整数，所以16a被4整除，有l&z+48=16a+4攵+2除以4余

2,而/--=优+/）（〃一/）,在h,1的奇偶性不同时,（力