人教A版必修第二册6432正弦定理学案

其次课时正弦定理

课前篇•自主梳理稳固根底

［笔记教材］

学问点1正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即心

Sillzi

b_____c_

sin3—sinC

常见的变形有

sinA：sin3：sinC=a：b：c；

a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；

____a+b+c______

sinA+sinfi+sinC

ab

砺，

sinA=sinB=2R'sinC=2R-

(其中R为3c外接圆的半径)

学问点2三角形面积公式

(1)S=亍力”=丞也＞=;

(2)S=；0csinA=gacsinB—^ahsinC；

nhc!

(3)5=源=步3+。+。其中R,r分别为△45C的外接圆半径、

内切圆半径；

(4)S=7p(p—d)(p—b)(/7—c),其中p=/(a+Z?+c).

［重点理解］

1.正弦定理的特点

(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立.

(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正

弦的连等式.

(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系,

可以实现三角形中边角关系的互化.

2.正弦定理的常见变形

⑴q=2尺sinA，力=2Esin6，C=2RsinC(R为AABC外接圆的半

径).

(2)sinA=/,sinB=4,sinC=^R为△ABC外接圆的半径).

(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a"：c=sinA：

sinB:sinC.

____a+：+c________a_____b_____c_

")sinA+sin3+sinC-sinA-sinsinC

(5)asinB=Z?sinA,asinC=csinA,bsinC=csinB

［自我排查］

1.思维辨析.(对的打“，错的打“义〃)

⑴在△48C中，C=60°,a=l,b=3,可用正弦定理解此三角

形.()

(2)对于任意△A3C,总有。sinA=asinB.()

(3)在△A3C中，假设sinA>sin3,那么A>3；反之，假设

那么sinA>sinB.()

(4)在△ABC中，假设A=30。，a=2,。=2小，那么3=60。.()

解析：(1)义.三角形的两边和这两条边的夹角，无法用正弦定理

解此三角形.

db

(2)♦•由正弦定理知sinA=sinB'即加inA=asinB.

(3)J.在△ABC中,sinA>sinB^a>b^A>B.

-

(4)义.由正弦定理知T——n,即:QCO=所以sin

、'sinAsin8'sin30sin8'

会那么8=60°或120°,又由于/?>a,所以B>A,故8=60°或120°.

2.(多项选择)(2020•河北衡水中学高二(上)期中考试)在△48C

中，内角A,B,C的对边分别为a,h,c,假设。=1,b=小,A=

30°,那么3的大小可能为（）

A.30°B.150°

C.60°D.120°

答案：CD

解析：由正弦定理焉=磊，得sin3=如詈=—卫=乎.

Xh>a,0°<B<lS00,所以8=60。或8=120。，应选CD.

3.在△A3C中，肯定成立的等式是（）

A.asinA=bsmBB.tzcosA—bcosB

C.«sinB=bsinAD.acosB=bcosA

答案：C

ah

解析：由正弦定理;得asinB=hsinA,应选C.

4.在△ABC中，假设sinA=sinC,那么△人3。是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.锐角三角形D.钝角三角形

答案：B

解析：由sinA=sinC,知。=（:,

△ABC为等腰三角形.

5.在△A3C中，BC=4sinC=2sinA,那么A3=.

答案：2小

解析：由正弦定理，得AB=¥§BC=2BC=2事.

sin/I

课堂篇•重点难点研习突破

研习1两角及一边解三角形

TT

[典例1]⑴在△A3C中，假设b=5,3=不tanA=2,求c的

值.

(2)在中，a=8,B=60。，C=75。，求A,b,c的值.

［解］(1)由tanA=2,知

•,2,1

smA=由,cosA=忑,

那么sinC=sin［兀一(A+8)］=sin(A+8)

=sinAcosB+cosAsinB

_2乂正乂巫—工

-小义2+小义2-标

hc

在中，由正弦定理合=三彳，知

△ABColll1J^111

/=昔-,解得c=3#

2赤

nhc

(2)由题意得，A=45。，由正弦定理，得缶故。

olil/ASillDdillLx

=4#,c=4(小+1).

［巧归纳］本例属于两角与一边求解三角形的类型，此类问题的

根本解法是：

(1)假设所给边是角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三

角形内角和定理求出第三个角，最终由正弦定理求第三边；

(2)假设所给边不是角的对边时，先由三角形内角和定理求第三

个角，再由正弦定理求另外两边.

［练习1］在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为。，b,c.A

=105°,C=45°,c=@那么h=()

A.1B.啦

C.V3D.2

答案：A

解析：在△ABC中，•.♦4=105°,C=45°,

.,.B=180°-A-C=180o-105o-45o=30°.

由正弦定理sin5=sinC得sin300=sir^5°'

解得她.

研习2两边及一边的对角解三角形

［典例2］在△A3C中，c=加，a=2,A=45。，解这个三角形.

解・•・狒=布，

csinA#Xsin45°.

/.sinC=~^~=2=2'

...C=60。或C=120。.

、“c-cqcr-c,csinB加sin75°r-,«

==

当C=60时，3=75,b~si•n不C=si•n二60八。vv31；

、［7—“cnLlc,csinB加sin15。r-

当C=120时'8=15'sin120。=V3-1.

；.b=y^+T,3=75°,C=60°或。=3-1，5=15°,C=120°.

［巧归纳］三角形解的各种状况汇总

依据正弦函数的图象，由正弦值求角时，可能有一解或两解，再

进一步求第三角时可能无解，也可能有一解或两解.例如，a,b和A,

用正弦定理求B时的各种状况如下：

A为锐角A为钝角或直角

C

A-*c

J

图ABA.BAB

①

CC

形A瓦'-B

A2A2tR广

A、――BAR

tAsR

②

①片

加inA且OsinA

关系式a<hsinAa>haWb

a<b<a<b

②a》b

解的个数一解两解无解一解无解

［练习2］在△ABC中，假设c=,，C=?a=2,求A,8,力

的值.

—^―二」一，得

解：由sinAsinC1寸

tzsinCA/2

sinA=

2，

...4=；或A=竽.

71

又，.飞〉。，..C>A,.,.A=W，

7T兀57r

.'.B—n3~4=12,

V6-sinl?

,csinB

b=~•k=.兀=小+1.

sinC

sin3

研习3用正弦定理进行边角互化

［角度一］运算求解问题

［典例3J(2020.黑龙江鹤岗高一检测)在锐角△A3C中，角A,8

所对的边长分别为a,h,假设2公由8=小江那么角A等于()

A7t71

A.3B.

4

一兀2兀

C6D.T

［答案］A

［解析］由于2公由8=小力，由正弦定理可得,

2sinAsinB="\/3sinB,

又sin8r0,所以sinA=B".

jr

由于3c是锐角三角形，所以A=q

［角度二］化简证明问题

［典例4］在任意△A3C中,求证：a(sinB—sinQ+Z?(sinC-sin

A)+c(sinA-sinB)=0.

［证明I证法一：依据正弦定理，

令a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(其中R为△ABC外接圆

的半径).

代入，得

左边=2R(sinAsin3-sinAsinC+sinBsinC—sinBsinA+sin

CsinA—sinCsin8)=0=右边，所以等式成立.

证法二：依据正弦定理，令sinA=/，sin8=表，sinC=/(其

中R为外接圆的半径).

代入，得

左边=〃苏-丸+〃苏-丸+c苏-我二点(m-ac+bc-W

+CQ—仍)=0=右边，

所以等式成立.

［角度三］推断三角形的外形

［典例5J在△ABC中，假设a=2bcosC且sin2A=sin2B+sin2C,

试推断△43C的外形.

ahc

［解］依据正弦定理，得sinA=赤，sin3=而，sin。=元(其中

^L\乙4/X.

R是△ABC外接圆的半径).

由于sin2A=sin2j5+sin2c

所以a2=b2~\~c2,

所以4是直角，B+C=90。，

依据正弦定理，得a=2RsinA,c=2RsinC,

故由a=2/?cosC可得sinA=2sin8cosC,

解法一：由于A=180°—(8+C),sinA=2sinJBCOSC,

所以sin(jB+Q=sinBcosC+cosBsinC

=2sinBcosC,

所以sin(B-Q=0.

又一90°<8—。<90。，所以3=C,

所以△ABC是等腰直角三角形.

解法二：由于2sinBcosC=2sinBcos(90°—B)=:2sin2B=:sinA—l,

所以sin3=与.

由于0。<8<90°,所以8=45。，C=45°,

所以△ABC是等腰直角三角形.

n=2/?sinA

6=2/esinH

r=2/CsinC

2.推断三角形外形的两种途径

(1)利用正弦定理把条件转化为边的关系，通过因式分解、配方

等方法得出边的相应关系，从而推断三角形的外形.

2)利用正弦定理把条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三

角函数恒等变形得出内角的关系，从而推断出三角形的外形，此时要

留意应用A+B+C=TI这个结论.

在这两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项

提取公因式，以免漏解.

[练习3]LA43c的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,

b

c,asmAsinB-\-bcos2A=yf2a,那么,=()

A.2sB.2^2

C.^3D.

答案：D

解析：由正弦定理，#sin2AsinB+sinBcos2A=^/2sinA,即sin

B(sin2A+cos2A)=-\/2sinA.

所以sinB=^/2sinA.

bsinB=

asinA^2.

2.在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,。所对的边，假设ccos

A=b,那么△A3C()

A.肯定是锐角三角形B.肯定是钝角三角形

C.肯定是直角三角形D.肯定是斜三角形

答案：C

解析：由正弦定理，得sinCcosA=sin8,

又由于sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以sinCcosA=sinAcosC+cosAsinC,

整理，得sinAcosC=0.

又由于sinAWO,

所以cosC=0,即C=90°,

所以△ABC肯定是直角三角形.

3.△ABC的内角A,B,。的对边分别为a,b,c.bsinA+acosB

=0,那么B=.

答案：y

解析：由题意及正弦定理，得

sinBsin4+sinAcosB=0,

又sinAWO,所以sin8=—cosB,

371

所以tanB=—1,又0<B<兀，故3=彳.

4.在△ABC中，假设acos4=hcos3,试推断△A3C的外形.

解：由正弦定理，得。=2RsinA,b=2AsinB(R是△ABC外接圆

的半径)，

由acosA=hcosB,得sinAcosA=sinBcosB,

即sin2A=sin2B.

由于2A,28£(0,2兀)，

所以24=23或24+25=兀.

7T

即A=B或A+B=],

所以△43C为等腰三角形或直角三角形.

研习4正弦定理和余弦定理的综合应用

［角度一］求值问题

［典例6］设△ABC的内角A,B,C所对应的边长分别是a,b,

3

c,且cos3=m，b—2.

⑴当1=30°时,求a的值;

(2)当△ABC的面积为3时，求a+c的值.

34

［解］⑴由于cos3=5，所以sin3=亍

又由于A=30。，

2X1

Acir»A2s

所以由正弦定理，知。=飞、万=丁=本

5

(2)由于Sz\ABC=gacsinB,

、215

所以gac=3,ac=?,

由余弦定理，得。2=〃+/—2QCCOS3,

所以4=a2+c2-^ac=a2-+c2—9,

即次+»=13,那么(a+c)2—2ac=13,

(a+c)2=28,故a+c=2市.

［练习4J(2019・全国卷I)4A8C的内角A,B,C的对边分别为

a,b,c.设(sinsinC)2=sin2A-sin3sinC.

⑴求A;

(2)假设婚a+0=2c,求sinC.

解：⑴由得

sin^+si^C—sin2A=sinBsinC,

由正弦定理，得82+/一辟=历.

/72+d—Q2be1

由余弦定理，得cosA==黑甘

乙L/C乙UL4

由于0。＜4＜180。，所以。=60。.

(2)由(1)知5=120。一C,

由题设及正弦定理，得啦sinA+sin(12(T-C)=2sinC,

即乎+乎cosC+^sinC=2sinC,

［2

可得cos(C+6(T)=一ry.

由于0。＜。＜120。，所以sin(C+60°)=^-,

故sinC=sin(C+600-60°)

=sin(C+60°)cos60°—cos(C+60°)sin60°

［角度二］化简证明问题

［典例7］在△ABC中，证明以下各式：

(l)(a2—Z?2—c2)tanA+(tz2—/72+c2)tanB=0；

、cos2Acos2B__1_1

()q202-"2廿

［证明］(l)左边=(/一〃一/)黑+32-〃+/)鬻

=(q2一炉―/)金土j，+(a2—/+/).亲

2abJ~(b2+c1—a2)cP+c2—^

2R［b2-bc2—a2

1+D=o=右边，

故原式得证.

1-2sin2A1—2sin25

(2)左边=2

Q-h2

一2sin2A2sin2g

二荷—b2)~(27?)2sin2A+(2/?)2sin2B

112,211

=下一讲一两十两一1一刀一石豆，

故原式得证.

课后篇•根底达标延长阅读

1.在△A3C中，a=15,。=10,A=60°,那么cos3=()

A-空B空

A.33

C-匪D逅

答案：D

Hb

解析：由正弦定理，得高7=硒，

.1510

•'sin60o_sinB'

..sinB-15—3.

又a>b,：.A>B,

:.cosB=*,应选D.

2.(多项选择)(2020•辽宁沈阳高一联合体期末考试)在△ABC中,

角A,B,C所对的边分别为。，b,c,且(a+h)：3+c)：S+c)=9:

10：11,那么以下结论正确的选项是()

A.sinA：sinB：sinC=4：5：6

B.△ABC是钝角三角形

C.5c的最大内角是最小内角的2倍

D.假设c=6,那么△43C的外接圆的半径为罕

答案：ACD

解析：对于A,由于3+3：(Q+C)：s+c)=9：10：11,所以

a-\-b=9x,

可设<a+c=10x,(其中%>0),解得Q=4X,h=5x,c=6x,所以

力+c=11%

sinAsinBsinC=a"bc=4：5：6,所以A正确；

对于B,a,b,c中c最大，所以角A,B,C中角C最大，又

<72+/?2—C2(4x)2+(5%)2—(6x)21

>0

cosC=-三/一=VC-g»所以C为锐角，所以B

Zab2X4%X5xX

错误；

对于C,a,b,c中a最小，所以角4,B,C中角4最小，又

(?+/72—a2(6x)2+(5x)2—(4x)23

cosA=-2cb-=—2X6xX5x—=不

所以cos24=2cos2A—1=",所以cos2A=cosC,

由于角A,B,。中角C最大且C为锐角，所以2A£(0,兀)，C

G[O,5，所以2A=C,所以C正确；

对于D,由于2R=$1：dR^}/\ABC外接圆的半径），sinC=

qi-cos2C=乎,所以2R=击，解得R=芋,所以D正确.应选

8

ACD.

3.在3c中，角4,B,C所对应的边分别为a,b,c,bcosC

+ccosB=2b,那么/=.

答案：2

解析：由于bcosC+ccosB=2b,

由正弦定理，得sinBcosC+sinCcosB=2sin3,

所以sin(B+C)=2sin3,

即sinA=2sinB,那么。=2b,所以？=2.

b

4.在△ABC中，假设(sinA+sin3)(sinA-sinB)=sin2。，那么

△ABC是三角形.

答案：直角

解析：由得sin2A—sin2B=sin2C,

nhc

依据正弦定理，得-4=1—=一三=2m

?sinAsinBsinC'

所以闱2一阂2=阖2,

化简整理得/+理=次.