初中数学“最值问题”集锦

“最值问题”集锦

・平面几何中的最值问题..............01

・几何的定值与最值..................07

・最短路线问题.......................14

•对称问题...........................18

・巧作“对称点”妙解最值题........22

・数学最值题的常用解法..............26

・求最值问题........................29

・平面几何中的最值问题

在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在

一起，统称最值问题.如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、

最节约和最高效率.下面介绍几个简例.

在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量(如线段的长度、

图形的面积、角的度数)的最大值或最小值问题，称为最值问题。

最值问题的解决方法通常有两种：

(1)应用几何性质：

①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

②两点间线段最短；

③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

④定圆中的所有弦中，直径最长。

⑵运用代数证法：

①运用配方法求二次三项式的最值；

②运用一元二次方程根的判别式。

例1、A、B两点在直线1的同侧，在直线L上取一点P,使PA+PB最小。

变式"：茬:3两京'分别在直鞋儿的两恻，在直缸上取百点由^虎■最大…

♦A

___________________L

B*I

分析：在直线L上任取一点P，,连结AP，,BP,,

在AABP'中AT+BP'>AB,如果AT+BP'=AB,则P，必在线段AB上，而线段AB

与直线L无交点，所以这种思路错误。

取点A关于直线L的对称点A',则AP'=AP,

在AA'BP中A'P'+B'P'>A'B,当P'移到A'B与直线L的交点处P点时

A'P'+B'P'=A'B,所以这时PA+PB最小。

1已知AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC是内接半圆的梯形，试问

怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长最大(图3-91)?

图3-91

分析本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R.由于AB〃CD,必

有AC=BD.若设CD=2y,AC=x,那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值即可.

解作DE±AB于E,贝(jX2=BD2=AB•BE=2R•(R-y)=2R-2Ry,

2R2-x2

所以

2R2-x2

u=x+y+R=x+———+R

所以2R

x2+2Rx+2R2

+R.

2R

所以求u的最大值，只须求-x2+2Rx+2R2最大值即可.

-X2+2RX+2R2=3R-(X-R)?W3R2,

上式只有当x=R时取等号，这时有

2R2-x22R2-R2R

所以2y=R=x.

所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点C,D,

这时，梯形的底角恰为60°和120°.

2.如图3—92是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米(m),怎样才能得出

最大面积，使得窗户透光最好？

图3-92

分析与解设X表示半圆半径，y表示矩形边长AD,则必有2x+2y+“x=8,

8-%x-2x小

y=­；—­B

乙

若窗户的最大面积为s,则

S=2xy+-^%x2.②

把①代入②有

=8x-Ttx2-2x2+—%x2

2

=8x-(2+^)x2

=_Wx_^r+2L

2I4+TCJ4+7f

〈尹.

4+7f

上式中，只有x=J-时，等号成立.这时，由①有

4+兀

8

=------=X,

4+冗

即当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积最大.

3.已知P点是半圆上一个动点，试问P在什么位置时，PA+PB最大（图3—93）?

分析与解因为P点是半圆上的动点，当P近于A或B时，显然PA+PB渐小，在极限

状况（P与A重合时）等于AB.因此，猜想P在半圆弧中点时，PA+PB取最大值.

设P为半圆弧中点，连PB,PA,延长AP到C,使PC=PA,连CB,则CB是切线.

为了证PA+PB最大，我们在半圆弧上另取一点P',连P'A,P'B,延长AP'至!JC',

使P'C=BP'，连C'B,CC,则NP'CB=ZP/BC=ZPCB=45°,

所以A,B,C',C四点共圆，所以NCC'A=ZCBA=90°,

所以在AACC'中，AC>AC',即PA+PB>P'A+P'B.

4如图3—94,在直角△ABC中，AD是斜边上的高，M,N分别是AABD,Z\ACD的内心，直

线MN交AB,AC于K,L.求证：SAABC^2SAAKL.

证连结AM,BM,DM,AN,DN,CN.

因为在aABC中，ZA=90°,ADJ_BC于D,

所以ZABD=ZDAC,ZADB=ZADC=90°.

因为M,N分别是4ABD和AACD的内心，所以

Z1=Z2=45°,N3=N4,

所以△ADNS/\BDM,

又因为NMDN=90°=ZADB,所以△MDNs^BDA,

所以ZBAD=ZMND.

由于NBAD=NLCD,所以ZMND=ZLCD,

所以D,C,L,N四点共圆，所以NALK=NNDC=45°.

同理，ZAKL=Z1=45°,所以AK=AL.因为△AKM乌AADM,

所以AK=AD=AL.而

2

S&瓯［必.AC，SAAKL=|AD-AL=1AD,

而一

2AC2AB2AC2.AB2

222

口BCAB+AC'

从而

cI——AC*AC

S.=­AC*AJB.5-----y

A题VT2AB2+AC2

.111

AB

45•AC*-=-sAABC,

所以SAABC^SAAKL-

5.如图3—95.已知在正三角形ABC内（包括边上）有两点P,Q.求证：PQWAB.

证设过P,Q的直线与AB,AC分别交于P“Q„连结PC显然，PQWPQ.

因为NAQ岛+NPQC=180°,

所以NAQR和NPQC中至少有一个直角或钝角.

若NAQE290。，贝（jPQWPQWAPWAB；

若NPQCN90。,贝ijPQWPQWPiC.

同理，NAPC和NBPC中也至少有一个直角或钝角，不妨设NBP£N90°,

贝1JP£<BC=AB.

对于P,Q两点的其他位置也可作类似的讨论，因此，PQWAB.

A

BC

图3-95

6.设aABC是边长为6的正三角形，过顶点A引直线1,顶点B,C到1的距离设为d“

d2,求&+dz的最大值(1992年上海初中赛题).

解如图3—96,延长BA到B',使AB'=AB,连B'C,则过顶点A的直线1或者与

BC相交，或者与B，C相交.以下分两种情况讨论.

(1)若1与BC相交于D,则

1

5(d]+da)*AD—S4触口+S乙期。

c43”

=S&ABC♦36，

所以

18a,1873

d.+d2=-^<^-=6.

12AD3出

只有当1_LBC时，取等号.

(2)若1'与夕C相交于D，,则

1

5(d]+da)•AD=+SAACD,

=“sABDA+s^AACD'=s^AABC,

所以

dI+d<=6、区

2I,F

上式只有1'_LB'C时，等号成立.

综合⑴,(2),di+d2的最大值为6、%

7.如图3—97.已知直角^AOB中，直角顶点0在单位圆心上，斜边与单位圆相切，延长

AO,B0分别与单位圆交于C,D.试求四边形ABCD面积的最小值.

解设。。与AB相切于E,有OE=1,从而

AB=OE*AB=AO*OB

AO2+BO2(AO-BO)2

=22

/AO2+BO2AB2

-====.---------------=-------

22

即ABN2.

当AO=BO时，AB有最小值2.从而

11

SABCD=万AC♦BD=go+OA)(1+BO)

1

=-(1+AO+BO+AO*BO)

>j(l+2JAO♦BO+AO•BO)

=|(i+TAO•BO)2=|(i+JOE♦AB.

=1(I+7AB)2>|(I+72)2

=[(3+2®

所以，当AO=OB时，四边形ABCD面积的最小值为

g(3+2®

・几何的定值与最值

几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素

间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题

的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明.

几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长

度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：

1.特殊位置与极端位置法；

2.几何定理（公理）法；

3.数形结合法等.

注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点.这是由于这

类问题具有很强的探索性（目标不明确），解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一

般相结合、

逻辑推理与合情想象相结合等思想方法.

【例题就解】

【例1】如图，已知AB=10,P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB

为边作等边aAPC和等边4BPD,则CD长度的最小值为.G.

思路点拨如图，作CC'_LAB于C,D>_LAB于6，

DQJLCC',CD2=DQ2+CQ2,DQ’AB一常数，当CQ越小，CD越小，/

本例也可设AP=x,则PB=iO-x,从代数角度探求CD的最小值.A―C'PD'B

注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与

极端位置是指：

（1）中点处、垂直位置关系等；

（2）端点处、临界位置等.

【例2】如图，圆的半径等于正三角形ABC的高，此圆在沿底边AB滚动，切点为T,

圆交AC、BC于M、N,则对于所有可能的圆的位置而管，MTN为的度数（）

A.从30°到60°变动B.从60°到90°变动

C.保持30°不变D.保持60°不变

思路点拨先考虑当圆心在正三角形的顶点C时，

其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断.

注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，

动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变

化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，

研究的量取得定值与最值.

【例3】如图，已知平行四边形ABCD,AB=“，BC=b3>/力，P为AB边上的一动点,

直线DP交CB的延长线于Q,求AP+BQ的最小值.

思路点拨设AP=x,把AP、BQ分别用x的代数式表示，运用不等式/+从之2成（当

且仅当〃时取等号）来求最小值.

Q

【例4】如图，已知等边aABC内接于圆，在劣弧AB上取异于A、B的点M,设直线

AC与BM相交于K,直线CB与AM相交于点N,证明：线段AK和BN的乘积与M点的选择无

思路点拨即要证AK-BN是一个定值，在图形中aABC

的边长是一个定值，说明AK-BN与AB有关，从图知AB为A/\）B

△ABM与aANB的公共边，作一个大胆的猜想，AK•BN=AB2,

从而我们的证明目标更加明确./X

注：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化泰•般的几何证明问题.

[例5]已知AXYZ是直角边长为1的等腰直角三角形（NZ=90°）,它的三个顶点

分别在等腰Rt^ABC（NC=90°）的三边上，求4ABC直角边长的最大可能值.

思路点拨顶点Z在斜边上或直角边CA（或CB）上，当顶点Z在斜边AB上时，取xy的

中点,通过几何不等关系求出直角边的最大值,当顶点Z在（AC或CB）上时,设CX=x,CZ=），,

建立x,y的关系式，运用代数的方法求直角边的最大值.

注：数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量，建立几何元素间的函数、方程、

不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解.常见的解题途径是：

（1）利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值；

（2）构造二次函数求几何最值.

学力训练

1.如图，正方形ABCD的边长为1,点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合）,

分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B，、C'、W,则BB，+CC'+DD，的最

大值为,最小值为•

2.如图，ZA0B=45°,角内有一点P,P0=10,在角的两边上有两点Q,R（均不同于

点0）,则△PQR的周长的最小值为.

3.如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC=8,B到MN的距离BD=5,

CD=4,P在直线MN上运动，贝“PA-尸却的最大值等于.

（第1题）（第2题）（第3题）

4.如图，A点是半圆上一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是直径MN上一动点,

。。的半径为1,则AP+BP的最小值为（）

A.1B.—C.V2D.V3-1

2

5.如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿看圆柱的

侧面移动到BC的中点S的最短距离是（）

A.251+乃2B.2J1+4MC.4）1+乃2D.24+，

6.如图、已知矩形ABCD,R,P户分别是DC、BC上的点，E,F分别是AP、RP的中点,

当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（）

A.线段EF的长逐渐增大B.线段EF的长逐渐减小

C.线段EF的长不改变D.线段EF的长不能确定

（第4题〉（第5题〉（第6题）

7.如图，点C是线段AB上的任意一点（C点不与A、B点重合），分别以AC、BC为边

在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE,AE与CD相交于点M,BD与CE相

交于点N.

（1）求证:MN/7AB；

（2）若AB的长为10cm,当点C在线段AB上移动时，是否存在这样的一点C,使线段

MN的长度最长?若存在，请确定C点的位置并求出MN的长；若不存在，请说明理由.

（2002年云南省中考题）

8.如图，定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动，M是ST的中点，P是S对

AB作垂线的垂足，求证：不管ST滑到什么位置，NSPM是一定角.

9.已知aABC是。。的内接三角形，BT为。。的切线，B为切点，P为直线AB上一点,

过点P作BC的平行线交直线BT于点E,交直线AC于点F.

⑴当点P在线段AB上时（如图），求证：PA・PB=PE・PF；

（2）当点P为线段BA延长线上一点时，第⑴题的结论还成立吗?如果成立，请证明,

第（2）向图

10.如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE,其中AF=2,BF=1,

在AB上的一点P,使矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是（）

A.8B.12C.—D.14

2

（第10题）（第11题）

11.如图，AB是半圆的直径，线段CA上AB于点A,线段DB上AB于点B,AB=2；AC=1,

BD=3,P是半圆上的一个动点，则封闭图形ACPDB的最大面积是（）

A.2+V2B.1+72C.3+及D.V3+V2

12.如图，在△ABC中，BC=5,AC=12,AB=13,在边AB、AC上分别取点D、E,使线

段DE将4ABC分成面积相等的两部分，试求这样线段的最小长度.

13.如图，ABCD是一个边长为1的正方形，U、V分别是AB、CD上的点，AV与DU相

交于点P,BV与CU相交于点Q.求四边形PUQV面积的最大值.

14.利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛，使花坛全部都能喷到水.已知每个

喷水器的喷水区域是半径为10米的圆，问如何设计（求出两喷水器之间的距离和矩形的长、

宽），才能使矩形花坛的面积最大？

15.某住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场（平面

图如图所示）.其中，正方形MNPQ与四个相同矩形（图中阴影部分）的面积的和为800平方

米

（1）设矩形的边AB=x（米），AM=y（米），用含x的代数式表示），为.

（2）现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2100元；在四个相同

的矩形区域上铺设花岗岩地坪，平均每平方米造价为105元；在四个三角形区域上铺设草

坪，平均每平方米造价为40元.

①设该工程的总造价为5（元），求S关于工的函数关系式.

②若该工程的银行贷款为235000元，仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务?若

能，请列出设计方案；若不能，请说明理由.

③若该工程在银行贷款的基础上，又增加资金73000元，问能否完成该工程的建设

任务?若能，请列出所有可能的设计方案；若不能，请说明理由.

16.某房地产公司拥有一块“缺角矩形"荒地ABCDE,边长和方向如图，欲在这块地

上建一座地基为长方形东西走向的公寓，请划出这块地基，并求地基的最大面积（精确到

1m2）.

参考答案

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阳5叶①，当CQ=OB和”AB的中税@睡财施

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ZN岫ABKsABNA磕唱MK«BN=AB绵f）和AK与BN的魏麟M的解无关.

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2-。-6-2(“+6)(2—0-6)4(a+6)(2—0-6)、4(a+6)(2-。-6)

ZnXA^fO--------n11

端后岸矿了，等号当且仅当。4时成立曲四娜PUQV面积的最大值是京

14.⑴如图，OiQ是两个相同的喷水器所在位置,ABCD是设计的矩形花坛，设花形边长AD=

］米冽PQ=AD=r米，在RtAOEQ中,Of=/O^-QE2=J102-(1)2=1

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从而，符合要求的设计是两个赫器的陋为00=7400-(10期=1。必米)质形两边长AD=1。例MB=

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・最短路线问题

通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中，直线段最短”为原则引申出来的.人

们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题.

在本讲所举的例中，如果研究问题的限制条件允许已知的两点在同一平面内，那么所

求的最短路线是线段；如果它们位于凸多面体的不同平面上，而允许走的路程限于凸多面

体表面，那么所求的最短路线是折线段；如果它们位于圆柱和圆锥面上，那么所求的最短

路线是曲线段；但允许上述哪种情况，它们都有一个共同点：当研究曲面仅限于可展开为

平面的曲面时，例如圆柱面、圆锥面和棱柱面等，将它们展开在一个平面上，两点间的最

短路线则是连结两点的直线段.

这里还想指出的是，我们常遇到的球面是不能展成一个平面的.例如，在地球（近似

看成圆球）上A、B二点之间的最短路线如何求呢？我们用过A、B两点及地球球心0的平

面截地球，在地球表面留下的截痕为圆周（称大圆），在这个大圆周上A、B两点之间不

超过半个圆周的弧线就是所求的A、B两点间的最短路线，航海上叫短程线.关于这个问

题本讲不做研究，以后中学会详讲.

在求最短路线时，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两

点之间直线段最短，从而找到所需的最短路线.像这样将一个问题转变为一个和它等价的

问题，再设法解决，是数学中一种常用的重要思想方法.

例1如下图，侦察员骑马从A地出发，去B地取情报.在去B地之前需要先饮一次马,

如果途中没有重要障碍物，那么侦察员选择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出来.

B

解：要选择最节省时间的路线就是要选择最短路线.

作点A关于河岸的对称点A',即作AA'垂直于河岸，与河岸交于点C,且使AC=A'

C,连接A，B交河岸于一点P,这时P点就是饮马的最好位置，连接PA,此时PA+PB

就是侦察员应选择的最短路线.

证明：设河岸上还有异于P点的另一点P',连接P'A,P'B,PzAz.

'：?'A+P'B=P'A'+P'B>A'B=PA'+PB=PA+PB,

而这里不等式P'A，+P，B>A，B成立的理由是连接两点的折线段大于直线段，

所以PA+PB是最短路线.

此例利用对称性把折线APB化成了易求的另一条最短路线即直线段A，B,所以这种方

法也叫做化直法，其他还有旋转法、翻折法等.看下面例题.

例2如图一只壁虎要从一面墙壁a上A点，爬到邻近的另一面墙壁B上的B点捕蛾，

它可以沿许多路径到达，但哪一条是最近的路线呢？

解：我们假想把含B点的墙B顺时针旋转90°（如下页右图），使它和含A点的墙a

处在同一平面上，此时B转过来的位置记为B',B点的位置记为B，,则A、B'之间最

短路线应该是线段AB',设这条线段与墙棱线交于一点P,那么，折线4PB就是从A点沿

着两扇墙面走到B点的最短路线.

证明：在墙棱上任取异于P点的P'点，若沿折线AP'B走，也就是沿在墙转90°后

的路线AP'B，走都比直线段APB,长，所以折线APB是壁虎捕蛾的最短路线.

由此例可以推广到一般性的结论：想求相邻两个平面上的两点之间的最短路线时，可

以把不同平面转成同一平面，此时，把处在同一平面上的两点连起来，所得到的线段还原

到原始的两相邻平面上，这条线段所构成的折线，就是所求的最短路线.

例3长方体ABCD—AZBzCD'中，AB=4,h'A=2，,AD=1,有一只小虫从顶点W

出发，沿长方体表面爬到B点，问这只小虫怎样爬距离最短？（见图（1））

（1）（2）⑶

解：因为小虫是在长方体的表面上爬行的，所以必需把含D'、B两点的两个相邻的

面“展开”在同一平面上，在这个“展开”后的平面上＞B间的最短路线就是连结这两

点的直线段，这样，从山点出发，到B点共有六条路线供选择.

①从D'点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点，将这两个面摊开在一个平面

上（上页图（2））,这时在这个平面上D,、B间的最短路线距离就是连接）、B两点

的直线段，它是直角三角形ABD，的斜边，根据勾股定理，

D'B2=DZA2+AB2=（1+2）2+42=25,B=5.

②容易知道，从山出发经过后侧面再进入下底面到达B点的最短距离也是5.

③从D'点出发，经过左侧面，然后进入前侧面到达B点.将这两个面摊开在同一平

面上，同理求得在这个平面上山、B两点间的最短路线（上页图（3））,有：

D'B2=22+（1+4）2=29.

④容易知道,从山出发经过后侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也是29.

⑤从D'点出发，经过左侧面，然后进入下底面到达B点，将这两个平面摊开在同一

平面上，同理可求得在这个平面上＞、B两点间的最短路线（见图），

D'B2=（2+4）2+l2=37.

⑥容易知道，从丁出发经过上侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也是37.

比较六条路线，显然情形①、②中的路线最短，所以小虫从D，点出发，经过上底面

然后进入前侧面到达B点（上页图（2））,或者经过后侧面然后进入下底面到达B点的

路线是最短路线，它的长度是5个单位长度.

利用例2、例3中求相邻两个平面上两点间最短距离的旋转、翻折的方法，可以解决

一些类似的问题，例如求六棱柱两个不相邻的侧面上A和B两点之间的最短路线问题（下

左图），同样可以把A、B两点所在平面及与这两个平面都相邻的平面展开成同一个平面

（下右图），连接A、B成线段AP1P2B,Pl、P2是线段AB与两条侧棱线的交点，则折线

AP1P2B就是AB间的最短路线.

圆柱表面的最短路线是一条曲线，“展开”后也是直线，这条曲线称为螺旋线.因为

它具有最短的性质，所以在生产和生活中有着很广泛的应用.如：螺钉上的螺纹，螺旋输

粉机的螺旋道，旋风除尘器的导灰槽，枪膛里的螺纹等都是螺旋线，看下面例题.

例4景泰蓝厂的工人师傅要给一个圆柱型的制品嵌金线，如下左图，如果将金线的起

点固定在A点，绕一周之后终点为B点，问沿什么线路嵌金线才能使金线的用量最少？

解：将上左图中圆柱面沿母线AB剪开，展开成平面图形如上页右图（把图中的长方

形卷成上页左图中的圆柱面时，A'、B'分别与A、B重合），连接AB',再将上页右图

还原成上页左图的形状,则AB'在圆柱面上形成的曲线就是连接AB且绕一周的最短线路.

圆锥表面的最短路线也是一条曲线，展开后也是直线.请看下面例题.

例5有一圆锥如下图，A、B在同一母线上，B为A0的中点，试求以A为起点，以B

为终点且绕圆锥侧面一周的最短路线.

解：将圆锥面沿母线AO剪开，展开如上右图（把右图中的扇形卷成上图中的圆锥面

时，A'、B'分别与A、B重合），在扇形中连AB',则将扇形还原成圆锥之后，AB'所

成的曲线为所求.

例6如下图，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的A点爬到桶内的B点去寻找

食物，已知A点沿母线到桶口（3点的距离是12厘米，B点沿母线到桶口D点的距离是8

厘米，而C、D两点之间的（桶口）弧长是15厘米.如果蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎

么走？路程总长是多少？

分析我们首先想到将桶的圆柱面展开成矩形平面图（下图），由于B点在里面，不

便于作图，设想将BD延长到F,使DF=BD,即以直线CD为对称轴，作出点B的对称点F,

用F代替B,即可找出最短路线了.

解：将圆柱面展成平面图形（上图），延长BD到F,使DF=BD,即作点B关于直线CD

的对称点F,连结AF,交桶口沿线CD于0.

因为桶口沿线CD是B、F的对称轴，所以OB=OF,而A、F之间的最短线路是直线段

AF,又AF=AO+OF,那么A、B之间的最短距离就是AO+OB,故蚂蚁应该在桶外爬到0点

后，转向桶内B点爬去.

延长AC到E,使CE=DF,易知aAEF是直角三角形，AF是斜边，EF=CD,根据勾股定

理，AF2=（AC+CE）^EF2=（12+8）2+152=625=252,解得AF=25.

即蚂蚁爬行的最短路程是25厘米.

例7A、B两个村子，中间隔了一条小河（如下图），现在要在小河上架一座小木

桥，使它垂直于河岸.请你在河的两岸选择合适的架桥地点，使A、B两个村子之间路程

最短.

分析因为桥垂直于河岸，所以最短路线必然是条折线，直接找出这条折线很困难，

于是想到要把折线化为直线.由于桥的长度相当于河宽，而河宽是定值，所以桥长是定

值.因此，从A点作河岸的垂线，并在垂线上取AC等于河宽，就相当于把河宽预先扣除,

找出B、C两点之间的最短路线，问题就可以解决.

解：如上图，过A点作河岸的垂线，在垂线上截取AC的长为河宽，连结BC交河岸于

D点，作DE垂直于河岸，交对岸于E点，D、E两点就是使两村行程最短的架桥地点.即

两村的最短路程是AE+ED+DB.

例8在河中有A、B两岛（如下图），六年级一班组织一次划船比赛，规则要求船从

A岛出发，必须先划到甲岸，又到乙岸，再到B岛，最后回到A岛，试问应选择怎样的路

线才能使路程最短？

解：如上图，分别作A、B关于甲岸线、乙岸线的对称点A，和T，连结A'、B，

分别交甲岸线、乙岸线于E、F两点，则A-E-F-B-A是最短路线，即最短路程为：AE

+EF+FB+BA.

证明：由对称性可知路线A-E-FfB的长度恰等于线段A，B，的长度.而从A岛到

甲岸，又到乙岸，再到B岛的任意的另一条路线，利用对称方法都可以化成一条连接A，、

B'之间的折线，它们的长度都大于线段A'B，,例如上图中用“--------”表示的路

线A-E，一B的长度等于折线AE，F，B的长度，它大于A，B，的长度，所以A-E

-F-BfA是最短路线.

•对称问题

教学目的：进一步理解从实际问题转化为数学问题的方法，对于轴对称问题、中心对

称问题有一个比较深入的认识，可以通过对称的性质及三角形两边之和与第三边的关系找

到证明的方法。

教学重点和难点：猜想验证的过程，及几何问题的说理性。

一、点关于一条直线的对称问题

问题超市：一天，天气很热，小明想回家，但小狗想到河边去喝水。有什么办法能让

小狗到河边喝上水，同是回家又最近？

问题数学化：设小明与小狗在A处，家在B处，小河为L,匕

小明要在直线L上找一个点C（小狗在C处饮水），使得AC+BC

最短。（如图所示）A・

•B

知识介绍：两条线段之和最短，往往利用对称的思想，

把两条线段的和变为一条线段来研究，利用两点之间的线段最短，可以得出结果。

中学数学中常见的对称有两类，一类是轴对称，一类是中心对称。

轴对称有两个基本特征：垂直与相等。构造点M关于直线PQ的轴对称点N的方法是:

过M作M0垂直于PQ于点0,并延长M0到点N,使N0=M0,则点N就是点M关于直线PQ

的对称点。

问题分析：过A作A0垂直于直

线L于点0,延长A0到点A',使

A，0=A0,连接A'B,交直线L于点

C,则小明沿着ACB的路径就可以满

足小狗喝上水，同时又使回家的路

程最短。

问题的证明方法：三角形两边之和大于第三边及对称的性质。

问题的延伸1：已知直线L外有一个定点P,在直线L上找两'

点A、B,使AB=〃，且PA+PB最短。（其中〃为定值）/\

提示：作PC平行于AB,且PC==AB,则问题变为：在直线L-----、——L

上找一个点B,使它到P、C两点的距离之和最短。八B

问题的延伸2：在两条相交线

之外有一个定点P，分别在两条直

线上找点B、C使得PB+BC+CP最短,

如何确定B、C的位置？

提示：分别作点P关于直线L

和直线L2的对称点R和P2,连接

PR分别与两直线交于B、C点，则

PB+BC+PC最短。证明方法同上。

二、桥该建在哪里：

问题超市：农场里有一条小河，里面养了很多鱼。在河的两岸有两个加工厂，农场主

经常要在这两个工厂之间来回奔波。农场新买了一辆汽车，想在农场内建造一条马路，同

时在河上修建一座桥。要求桥与河岸垂直，可是桥应该建在何处，才能使两个加工厂之间

的路程最短？

问题数学化：在直线L和直线L?之间作一条垂线段八

CD,使得BC+CD+DA最短。

---------------------------L1

知识介绍：---------------------L2

关于最短距离，我们有下面几个相应的结论：B・

(1)在连接两点的所有线中，线段最短(两点之间，

线段最短)；

(2)三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

(3)在三角形中，大角对大边，小角对小边。

一般说来，线段和最短的问题，往往把几条线段连接成一条线段，利用两点之间线段

最短或者三角形两边之和大于第三边来加以证明。

另外，在平移线段的时候，一般要用到平行四边形的判定和性质。(判定：如果一个

四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形；性质：平行四边形的对边

相等。)

问题分析：由于CD的长度一定，所以BC+CD+DA最短，只需BC+DA最短既可。我们想

办法把线段AD平移到和线段BC

共线的位置，于是变化为下面两

图。

问题的总结与结论：一般来

说，我们利用图形的对称性寻找

到最近的位置，然后利用三角形

和对称的性质去证明你所选取的

位置是题目中所要求的位置即可。

问题的延伸：如果有两条河，需要建造两座桥，又

该如何呢？如图，把A向下平移到A，的位置，使线段

AA'等于河L-L2的宽度;把B向上平移到B'的位置,

使线段BB'等于河L3—L,的宽度。连接线段B'A',

交Lz于点C,交L3于点F。过C、F分别作垂线段CD、

FE,就是建桥的位置。如果有三条河又如何？更多的河

流建更多的桥又如何呢？

三、对称问题的进一步延伸。

我们已经可以应用轴对称的特点找到一些特殊位置使得线段和最小，那么对于线段差

最小的问题，是否可以得出一些相关的结论呢？

1、直线L的异侧有两个点A、B,在直线L上求一个点C,使得：A、B到C的距离的

•A

差的绝对值最小。

2、你认识一些什么样的轴对称图形，它们各自有什么样的几何性质?

等腰三角形、矩形、正多边形等。

四、如何平分土地：

问题超市：水渠旁有一大块耕地，要画一条直线为分F

界线，把耕地平均分成两块，分别承包给两个人，BC边是

灌溉用的水渠的一岸。两个人不知道怎么平分土地最能满A.___IE

足个人的需要，你看这个土地的形状（比较规则的L形）（如

右图所示），应该怎样平分呢？n

问题数学化：如何在由两个矩形所组成（割、补）的图形中寻找一条直线，使得图形

被分成两部分，且两部分的面积相等，而且，均含有BC边的一部分。

问题分析：

1、如何才能把一个矩形的面积等分。如图，可以应用

矩形的两条对角线所在的直线AC、BD,每组对边的中点所在

直线MP、NQ,且这四条直线都交于同一点0,对矩形的对称

中心。即经过对称中心0的任意一条直线都可以平分矩形的

面积。

2、利用这个结论，土地可以看成是两个矩形进行割、补得到的，分别在每个图中作

两个矩形的对称中心，经过这两个点作一条直线，这条直线就可以把这两个矩形的面积进

行平分，分别如上面三个图形所示：

问题的延伸：三个方案确定之后，两个农民并不满意，他们认为：“这三种方法只是

把土地平分了，但是靠近水源的BC边并没有被平分。”两人为了灌溉方使，都想把靠近水

源的BC边也平分了，谁会愿意要水源少的那块地呢？这三种分地的方法并不公平。那为

了既平分土地，也平分水源，有什么办法呢？

问题的分析：（如右图所示）

直线QR就是原来的分界线取线段QR的中点为S,

取线段BC的中点为P,则直线PS就是满足两个农民要求的

分界线。

问题的证明：ATRS与APQS中，三组内角对应相等，

且RS=PS,则两个三角形全等,所以两个三角形的面积相等,

于是经过直线TP的分界仍保证了土地的平分，且过点P也

使得水源得到了平分。

思考：如果用后两种方案，你是否也得出了可以既平分水源也平分土地的方案?

五、台球桌上的数学问题

问题超市：台球被打到台球桌边上，反弹回来，就是我们常用的对称问题。台球从球

桌的一个角出发，若沿着45。角将球打到对边，然后，球经过几次碰撞，最后到另外的三

个角落之一。如果台球桌的长和宽之比为2:1,需要碰撞几次？如果台球桌的长和宽之比

为3:2、4:3、5:2、5:3……情况又会怎样？

知识介绍：此题类似于物理中光线的反射，当光线入射到平面镜上的时候，光线会被

镜子反射。把反射光线和入射光线看成两条直线的话，那么入射角等于反射角。这在数学

上就是轴对称。在台球桌(长方形)，由于入射角是45。，所以反射角也是45。，这样入射

线和反射线形成一个直角，相应的，在台球桌上就构成了一个等腰直角三角形，利用这一

性质我们可以得到一些有趣的结论。

问题分析：我们分下面几种情况进行分析：

(1)如果长宽比为2:1,如图，则1