2022-2023学年河南省南阳市第二完全学校高级中学高二上学期10月月考数学试卷(含详解)

南阳地区2022~2023年度高二年级9月阶段检测考试卷数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的一个方向向量是（）A. B. C. D.2.若双曲线的一个焦点为，则（）A. B. C.0 D.33.已知直线：，：，若，则（）A.0 B.1 C.2 D.4.若方程表示椭圆，则k的取值范围为（）A. B. C. D.5.已知直线：，：相交于点P，则P到直线l：的距离为（）A. B. C. D.6.如图1是一水平放置的青花瓷．它的颈部（图2）外形上下对称，可看成是双曲线（图3）的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面．若该花瓶的最小直径是瓶口直径的，颈部的高是瓶口直径的1.5倍，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.7.已知，分别为椭圆C：的左、右两焦点，P是C上的点，则使得是直角三角形的点P的个数为（）A.4 B.6 C.8 D.108.设，是椭圆两个焦点，P是椭圆上一点，且点P到两个焦点的距离之差为1，则的面积为（）A2 B.3 C. D.9.已知圆：，圆：，若圆平分圆的周长，则（）A.1 B.2 C.4 D.10.如图，已知两点，，从点射出的光线经直线上的点反射后再射到直线上，最后经直线上的点反射后又回到点，则直线MN的方程为（）A B.C. D.11.已知F是椭圆C：的右焦点，A是C的上顶点，直线l：与C交于M，N两点．若，A到l的距离不小于，则C的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.12.已知F为双曲线C：的左焦点，过F作圆的切线，切点为T，延长FT交C于点P，若M为线段FP的中点，则（）A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13.已知双曲线：上点到焦点的最小距离为1，则双曲线的方程为______．14.写出一条与圆：和圆：都相切的直线的方程：______．15.已知F是双曲线C：的左焦点，点H的坐标为．若点P为C右支上的动点，则的最小值为______．16.如图，在边长为的正三角形内部的两圆，圆与圆外切，且圆与两边相切，圆与两边相切，则两圆的周长之和的最小值为______．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.根据下列条件，求直线的一般方程．（1）过点，且与直线平行；（2）与直线垂直，且与，轴的正半轴围成的三角形的面积等于4．18.已知椭圆C：左右焦点分别为，，且，与短轴的两个端点恰好为正方形的四个顶点，点在C上．（1）求C的方程；（2）若过点的直线l交C于A，B两点，且M是AB的中点，求直线的斜率．19.已知圆W经过点，，．（1）求圆W的标准方程；（2）设直线：与圆交于M，N两点，求面积的最大值及取得最大值时的值．20.已知，，动点P满足，动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若直线：与曲线C交于M，N两点，求的取值范围．21.已知双曲线C：与双曲线W：的渐近线相同，且经过点．（1）求C的方程；（2）已知C的上、下顶点分别为A，B，直线与C交于不同的两点M，N，直线与直线BM交于点G．证明：A，G，N三点共线．22.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，过作直线l交椭圆C于M，N两点，的周长为．（1）求椭圆C的方程；（2）在轴上是否存在异于点的定点Q，使得直线l变化时，直线与的斜率之和为0？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

南阳地区2022~2023年度高二年级9月阶段检测考试卷数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的一个方向向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得直线的斜率，由此求得直线的方向向量.【详解】解：因为直线的斜率为，故其方向向量可以为.故选：A.2.若双曲线的一个焦点为，则（）A. B. C.0 D.3【答案】A【解析】分析】由题意可得，解之即可得出答案.【详解】解：因为双曲线的一个焦点为，所以，解得.故选：A.3.已知直线：，：，若，则（）A.0 B.1 C.2 D.【答案】D【解析】【分析】由题意，直线平行，根据公式求参数，解方程并验根，可得答案.【详解】由题意，，则，，，解得：或，当时，，故不符合题意，当时，，符合题意.故选：D.4.若方程表示椭圆，则k的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得，解方程即可得出答案.【详解】因为方程表示椭圆，所以，解得：且.故k的取值范围为：.故选：D.5.已知直线：，：相交于点P，则P到直线l：的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】联立两条直线求解点坐标，利用点到直线距离公式可得解【详解】由题意，联立可得，故则P到直线l：的距离：故选：A6.如图1是一水平放置的青花瓷．它的颈部（图2）外形上下对称，可看成是双曲线（图3）的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面．若该花瓶的最小直径是瓶口直径的，颈部的高是瓶口直径的1.5倍，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设双曲线方程为，结合题意求出双曲线上一点的坐标为，代入化简计算可得答案.【详解】由图3设双曲线的方程为，由双曲线的性质可知，颈部最小直径为实轴长，则瓶口直径为，又颈部的高是瓶口直径的倍，则高为，故双曲线上一点的坐标为，代入方程得，解得，则双曲线的渐近线方程为.故选：C.7.已知，分别为椭圆C：的左、右两焦点，P是C上的点，则使得是直角三角形的点P的个数为（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】C【解析】【分析】由题意，分为直角，为直角，为直角三种情况讨论，分析即得解【详解】由题意，椭圆C：，，故；若是直角三角形，（1）若为直角：由于为的中点，故设，则故点P为圆与椭圆的交点，联立，可得，即共有4个点（2）若为直角：则，则，有2个点；（3）若为直角：则，则，有2个点；综上，满足条件的点P的个数为8.故选：C8.设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且点P到两个焦点的距离之差为1，则的面积为（）A.2 B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意结合椭圆的定义求出，又因为，由余弦定理可求出，再求出，由三角形的面积公式即可得出答案.【详解】因为椭圆的方程为：，则，，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，因为点P到两个焦点的距离之差为1，所以假设，则，解得：，又因为，在中，由余弦定理可得：，所以，所以的面积为：.故选：C.9.已知圆：，圆：，若圆平分圆的周长，则（）A.1 B.2 C.4 D.【答案】B【解析】【分析】两圆方程相减，可求出公共弦所在的直线方程，再由题意可知圆的圆心在公共弦上，所以将的坐标代入公共弦方程可求得结果.【详解】由，得，所以圆：的圆心为，由和，得，所以两圆公共弦所在直线方程，因为圆平分圆的周长，所以直线上，所以，得，故选：B10.如图，已知两点，，从点射出的光线经直线上的点反射后再射到直线上，最后经直线上的点反射后又回到点，则直线MN的方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据关于直线对称的点是，关于轴对称的点都在直线即可求解.【详解】,所以直线的直线方程为，设关于直线对称的点是，则有，即，所以，即，又因为的中点在直线上，所以，即，联立，解得，所以，又有关于轴对称的点，由对称性可知，均在直线上，所以,由点斜式得，即.故选:D.11.已知F是椭圆C：的右焦点，A是C的上顶点，直线l：与C交于M，N两点．若，A到l的距离不小于，则C的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】据，得到，根据点A到直线距离，求出，从而求出得范围，从而求出答案.【详解】设椭圆的左焦点为，A是C的上顶点，连接，如下图所示：由椭圆的对称性可知，关于原点对称，则又，四边形为平行四边形，又，解得：A到l的距离为：，解得：，即.故选：B.12.已知F为双曲线C：的左焦点，过F作圆的切线，切点为T，延长FT交C于点P，若M为线段FP的中点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用可得的余弦，在焦点三角形中使用余弦定理，结合双曲线定义列方程组可解得PF，然后由M为线段FP的中点可解.【详解】取双曲线右焦点F2，连接PF2，由题知，，所以在中，，所以，所以记，则由双曲线定义和余弦定理可得，解得因为M为线段FP的中点，所以所以故选：D第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13.已知双曲线：上的点到焦点的最小距离为1，则双曲线的方程为______．【答案】【解析】【分析】根据双曲线上的点到焦点的最小距离为半焦距减去半实轴长计算即可.【详解】解：双曲线：的半焦距为，半实轴长为，则双曲线上的点到焦点的最小距离为，解得.故答案为：.14.写出一条与圆：和圆：都相切的直线的方程：______．【答案】（答案不唯一，写出其他两条也对）【解析】【分析】易证得两圆外切，两圆方程相减，即可求出其中一条公切线方程，易得直线与两圆都相切，根据圆的性质结合二倍角的正切公式即可求出另一条切线.【详解】解：圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径，因为，所以两圆外切，则两圆有3条公切线，其中一条公切线过两圆的切点，联立，相减得，即过两圆切点的公切线方程为，当直线为时，圆心到直线等于其半径，圆心到直线等于其半径，所以直线与两圆都相切，，则直线的方程为，设直线与直线交于点，直线与圆的切点为，直线的倾斜角为，另外一条切线的倾斜角为，则，，故，即另一条切线的斜率为，联立，解得，即直线与的交点，所以另一条切线的方程为，综上与圆：和圆：都相切的直线的方程为或或.

故答案为：.（答案不唯一，写出其他两条也对）15.已知F是双曲线C：的左焦点，点H的坐标为．若点P为C右支上的动点，则的最小值为______．【答案】##【解析】【分析】根据双曲线的定义转化为可求解.【详解】设右焦点为，则，依题意，由双曲线的定义有：，，（当在线段上时，取等号）．故的最小值为.故答案为：.16.如图，在边长为的正三角形内部的两圆，圆与圆外切，且圆与两边相切，圆与两边相切，则两圆的周长之和的最小值为______．【答案】【解析】【分析】设圆与圆的半径分别为，，圆与圆与边的切点分别为点，过作，垂足为，进而在中，，，，结合勾股定理得，再根据得，再解不等式可得的最小值为，当且仅当时等号成立，再求周长即可.【详解】解：如图1，设圆与圆的半径分别为，，圆与圆与边的切点分别为点，过作，垂足为，因为，所以，，设为边中点，则，因为圆与圆是边长为的正三角形内部的两圆，所以，当圆为边长为的正三角形的内切圆时，取最大，取最小，如图2，则，即，所以，，所以，在中，，，，所以，，即，因为，所以，，解得所以，的最小值为，当且仅当时等号成立，所以，两圆的周长之和的最小值为故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.根据下列条件，求直线的一般方程．（1）过点，且与直线平行；（2）与直线垂直，且与，轴的正半轴围成的三角形的面积等于4．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据两条平行线的关系设出直线方程，然后代入点求解即可；（2）根据两条线垂直的关系设出直线方程，再求出与坐标轴的交点列出等式解出来即可.【小问1详解】与直线平行的直线，可设为，将代入得，解得，所以直线为：.【小问2详解】与直线垂直的直线可设为，当时，当时，，因为与，轴的正半轴围成的三角形的面积等于4，所以，解得，所以直线为：.18.已知椭圆C：的左右焦点分别为，，且，与短轴的两个端点恰好为正方形的四个顶点，点在C上．（1）求C的方程；（2）若过点的直线l交C于A，B两点，且M是AB的中点，求直线的斜率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可知，因为点在C上，代入结合，即可得出答案.（2）设，代入椭圆的方程，相减后得到，又因为M是AB的中点，所以，代入即可求出的直线的斜率．【小问1详解】设，因为两个焦点和短轴的两个端点为正方形的四个顶点，所以，因为点在C上，所以，又，解得，所以C的方程为.小问2详解】设，因为直线l与椭圆C交于A，B两点，所以，两式相减得①，是AB的中点，所以，则，由（1）知，，所以代入①有：所以直线的斜率为．19.已知圆W经过点，，．（1）求圆W的标准方程；（2）设直线：与圆交于M，N两点，求面积的最大值及取得最大值时的值．【答案】（1）（2）当或时，面积取得最大值2【解析】【分析】（1）设圆W的标准方程为，利用待定系数法求出，即可得解；（2）求出圆心到直线的距离，再根据圆的弦长公式求出，再结合二次函数即可得出答案.【小问1详解】解：设圆W的标准方程为，则有，解得，所以圆W的标准方程为；【小问2详解】解：圆W的圆心，半径，圆心到直线的距离，因为直线：与圆交于M，N两点，所以，解得且，，则，所以令，则，所以当时，即，此时，即或时，面积取得最大值2，所以当或时，面积取得最大值2.20.已知，，动点P满足，动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若直线：与曲线C交于M，N两点，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求P的轨迹方程，首先设出点，然后根据两点间距离公式，求得方程.（2）先求出直线的定点坐标，然后根据垂径定理求得的距离，又因为直线过定点，所以最大取到直径，最小就是垂径定理求得的距离，故可得的取值范围.【小问1详解】设，因为两端同时平方得，故化简得.综上所述曲线C的方程为：【小问2详解】直线：提出得令解得，故直线过定点，因为带入点到圆的方程：，故点在圆的内部，设圆心到直线的距离为，又，所以，又因为，.所以,解得.故的取值范围为：21.已知双曲线C：与双曲线W：的渐近线相同，且经过点．（1）求C的方程；（2）已知C的上、下顶点分别为A，B，直线与C交于不同的两点M，N，直线与直线BM交于点G．证明：A，G，N三点共线．【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意可得