新冀教版九年级上册初中数学 26

26.4解直角三角形的应用

一、选择题

1.如图，在RtZ\4BC中，ZACB=90°,CD±AB,垂足为。，AB=c,Za=a,则C3长为（）

A.cesin2aB.c,cos2a

C.c*sina*tan«D.c»sina»cosa

2.数学活动课上，小敏.小颖分别画了△ABC和尺寸如图.如果两个三角形的面积分别记作

S^ABC,,S&DEF,那么它们的大小关系是（

小敏画的三角形，J雌的三角形

A.5AABC>SAD£FB.5A4BC<SAD£F

C.S/MC=S/\DEFD.不能确定

3

3.如图，RdABC中,ZC=90°,若AB=5,sinA=~,则AC的长是（）

A.3B.4C.5D.6

4.数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A.B的距离，他们设计了如图所示的测量

方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E,再从E沿着垂直于AE的方向走到F,C为AE上一

点，其中3位同学分别测得三组数据：①AC,ZACB；②EF.DE.AD；③C。，

ZACB,/AOB.其中能根据所测数据求得A.2两树距离的有（）

A.0组B.一组C.二组D.三组

5.如图，学校大门出口处有一自动感应栏杆，点A是栏杆转动的支点，当车辆经过时，栏杆4E会自

动升起，某天早上，栏杆发生故障，在某个位置突然卡住，这时测得栏杆升起的角度/BAE=127。，

已知支架48高1.2米，大门8c打开的宽度为2米，以下哪辆车可以通过？（）

（栏杆宽度，汽车反光镜忽略不计）

（参考数据：37M）.60,cw37°=0.80,337M）.75.车辆尺寸:长x宽x高）

A.宝马Z4（4200mmx1800mmx1360mm）

B.奇瑞QQ（4000mmx1600mmx1520mm）

C.大众朗逸（4600mmxl700mmx1400mm）

D.奥迪A4（4700mmx1800mmx1400mm）

6.在课题学习后，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，AB

表示窗户，且A2=2.82米，△BCD表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线CD

的最小夹角a为18。，最大夹角”为66。，根据以上数据，计算出遮阳蓬中CO的长是（结果精确到

0.1）（参考数据:sinl8°~0.31,tanl8°M.32,sin66cM）.91,tan66°~2.2）（）

A.1.2米B.1.5米C.1.9米D.2.5米

7.如图，斜面AC的坡度（CD与AO的比）为1：2,AC=3石米，坡顶有旗杆BC,旗杆顶端2点

与A点有一条彩带相连.若A8=10米，则旗杆8c的高度为（）

A.5米B.6米C.8米D.

（3+75）米

8.如图，某水渠的横断面是等腰梯形，已知其斜坡A。和的坡度为1：0.6,现测得放水前的水面

宽EF为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为2.1米.求放水后水面上升的高度是（）

A.0.55B.0.8C.0.6D.0.75

9.四个规模不同的滑梯A,B,C,D,它们的滑板长（平直的）分别为300m,250m,200m,200

m；滑板与地面所成的角度分别为30°,45°,45°,60°,则关于四个滑梯的高度正确说法（）

A.A的最高B.B的最高C.C的最高D.D的最高

10.湖南路大桥于今年5月1日竣工，为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线.某校数学兴趣小组用

测量仪器测量该大桥的桥塔高度，在距桥塔AB底部50米的C处，测得桥塔顶部A的仰角为41.5°

（如图）.已知测量仪器CD的高度为1米，则桥塔A8的高度约为（）（参考数据：

5/n4l.5°~0.663,cos41.5%0.749,541.5°仪0.885）

A.34米B.38米C.45米D.50米

11.如图，王师傅在楼顶上4点处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60。，若水平距离

BD=Wm,楼高AB=24〃i,则树CO高约为（）

BIQmD

A.5mB.6mC.7mD.8m

12.如图，小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在B处仰望树顶，测得仰角为30。，再往大树的方

向前进4M测得仰角为60。，已知小敏同学身高（4B）为16%则这棵树的高度为（）（结果

精确到0.1m,岳1.73）.

A.3.5mB.3.6mC.4.3mD.5.1m

13.如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60。的方向，前进40海里到达8点,

此时，测得海岛C位于北偏东30。的方向，则海里C到航线A8的距离C。是（）

A.20海里B.40海里C.20G海里

D.406海里

14.如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60。方向上，航行半

小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30。方向上，那么该船继续航行到达离灯塔距离最近

的位置所需时间是（）

A.10分钟B.15分钟C.20分钟D.25

分钟

15.在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A点出发，要到距离A点10千米的C地去，先沿北偏东

70。方向走了8千米到达B地，然后再从B地走了6千米到达目的地C,此时小霞在B地的（）

A.北偏东20。方向上B.北偏西20。方向上

C.北偏西30。方向上D.北偏西40。方向上

二、填空题

16.如图，在RQA8C中，ZACB=90°,AC=8,BC=6,CD±AB,垂足为£>,贝iJtan/BC。的值

是:

17.如图，身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30。和60。的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树

之间的距离为6m,那么这棵树高为（其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高）

______m.

18.如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30。的斜坡AB到达山顶8,如果AB=2000米，则他实际

上升了米.

19.观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端A点处观测

观光塔顶端C处的仰角是60。，然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°.已

知楼房高AB约是45m,根据以上观测数据可求观光塔的高CC是_m.

20.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4k〃，某船从港口A出发，沿北偏东15。方向航行一

段距离后到达B处，此时从观测站。处测得该船位于北偏东60。的方向，则该船航行的距离（即AB

的长）为___km.

北

三、解答题

21.如图，矩形A8C。的对角线相交于点O,过点。作OEL4c交AO于E,若A8=6,

AO=8,求sin/OEA的值.

22.如图①所示，将直尺摆放在三角板上，使直尺与三角板的边分别交于点。，E,F,G,已知/

CGO=42°

（1）求/CEF的度数;

（2）将直尺向下平移，使直尺的边缘通过三角板的顶点8,交AC边于点H,如图②所示，点H,

8在直尺上的度数分别为4,13.4,求BC的长（结果保留两位小数）.

（参考数据：sin42°七0.67,cos420-0.74,tan42"弋0.90）

23.如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB_LDB,坡面AC的倾斜角为45。.为了

方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面。C的坡度为，三6：3.若新坡角下需留

3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：虚引.414,

73-1.732）

B

24.小丽为了测旗杆A8的高度，小丽眼睛距地图1.5米，小丽站在C点，测出旗杆A的仰角为

30。，小丽向前走了10米到达点E,此时的仰角为60。，求旗杆的高度.

25.如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上

的8处沿南偏西60。方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定

调整方向，再朝南偏西45。方向前进了相同的距离，刚好在。处成功拦截蓝方，求拦截点。处到公

路的距离（结果不取近似值）.

答案

一、1.D解析：在Rt^ABC中，ZACB=90°,AB=c,Z,A=a,sina=----,BC=c,sin«,

AB

/A+/B=90°,/£>C8+/B=90°,/A=a.在中，ZCDB=90°,

cosNDCB=----，CD=BC9cosa=c9sina*cosa,故选D.

BC

2.C解析：如图，过点4,。分别作AG_LBC,DHA.EF,垂足分别为G,H,

在RtZXABG中，AG二ABsinB=5xsin500=5sin50°.在RtZ;sDHE中，ZDEH=180°-

130°=50°,DH=DEsinZDEH=5sin50°,.\AG=DH.VBC=4,EF=4,ASAABC=SADEF.故

选C.

3.B解析：VZC=90°,sinA=3，AB=5,ABC=ABxsinA=5x3=3,由勾股定理得：

55

AC=^AB2-BC2=4-故选B-

4.D解析：此题比较综合，要多方面考虑，第①组中，因为知道NAC8和AC的长，所以可

利用/4C8的正切来求4B的长；第②组中可利用/ACB和/AO8的正切求出A8；第③组

xx+CD

中设AC=x,AD=CD+x,AB=------------,AB=-------------

tanZ4cBtanZADB

因为已知CO,ZACB,NADB,可求出x,然后得出AB.故选D.

5.C解析：如图，过点A作BC的平行线AG,过点N作NQ,8c于Q,交AG于点R,则N

BAG=9Q°."：ZBAE=\21°,ZBAG=90°,:.NEAH=NEAB-NBAG=37°.

在ANAR中，ZARN=90°,NEAG=37。，当车宽为1.8"，则GR=1.8w,故AR=2-1.8=

0.2(m),AAr/?=A7?mn37°=O.2x0.75=0.15(m),NQ=1.2+0.15=1.35<1.36,

二宝马Z4(4200/nmx1800/nmx1360mm)无法通过，奥迪A4

(4700/MOTX1800/n/nx1400/«//J)无法通过，故此选项A,。不合题意；

当车宽为1.6加,则GR=1.6〃?，故AR=2-1.6=0.4(m),/.NR=ARtan370=0AxQ.75=

0.3(m),：,NQ=1.2+0.3=1.5<1.52,二奇瑞QQ(4000mmx1600mmx1520mm)无法通

过，故此选项不合题意；当车宽为1.7加，则GR=1.7m故AR=2-1.7=

0.3(m),ANR=ARtan310=Q.3x0.15=0.225(相)，NQ=1.2+0.225=1.425>1.4,

大众朗逸(4600,","X1700，”》?xl400/"，")可以通过，故此选项符合题意；

故选C.

6.B解析：设CO为x.在RfABCZ)中，NBDC=a=18°,•:tcm/BDC=——,

CD

.,.BC=CO”(mNBDC=0.32x.在R/AACO中，/ADC=p=66°,VtanZADC=—,

：.AC=CD-tanZADC=2.2x.,：AB=AC-BC,/.2.82=2.2x-0.32x,解得:x=\.5.

CD长约为1.5米.故选B.

7.A解析：设CD=x,则AO=2x.由勾股定理可得，AC-^x2+（2x）2=45x-

♦；AC=3石米，.•.石x=3石，；.x=3米，."3=3米，.•.40=2x3=6米.

在R3AB。中，BD=>/102-62=8X,二8C=8-3=5米.故选A.

8.D解析：如图，过点E作EMLG/7于点•水渠的横断面是等腰梯形，

GM^-X(GH-EF)=-x(2.1-1.2)=0.45...•斜坡AO的坡度为1：0.6,

22

.".EM：GM=1：0.6,AEM：0.45=1：0.6,；.EM=0.75,故选D.

9.B解析：A.的高度为：300X5/M30°=150（米）.B.的高度为：250乂$〃?45。=125&=176.75

（米）.C.的高度为：200'5历45。=100夜h141.4（米）.

D.的高度为：200*5加60。=1008旬73.2（米）.所以B的最高.故选B.

10.C解析：过D作。于E,OE=8C=50米.在RfAAOE中，

4£=£>£>必”41.5叮50*0.88=44（米）.,.•C£>=1米，，BE=1米，：.AB=AE+BE=44+\=

45（米），...桥塔A3的高度为45米.

11.C解析：过C作CE_LAB,交AB于点E.在R3ACE中，ZEAC=30°,CE=10m,

，AC=2CE=20m,^AC2-CE2=10>/3m,则CO=EB=A8-AE=24-106=7m.故选C.

12.D解析：设CO=x.在kAACO中，CD=x,ZCAD=30°,贝ij必”30。=0AD=x：AD故

AD=-j3x,在R/^CEO中，CD=x,ZCED=60°,贝Ufa“60°=C。：ED=x：ED.^LED=旦.由

3

题意得，AD-ED=>/3x--x=4,解得x=26,则这棵树的高度为26+1.6=5.1（m）.故选

3

D.

13.C解析：根据题意可知/CA£>=30。，ZCBD=60°,VZCBD=ZCAD+ZACB,

NCAO=30°=NACB,A8=8C=40海里.在RfZiCB。中，NBDC=9G°,

ZDBC=60°,sinZDBC=—,：.sin60°=—,C£>=40xs，〃60°=40x正=20后(海

BC22

里).故选C.

14.B解析：作MN_LA8于点N.1•在直角中，ZMB^=90°-30°=60°,

/8MN=30°,又NMAN=90°-60°=30°,；./AMN=30°,/.ZMAB=ZM,：.AB=BM,

.•.BN=LBM,又：由A到B航行半小时，即30分钟，.•.由8到N是15分钟.故选B.

2

15.B解析：如图，：AC=10千米，AB=8千米，BC=6千米，：.AC2=AB2+BC2,

.1△ABC为直角三角形，即/ABC=90。.又点在A的北偏东70。方向，

二/1=90。-70。=20。，Z2=Z1=2O°,即C点在8的北偏西20。的方向上.

故选B.

3

二、16.-解析：在RaABC与RfABC。中，NA+N8=90。，ZBCD+ZB=90°.

4

/A=/BCD.tan^BCD-tanXA=^^-=—=—.

AC84

17.(273+1.6)解析：由题意得：AO=6m.在中，％"4=乌=走,

AD3

ACD=25/3.XAB=1.6m,ACE=CD+DE=CD+AB=2>/3+1.6,所以树的高度为(273+1.6)

m.

18.1000解析：过点8作8C_L水平面于点C,在R3A8C中，・・・A8=2000米，

N4=30。,BC=ABsin300=2000x1=1000,

2

旦

AC

19.135解析：；爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部。处的俯角是30。，

/A£>2=30。，在中，tan300=—,解得至=且，：.AD=45y/3.

ADAD3

•••在一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60。，...在R3ACO中，

CO=AO"a〃60°=45豆x石=135米.

20.2夜解析：如图，过点A作AOJ_OB于D.在mAAO。中，VZADO=90°,

NAO£）=30°,OA^km,：.AD=-OA^2km.在RfAABD中，VZADB=90°,NB=

2

ZCAB-ZAOB=15°-30°^45°,：.BD=AD^2km,:.AB=近AD=2近km.即该船航行的距离

（即AB的长）为2近km.

北

I

S南

三、21.解：连接EC.

•.,四边形ABCO为矩形，，OA=OC,ZABC=90°,

利用勾股定理得：AC=〃再万3=1