初中数学竞方程部分强化练习7

初中数学竞方程部分强化练习7

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

xy4-yz=63

”，的正整数解的组数是（）.

{xz+yz=23

A.1B.2C.3D.4

2.下列方程中，是二项方程的是（）

A.；/+8=0B.4•-16=0C.x3+x=lD.x2=y2

2X

3.口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个.现从中任取10个球，使

得白球不少于2但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的

种数是（）.

A.14B.16C.18D.20

4.在方程组[=中，x,y,Z是互不相等的整数，那么此方程组的解的

[JT+y+z=-36

组数为（）

A.6B.3C.多于6D.少于3

5.八年级二班的同学参加社区公益活动——收集废旧电池，其中，甲组同学平均每人

收集17个，乙组同学平均每人收集20个，丙组同学平均每人收集21个.若这三个小

组共收集了233个废旧电池，则这三个小组共有学生（)人.

A.12B.13C.14D.15

6.方程J3+J9+X=取的实数根的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

7.已知实数。，b满足a3-3/+5a=l,b3-3h2+5b=5,贝|J〃+Z?=()

A.2B.3C.4D.5

8.将关于x的一元二次方程/-px+g=0变形为/=px-q,就可以将了表示为关于x

的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如（px-g）=...,我们将这

种方法称为'‘降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”，已

知：/-X-1=0,且x>0,则/-的值为（）

A.1-非B.1+非C.3-^5D.3+石

9.若两个不同的自然数“，6组成的数对（〃，力满足它们的算术平均数A=4和几何

平均数G=^h均为两位数，且/和G中的一个可由另一个交换个位和十位数字得

到，则称这样的自然数对为“好数对”.那么，满足条件的好数对有（）对.

A.1B.2C.3D.4

10.关于X的方程卜、卜。仅有两个不同实根，则实数。的取值范围是（）.

A.a>0B.a>4C.2<a<4D.O<«<4

二、填空题

11.方程2（l—3x）4-32=0的木艮是.

12.已知正整数机和〃有大于1的最大公约数，并且满足加+〃=371,则机〃=

|x+y|+|x|=4

13.方程\二|।。的解共有

2|x+y|+3|x|=9--------------

14.若实数x,y满足r+y3+；(x+y)=£,则x+y的最大值为

15.某店将某种超级VCD按进价提高35%,然后打出“九折”酬宾并外送50元，结果

每台VCD仍获利208元，那么每台超级VCD的进价为

16.（3x+2）4-,w=0有一个解为x=7,那么这个方程的另一个解为

三、解答题

x+y+J(x+2)(y+3)=34

17.解方程组《

*+2)2+(y+3)2+(x+2)(y+3)=741

4x2+4xy+y2=9

18.解方程组:

x2+5孙—6,2=0

19.所有的整数a,使得关于x的一元二次方程Y-x45/-26“-8-（a，-4a+9）=0

的两根皆为整数.

20.已知a、b均为非负数，且满足3a+2i>-2c=0,4a+b-6c--10,已知

S=3a+b-lc,设为S的最大值和的最小值分别为x、y.求孙的值.

21.今有浓度为5%,8%,9%的甲、乙、丙三种盐水分别为60g,60g,47g,现要配制成浓

度为7%的盐水100g.间甲盐水最多可用多少克?最少可用多少克？

22.海关缉私快艇装满汽油后，每艘可航行300海里.现有3艘缉私快艇同时从海关

出发，巡逻后应全部返回.为使搜巡范围更宽，在巡逻至某处后，其中两船留足自己

返回的用油，将多余的油交给第3只船使用.问第3只船的最远巡逻距离距海关多少

海里？

23.一列火车长x米，匀速通过300米的隧道，用时25秒，隧道顶部一盏固定的灯在

火车上照了10秒，求火车的长度.

24.数码不同的两位数将其数码顺序交换后，得到一个新的两位数，这两个两位数的

平方差是完全平方数.求所有这样的两位数.

25.已知b,c为整数，方程5/+云+c=O的两根都大于T且小于0.求6和c的值.

参考答案：

1.B

【解析】

【分析】

【详解】

解选B.理由：由x,y,z均表示正整数，根据整数运算的封闭性，由第二个方程得

z(x+y)=23,而23不是两个正整数(除去I与23)的乘积，故可得《”，或

[x+y=23

Jz=23,

[x+y=l.

而x+y=I不可能是两个正整数的和式，故舍去.

孙+y=63,

把z=l代入题设方程组得

x+y=23.

因此，原方程组的正整数解为(X,y,Z)=(20,3,1),(2,21,1).

2.A

【解析】

【分析】

根据二项方程的定义，逐个判断得结论.

【详解】

解：二项方程需满足：

口方程是整式方程，

口方程只含有一个未知数，

口方程共两项，三个条件.

U方程A满足二项方程的条件，

故选项A是二项方程；

方程B不满足条件口，

方程C不满足条件口，

方程D不满足条件口，

故选项B、C、D不是二项方程.

故选：A.

答案第1页，共14页

【点睛】

本题考查了高次方程，掌握二项方程的定义是解决本题的关键.

3.B

【解析】

【分析】

【详解】

设取出的球中白球、红球、黑球的个数分别为x,歹，z,则x+y+z=10,2<x<8,

24yM5,0<z<3.按z=0,1,2,3依次枚举可得(x,y,z)等于(5,5,0),(6,4,0),

(7,3,0),(8,2,0)：(4,5,1),(5,4,1),(6,3,1),(7,2,1)；(3,5,2),(4,4,2),(5,3,2),

(6,2,2)；(2,5,3),(3,4,3),(4,3,3),(5,2,3)共16组解.故选B.

4.A

【解析】

【分析】

【详解】

利用V+V+z3-3种=(X+y+0,+y2+z2-孙-血+同=0,把原方程组转化为解不

定方程3盯z=-36.

因为d+V+z?-3xyz

=(x+y+z)^x2+y2+z2-xy-yz-zx)

=0,

^^xy+y3+z}=3xyz,从而得3盯z=-36,

即xyz=-12.

因此x,y,z中一定是两正一负，且x+y+z=0.

又12=1*1x12=1x2x6=1x3x4=2x2x3,

则上述两种组合中，只有12=1x3x4符合条件.

x=1,x=l,x=3,x=3,x=-4,x=-4,

所以y=3,或，、=-4,或,。=1,或，》=-4,或,y=L或，"3,

z=-4,z=3,z=-4,z=1,z=3,z=1.

共有6个解.故选A.

5.A

答案第2页，共14页

【解析】

【分析】

【详解】

解选4理由：设甲、乙、丙三个小组的学生人数分别为x,y,z.由题意得

17x+20y+21z=233.

因233=17x+20y+21z>17x+17y+17z,贝lj

1717

又233=17x+20y+21z<21x+21y+21z,则

233一2

x+y+z>-----=11—

2121

212

于是，11—<x+y+z<13—.

2117

由于x,nz均为正整数，则

x+y+z=12或x+y+z=13.

(□)当x+y+z=13时，由方程组

卜+y+z=13,

[17x+20y+21z=233汨去x,得3y+4z=12,此方程无正整数解.

(□)当x+y+z=12时，由方程组

x+y+z=\2,

消去z,得4x+y=19,此方程有正整数解.

17x+20y+21z=233

故x+y+z=12,即三个小组共有学生12人.

fx+y+z=12,

实际上，由于x,y,z均为正整数，并结合方程组,,in可解得

[4x+y=19,

(x,y,z)=(3,7,2),(4,3,5).

6.B

【解析】

【分析】

【详解】

令y=09+x,则且x=/-9,原方程变为"3+y=犷_9,解得y=l或y=6,

从而可得x=-8或x=27.

答案第3页，共14页

检验可知：x=-8是增根，舍去；x=27是原方程的实数根.

所以，原方程只有1个实数根.

7.A

【解析】

【分析】

【详解】

有已知条件可得3-1)3+2(。-1)=-2,(。-1)3+2件-1)=2,两式相加得

(a-l)3+2(a-l)+(/?-l)3+2(Z?-l)=0,

因式分解得(a+b—2)[(a—l)2—(a-l)(6-l)+S-l)2+2]=0.

因为

L-12

(…-3-1)(1)+(1)2+2=[(即1)-胪1可+3/-1)2+2>0,

所以。+人一2=0,因此。+/?=2.

8.B

【解析】

【分析】

由题可知f=x+l,将所求式子变形为xG+1)-2(x+1)+2x+l再求解即可.

【详解】

解：口/r-1=0,

口/=工+1,

□%5-2f+2x+1

=x(x+1)-2(x+1)+2x+l

=x2+x-2x-2+2x+l

=f+x-1

=(x+1)+x-1

二2x,

□x2-x-1=0,

□a=1,6=-l,c=-1,

答案第4页，共14页

□A=/?2—4ac=1—4x1x(—1)=5,

解得或x=lz在，

22

□x>0,

,,_1+石

□x=———,

2

□x3-2x2+2x+1=1+75,

故选：B.

【点睛】

本题考查高次方程的解，理解题中所给降次的方法，灵活降次，准确求一元二次方程的根

是解题的关键.

9.A

【解析】

【分析】

【详解】

(a+b=2A,

解选A.理由：由题意得,i

[ab=G.

则a,b是关于x的一元二次方程V-2AX+G2=0的两根.

解得出力=A±A/A2-G2•

从而，7^石■是自然数.

设A=10p+q(14p,q49),则G=10q+p.

A2-G2=(A+G)(A-G)=9xll(p+9)(p-^).

要使A?-G?为完全平方数，必须U|(p+q)或q).

fB1<p-<8,故

所以，ll|(p+q).

又p+qV9+8=17,故p+q=ll.

这就要求。一夕是完全平方数，而p-q48<32,则可能有p_q=22=4或p-q=r=l.

当。-4=4,。+4=11时，p,q均不为整数，故夕一夕h4.

答案第5页，共14页

当p-q=l,p+g=ll时，，得p=6,q=5,止匕时，A,G分别为65和56.

进而求得（“㈤为（98,32）.

故满足条件的好数对只有1对.

10.D

【解析】

【分析】

【详解】

当〃<（）时，无解；当。=0时，x=O,不合题意；当。>0时，原方程化为一一=土“，整理

x-1

得

x2-ax+a=00^.X2+ax-a=0

因为□的判别式4=/+4。>0,方程口必有两个不同实根.

而原方程只有两个不同实根，故方程口无实根，所以它的判别式A=/-4a>0,解得

0<«<4.

故应选D

11.X7=l,X2=——

3

【解析】

【分析】

移项整理得（1-3外4=16,然后两边同时开四次方得x-l=±2,由此即可解决问题.

【详解】

解：口2（1-3》）4-32=0,

□（1-3X）4=16,

□l-3x=±2,

_,1

故答案为X/=l,X2=-.

【点睛】

本题考查高次方程的解法，解题的关键是降次，这里通过开四次方把四次降为了一次.

12.196

答案第6页，共14页

【解析】

【分析】

【详解】

理由：设k是加，〃的最大公约数，则加和〃可以表示为妨(々>1,a,6均为

正整数).

于是，，/+〃=(fa/)3+kh=k[jca3+b)=371=7x53.

因为4>1且7与53都是质数,k2a3+b>k2a3>k2>k,

所以&=7且上2a3+>=53,

即49x/+b=53.由a,6是正整数，得a=l/=4.

所以机=7,”=28.故"V2=7x28=196.

13.4

【解析】

【分析】

【详解】

।,,.[M+V=4

设x+y=",.q=v,则｛，

[2w+3v=9

[x+v=±3

解得〃=3#=1,于是:

[x=±l

所以(为,》=(1,2),(1,7),(—1,4)或(—1,一2),共4组.故应填4.

14.3

【解析】

【分析】

【详解】

由1+>3+；(_¥+>)=£可得*+田卜2-孙+力+；(*+>)=£,

即(x+y)[2f+J+；卜冷.

令x+y=k,注意至|」》2_孙+'2+工=(》_2]+3y2+工>0,故x+y=A>0.

4I2)44

又因为f一个+：/+!=(x+y)2-3盯+!,故由□式可得二一3%玳+!攵=:，

4442

答案第7页，共14页

所以肛=

3k

,31，15

于是，x,了可看作关于/的一元二次方程/4+42。的两根,

3k

k.3+-1,k--15

所以A=(一女尸一4----——2,>o，

3k

化简得二+"3040,即(03)伊+3&+10)40,所以0<&43.

故x+y的最大值为3.

15.1200元

【解析】

【分析】

【详解】

解设每台超级VCD的进价为x元.

题意翻译

（每台）按进价提高35%每台（1+35%）-元

然后打出“九折”酬宾每台(1+35%)"-90%

并外送50元每台(1+35%)工90%-50元

结果每台VCD获利208元(1+35%)-A:-9O%-5O-X=208

那么每台VCD进价为x=

整理，得二^*=258,二%=1200.

200

即每台VCD的进价为1200元故填1200元.

16.x=-10

【解析】

【分析】

答案第8页，共14页

将x=7代入原方程求出机的值，再把加的值代回原方程，通过直接开平方法解原方程,

得到方程的两个解，可得答案.

【详解】

将x=7代入方程（2x+3）“一〃7=0,得17J〃?=0,即初=17%

故原方程为：（2x+3）‘-174=0,

移项，得：（2X+3）4=174,

两边直接开4次方，得：2x+3=17或2x+3=-17,

解得：％=7,x2=-10,

故答案为x=-10.

【点睛】

本题考查了解二项方程，根据方程的解求得字母"?的值是解题的关键.

173[x.=2一3=2

【解析】

【分析】

先设〃=x+2,v=y+3,把方程组化简为卜:":疝=39,然后再设“+v=s,利

w+v+wv=741

用完全平方公式化简后，再用加减消元可以求出方程组的解.

【详解】

解：设x+2="，y+3=v,

H+V+VMV=39

则原方程组变为

u2+v2+uv=741

又设"+v=s,uv=t,则原方程组又变形为:

s+〃=39⑴

?-/=741(2)

由（2）除以（1）得s-4=19⑶，

5=29

由（1）（3）得

f=100'

答案第9页，共14页

w+v=29u,=25w2=4

解之得匕=4或

MV=100畤=25

x+2=25Jx+2=4

y+3=4或jy+3=25

百二23x=2

•••原方程组的解为2

y=i%=22

【点睛】

本题考查的是高次方程组，利用换元的方法把方程化简降次，然后用加减消元法可以求出

方程组的解.

1818

x=——x=------

1111x=\x=-\

18.〈1或

33y=iy=­I

y=一y=­

1111

【解析】

【分析】

首先把方程组的每个方程降次，然后根据二元一次方程的求解方法，求出原方程组的解即

可.

【详解】

4x2+4xy+y2=9①

解:

炉+5不，-6y2=0②

由口可得=9,则：2x+y=±3,

由口可得(x+6y)(x-y)=。，则：x=-毋或x=y,

⑴把x=-6y代入2x+y=±3,

1818

x=——x=------

11-11

解得_3或

3

'-TTy=—

11

(2)把x=y代入2'+歹=±3,

x=\x=-l

解得日或

y=-l

答案第10页，共14页

18

x——

11

原方程组的解是

3

)'=一

11

【点睛】

此题主要考查了高次方程的求解方法，要熟练掌握，解高次方程一般要降次，即把它转化

成二次方程或一次方程.也有的通过因式分解来解.

19.6

【解析】

【分析】

【详解】

设方程的两根为知弓，于是，反-264-8=耳+々=整数，

即方程口为整系数一元二次方程，其根为整数，则其判别式』必为完全平方数.

设(5/—26a-8)+4-4a+9)=〃/wN,

即(3〃-7)2-从=21,

故(3。-7—b)(3a-7+/?)=21.

X21=3x7=lx21=(-7)x(-3)=(-21)x(-1),

[■34-7-人=3\3a-l-b=\,\3a-n-b=-l,[3a-7-/?=-21,

贝“a或7,人ci或，Q2或1二.

[3a—7+o=7[3a—7+0=21[3a—7+Z?=—3\3a—/+b=-l.

24

分别解得a=4,6,§,一§.

因。为整数，且当“=4时，困,-26a-8无意义,所以，只有。=6,此时，方程口变为

丁-41-21=0,它有两个整数根7和-3.

因此，所求的整数为a=6.

20.180

【解析】

【分析】

【详解】

[3a+2〃-2c=0K①

解.V

[4a+。-6c=-10K②

答案第11页，共14页

由⑵x2-(1)得。=2。-4(3)

把(3)代入(2)得b=6-2c

a=2c-4>0

因为。、b、。均为非负数，所以｛〃=6-2。20,2<c<3.

c>0

S=3a+b-7c=-3c-6

£ax=T2,Smin=-15,初=180

21.甲种盐水最多可用49g,最少可用35g

【解析】

【分析】

【详解】

x+y+z=100

5%x+8%y+9%z=100x7%

设3种盐水应分别取xg，）g，zg,<04x460

0<y<60

0<z<47

y=200-4x04200-4x460

解得所以

z