第三章　排列、组合与二项式定理-课件

第三章

3.1.2排列与排列数第1课时排列与排列数学习目标XUEXIMUBIAO1.理解并掌握排列的概念.2.能用计数原理推导排列数公式.3.理解并掌握排列数公式.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE知识点一排列的定义一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照

排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列.一定的顺序知识点二排列数的定义从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的

，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号A表示.思考排列与排列数相同吗？答案

排列数是对象排列的个数，两者显然不同.所有排列的个数知识点三排列数公式及全排列1.排列数的两种形式(1)＝

＝

，其中m，n∈N＋，并且m≤n.2.全排列：把n个不同对象

取出的一个排列，叫做n个对象的全排列，全排列数为

＝n！(叫做n的阶乘).规定：0！＝

.n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)全部11.a，b，c与b，a，c是同一个排列.(

)2.同一个排列中，同一个元素不能重复出现.(

)3.在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化.(

)4.从4个不同元素中任取3个元素，只要元素相同，得到的就是相同的排列.(

)思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×√×××2题型探究PARTTWO例1

判断下列问题是否为排列问题：(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；一、排列的概念解

票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题.解

植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题.(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；解

不存在顺序问题，不属于排列问题.解

每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题.(6)某班40名学生在假期相互通信.解

A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题.所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题.反思感悟判断一个具体问题是否为排列问题的思路跟踪训练1

判断下列问题是否为排列问题：(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？解

第一问不是排列问题，第二问是排列问题.“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题.解

第一问不是排列问题，第二问是排列问题.(3)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？解

确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题.二、画树形图写排列例2

将A，B，C，D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，试用树形图列出所有可能的排法.解

树形图(如图)：由树形图知，所有排法有BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA.反思感悟树形图的画法(1)确定首位，以哪个元素在首位为分类标准进行确定首位.(2)确定第二位，在每一个分支上再按余下的元素，在前面元素不变的情况下定第二位并按顺序分类.(3)重复以上步骤，直到写完一个排列为止.跟踪训练2(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？解由题意画树形图，如图.故所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个.(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列.解由题意画树形图，如图.故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24个.三、排列数公式的应用命题角度2利用排列数公式化简例3－2

(1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N＋且n<55)；解∵55－n,56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有(69－n)－(55－n)＋1＝15(个)数，(2)化简n(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋m).反思感悟排列数公式的选择(1)排列数公式的乘积形式适用于计算排列数.(2)排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算.化简得x2－19x＋84<0，解得7<x<12，

①由①②及x∈N＋，得x＝8.√3随堂演练PARTTHREE123451.(多选)下面问题中，不是排列问题的是A.由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数B.从40人中选5人组成篮球队C.从100人中选2人抽样调查D.从1,2,3,4,5中选2个数组成集合√√√解析

选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B，C，D只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关.2.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为A.甲乙、乙甲、甲丙、丙甲B.甲乙丙、乙丙甲C.甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙D.甲乙、甲丙、乙丙12345√解析

从三人中选出两人，而且要考虑这两人的顺序，所以有如下6种站法：甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙.12345A.9×3 B.93C.9×8×7 D.9×8×7×6×5×4×3√12345√12345361.知识清单：(1)排列的定义.(2)“树形图”法列举排列.(3)排列数，排列数公式.(4)全排列，阶乘的概念.2.方法归纳：数形结合法.3.常见误区：(1)排列定义不明确.(2)忽视

中“n，m是自然数”这个条件.课堂小结KETANGXIAOJIE4课时对点练PARTFOUR1.(多选)从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做以下数学运算，并分别计算它们的结果.在这些问题中，相应运算可以看作排列问题的有A.加法

B.减法

C.乘法

D.除法解析

因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题，故选BD.基础巩固12345678910111213141516√√2.设m∈N＋，且m<15，则

等于A.(20－m)(21－m)(22－m)(23－m)(24－m)(25－m)B.(20－m)(19－m)(18－m)(17－m)(16－m)C.(20－m)(19－m)(18－m)(17－m)(16－m)(15－m)D.(19－m)(18－m)(17－m)(16－m)(15－m)12345678910111213141516√解析

是指从20－m开始依次连续的6个数相乘，即(20－m)(19－m)(18－m)(17－m)(16－m)(15－m).12345678910111213141516√4.甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为A.6 B.4 C.8 D.1012345678910111213141516√解析

列树形图如下：故组成的排列为丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4种.12345678910111213141516√123456789101112131415163123456789101112131415167.从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成____个以b为首的不同的排列，它们分别是_________________________________________________________.12bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed解析

画出树形图如下：可知共12个，它们分别是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.123456789101112131415165原方程可化为3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)，∵x≥3，∴可化为3x2－17x＋10＝0，即(3x－2)(x－5)＝0，123456789101112131415169.写出下列问题的所有排列：(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？解列出每一个起点和终点情况，如图所示.故符合题意的机票种类有：北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种.12345678910111213141516(2)两名老师和两名学生合影留念，写出老师不在左端且相邻的所有可能的站法，并回答共有多少种？解

由于老师不站左端，故左端位置上只能安排学生.设两名学生分别为A，B，两名老师分别为M，N，此问题可分两类：由此可知，所有可能的站法为AMNB，ANMB，ABMN，ABNM，BMNA，BNMA，BAMN，BANM，共8种.12345678910111213141516综合运用12345678910111213141516√12.三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有A.4种

B.5种

C.6种

D.12种12345678910111213141516√解析

若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法；同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有6种不同的传法.解析

∵n×n！＝[(n＋1)－1]×n！＝(n＋1)！－n！，∴原式＝(2！－1！)＋(3！－2！)＋(4！－3！)＋…＋[(n＋1)！－n！]＝(n＋1)！－1.1234567891011121314151613.化简：1！＋2×2！＋3×3！＋…＋n×n！＝_______________.(n＋1)！－112345678910111213141516{4,5}由排列数公式，原不等式可化为(2x＋1)·2x·(2x－1)(2x－2)<140x(x－1)(x－2)，因为x∈N＋，所以x＝4或x＝5.所以不等式的解集为{4,5}.15.某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5,4种退热药b1，b2，b3，b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a1，a2两种药或同时用或同时不用，a3，b4两种药不能同时使用，则所有不同试验方法有____