七年级数学动角问题2(教师版)

动角问题1．已知：O为直线AB上一点，一个三角板COD的直角顶点放在点O上，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，当三角形COD绕O点旋转到如图所示时，下列结论不正确的是（）CA．∠AOD－∠EOC＝90° B．∠AOC－∠BOD＝90°C．∠AOE－∠BOF＝45° D．∠EOF＝135°2．如图1，已知∠AOC＝2∠BOC，∠AOB与∠BOC互补(1)求∠AOB的度数(2)经过点O在∠AOC内部作射线OD，OE、OF分别为∠AOD和∠BOC的平分线，当OD绕点O在∠AOC内部转动时，请写出∠AOB、∠COD和∠EOF之间的等量关系，并说明理由(3)如图，P在BO的延长线上，若∠POD＝50°，将∠AOC绕点O顺时针旋转，使AC与直线OB相交，在旋转的过程中，那么∠AOD－∠BOC的值是否发生变化？请说明理由解：(1)∵∠AOB与∠BOC互补∴∠AOB＋∠BOC＝180°∵∠AOC＝2∠BOC∴∠BOC＝∠AOB∴∠AOB＋∠AOB＝∠AOB＝180°∴∠AOB＝135°（当然：设未知数可能会更直观）(2)∠AOB＋∠COD＝2∠EOF（基本结论）(3)由(1)可知，∠AOC＝∠AOB＝90°设∠BOC＝x∴∠AOB＝90°－x，AOD＝180°－50°－(90°－x)＝40°＋x∴∠AOD－∠BOC＝40°＋x－x＝40°1、角度问题的常考题型：角度的基本概念、角度的转换与计算、角平分线与方位角的计算、方程思想求角度、选择压轴的角度多结论问题，分类讨论及定值问题。2、常用方法：设元法、方程思想、分类讨论等。1．如图1，已知∠AOC＝2∠BOC，∠AOB与∠BOC互补(1)求∠AOB的度数(2)经过点O在∠AOC内部作射线OD，OE、OF分别为∠AOD和∠BOC的平分线，当OD绕点O在∠AOC内部转动时，请写出∠AOB、∠COD和∠EOF之间的等量关系，并说明理由(3)如图，P在BO的延长线上，若∠POD＝50°，将∠AOC绕点O顺时针旋转，使AC与直线OB相交，在旋转的过程中，那么∠AOD－∠BOC的值是否发生变化？请说明理由解：(1)∵∠AOB与∠BOC互补∴∠AOB＋∠BOC＝180°∵∠AOC＝2∠BOC∴∠BOC＝∠AOB∴∠AOB＋∠AOB＝∠AOB＝180°∴∠AOB＝135°（当然：设未知数可能会更直观）(2)∠AOB＋∠COD＝2∠EOF（基本结论）(3)由(1)可知，∠AOC＝∠AOB＝90°设∠BOC＝x∴∠AOB＝90°－x，AOD＝180°－50°－(90°－x)＝40°＋x∴∠AOD－∠BOC＝40°＋x－x＝40°2．已知，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC(1)如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数(2)在如图1中，若∠AOC＝α，直接写出∠DOE的度数（用含α的代数式表示）(3)将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置①探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由②在∠AOC的内部有一条射线OF，满足2∠AOF＋∠BOE＝(∠AOC－∠AOF)，试确定∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，说明理由(1)∠DOE=20°(2)(3)（1）设∠DOE=则∠COE=90°-∵ OE平分∠BOC∴∠BOC=2∠COE=180°-2∴∠AOC=180°-∠BOC=2即∠AOC=2DOE（2）设∠DOE=，∠AOC=2∵ OE平分∠BOC，∠COD=90°∴∠BOE=∠COE=90°-∵2∠AOF+∠BOE=(∠AOC-∠AOF∴2∠AOF+90°-=(2-∠AOF)∴∠AOF=2-90°即4∠DOE-5∠AOF=180°3．∠AOB＝90°，∠COD＝60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD(1)如图1，当A、O、D三点共线时，则∠EOF＝__________(2)将∠COD绕点O顺时针方向旋转至如图2所示位置，∠COD的两边OC、OD都在∠AOB的内部，求∠EOF的度数(3)当∠COD旋转至如图3所示位置，作∠EOF的角平分线ON，求∠EON的度数解：(1)75°(2)设∠AOE＝∠COE＝x，∠BOF＝∠DOF＝y∵∠AOB＝90°∴2x＋2y＋60°＝90°，x＋y＝15°∴∠EOF＝x＋y＋60°＝75°(2)设∠AOE＝∠COE＝x，∠BOF＝∠DOF＝y∵∠DOC＝60°∴∠COF＝y－60°∵∠AOB＋∠BOF＋∠COF＋∠AOC＝360°∴90°＋y＋y－60＋2x＝360°，x＋y＝165°∴∠EOF＝x＋y－60°＝105°∵ON平分∠EOF∴∠EON＝∠EOF＝52.5°4．已知∠AOB和∠COD均为锐角，∠AOB＞∠COD，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，将∠COD绕着点O逆时针旋转，使∠BOC＝α（0≤α＜180°）（1）若∠AOB＝60°，∠COD＝40°，①当α＝0°时，如图1，则∠POQ＝____________．②当α＝80°时，如图2，求∠POQ的度数．③当α＝130°时，如图3，请先补全图形，然后求出∠POQ的度数．（2）若∠AOB＝m°，∠COD＝n°，m＞n，则∠POQ＝____________．解：（1）①∠POQ＝___50°___．………2分②解：∵∠AOB＝60°，∠BOC＝α＝80°∴∠AOC＝140°∵OP平分∠AOC∴∠POC＝eq\f(1,2)∠AOC＝70°∵∠COD＝40°，∠BOC＝α＝80°且OQ平分∠BOD同理可求∠DOQ＝60°∴∠COQ＝∠DOQ－∠DOC＝20°∴∠POQ＝∠POC－∠COQ＝70°－20°＝50°………5分③解：∵∠AOB＝60°，∠BOC＝α＝130°∴∠AOC＝170°∵OP平分∠AOC∴∠POC＝eq\f(1,2)∠AOC＝85°∵∠COD＝40°，∠BOC＝α＝130°且OQ平分∠BOD同理可求∠DOQ＝85°∴∠COQ＝∠DOQ－∠DOC＝85°－40°＝45°∴∠POQ＝∠POC＋∠COQ＝85°＋45°＝130°………8分(2)当∠AOB＝m°，∠COD＝n°时，∠POQ＝eq\f(1,2)m°＋eq\f(1,2)n°或180°－eq\f(1,2)m°－eq\f(1,2)n°………12分5．已知∠AOD＝α，射线OB、OC在∠AOD的内部，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD(1)如图1，当射线OB与OC重合时，求∠MON的大小(2)在(1)的条件下，若射线OC绕点O逆时针旋转一定角度θ，如图2，求∠MON的大小(3)在(2)的条件下，射线OC绕点O继续逆时针旋转，旋转到与射线OA的反向延长线重合为止，在这一旋转过程中，∠MON＝__________【课堂练习】1.如果两个角的差的绝对值等于900，就称这两个角互为垂角，例如：∠1=1200，∠2=300，｜∠1—∠2｜=900，则∠1和∠2互为垂角（本题中所有角都是指大于00且小于1800的角）.（1）如图1，O为直线AB上一点，∠AOC=900，∠EOD=900，直接指出图中所有互为余角的角，所有互为垂角的角；（2）如果一个角的垂角等于这个角的补角的，求这个角的度数；（3）如图2，O为直线AB上一点，若∠AOC=900,∠BOD=300，且射线OC绕点O以90/s的速度逆时针旋转，射线OD绕点O以60/s的速度顺时针旋转，两条射线OC、OD同时运动，运动时间为ts(0＜t＜30).试求当t为何值时，∠AOC和∠AOD互为垂角？24.解：(1)互为余角的角:∠AOE与∠COE,∠AOE与∠BOD,∠COD与∠COE,∠COD与∠BOD (写错一个扣0.5分)……2分互为垂角的角:∠AOD与∠AOE,∠AOD与∠COD,∠BOE与∠COE,∠BOE与∠BOD (写错一个扣0.5分) ……4分 (2)设这个角的度数为x,则①当00＜x＜900时，900+x=(1800-x)x=300 ……6分②当900＜x＜1800时，x-900=(1800-x)x=1300∴这个角的度数为300或1300.……8分 （3）=1\*GB3①当0＜t＜5时,∠AOC=90-9t∠AOD=150+6t（150+6t）-（90-9t）=90 t=2 ……9分 =2\*GB3②当5＜t＜10时,∠AOC=90-9t∠AOD=210-6t (210-6t)-（90-9t）=90t=-10(舍去) ……10分 =3\*GB3③当10＜t＜20时,∠AOC=9t-90∠AOD=210-6t (210-6t)-（9t-90）=90 t=14 ……11分 =4\*GB3④当20＜t＜30时,∠AOC=9t-90∠AOD=210-6t （9t-90）-(210-6t)=90t=26 ……12分 ∴当t为2或14或26时∠AOC与∠AOD互为垂角.2．如图，AB、CD交于点O，∠AOE=4∠DOE，∠AOE的余角比∠DOE小10°.(1)求∠AOE的度数(2)请写出∠AOC在右图中的所有补角____________________________________(3)射线OP从OB出发以20°/秒的速度逆时针旋转至OC，设运动时间为t（0≤t≤13）．求t为何值时，∠COP＝∠AOE＋∠DOP1．已知∠AOB＝100°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD（本题中的角均为大于0°且小于等于180°的角）(1)如图1，当OB、OC重合时，求∠EOF的度数(2)当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜90）时，∠AOE－∠BOF的值是否为定值？若是定值，求出∠AOE－∠BOF的值；若不是，请说明理由(3)当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180）时，满足∠AOD＋∠EOF＝6∠COD，则n＝___________解：(1)∠EOF＝∠AOD＝(∠AOB＋∠COD)＝70°(2)设∠AOE＝∠COE＝x，∠BOF＝∠DOF＝y∴∠BOC＝2y－40°∴∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝2x－2y＋40°＝140°，x－y＝30°∴∠AOE－∠BOF＝x－y＝30°为定值(3)如图1，∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD＝140°＋n°∠EOF＝∠AOD－∠AOE－∠FOD＝140°＋n°－∠AOC－∠BOD＝70°由140°＋n°＋70°＝6×40°，解得n＝30°如图2，∠AOD＝360°－∠AOB＋∠BOC＋∠COD＝220°－n°∠EOF＝360°－∠AOD－∠AOE－∠FOD＝70°由220°－n°＋70°＝6×40°，解得n＝50°综上所述：n＝30°或50°2．已知∠AOB＝160°，∠COE＝80°，OF平分∠AOE(1)如图1，若∠COF＝14°，求∠BOE的度数(2)当射线OE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，探究∠BOE与∠COF的数量关系，并说明理由(3)在(2)的条件下，如图3，在∠BOE的内部是否存在一条射线OD，使得∠BOD＝90°，且∠DOF＝3∠DOE？若存在，请求出∠COF的度数；若不存在，请说明理由解：(1)∵∠AOE＝∠AOB﹣∠BOE，而OF平分∠AOE∴∠AOE＝2∠EOF∴2∠EOF＝∠AOB﹣∠BOE∴2(∠COE﹣∠COF)＝∠AOB﹣∠BOE而∠AOB＝160°，∠COE＝80°∴160°﹣2∠COF＝160°﹣∠BOE∴∠BOE＝2∠COF当∠COF＝14°时，∠BOE＝28°(2)∠BOE＝2∠COF仍然成立，理由如下：∵∠AOE＝∠AOB﹣∠BOE，而OF平分∠AOE∴∠AOE＝2∠EOF∴2∠EOF＝∠AOB﹣∠BOE∴2(∠COE﹣∠COF)＝∠AOB﹣∠BOE而∠AOB＝160°，∠COE＝80°∴160°﹣2∠COF＝160°﹣∠BOE∴∠BOE＝2∠COF(3)存在．设∠AOF＝∠EOF＝2x∵∠DOF＝3∠DOE∴∠DOE＝x，而∠BOD为直角∴2x＋2x＋x＋90°＝160°，解得x＝14°∴∠BOE＝90°＋x＝104°∴∠COF＝×104°＝52°3、已知：∠AOB、∠EOF、∠COD为共顶点三个角，（1）如图1，∠A0B=100°，∠E0F=140°，若OM平分∠AOE,ON平分∠BOF.求∠M0N的大小；（3分）（2）∠AOB=100o,∠EOF=140°,将∠EOF逆时针旋转，如图2,使得OF平分∠BOC,OE平分∠AOD(此时∠AOD大于180°)，求∠COD的大小；(4分)（3）当∠AOB、∠EOF、∠C0D绕顶点O旋转到如图3所示位置时，刚好OD平分∠FOE, OC平分∠AOB,问此时∠COD、∠AOF、∠BOE之间有何数量关系？并证明。（5分）解（1）：因为∠AOB=100，∠EOF=140，所以∠AOE+∠BOF=360-∠AOB-∠EOF=120………（1分）又因为OM平分∠AOE,ON平分∠BOF所以∠BON=∠BOF,∠AOM=∠AOE所以∠BON+∠AOM=(∠AOE+∠BOF)=60………（2分）所以∠MON=∠AOM+∠AOB+∠BON=160.………（3分）(2)：因为OF平分∠BOC,OE平分∠AOD所以∠BOF=∠COF,∠AOE=∠DOE………（4分）因为∠AOB=100，∠EOF=140所以∠AOE+∠BOF=360-∠AOB-∠EOF=120所以∠DOE+∠COF=120………（5分）又因为∠EOF=140所以∠DOC=∠EOF-(∠DOE+∠COF)=20………（7分）(3)解：存在∠AOF+∠BOE=2∠COD………（8分）证明如下：因为OD平分∠FOE,所以∠DOF=∠EOF=(∠BOE+∠BOF)OC平分∠AOB∠AOC=∠AOB=(∠AOF+∠BOF)………（10分）∠COD=∠FOD+∠BOC-∠BOF………（11分）=(∠BOE+∠BOF)+(∠AOF+∠BOF)-∠BOF=∠BOE+∠AOF,即∠AOF+∠BOE=2∠COD.………（12分1．如图1，点O是弹力墙MN上一点，魔法棒从OM的位置开始绕点O向ON的位置顺时针旋转．当转到ON位置时，则从ON位置弹回，继续向OM位置旋转；当转到OM位置时，再从OM的位置弹回，继续转向ON位置，……，如此反复．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转：第1步，从OA0（OA0在OM上）开始旋转α至OA1；第2步，从OA1开始继续旋转2α至OA2；第3步，从OA2开始继续旋转3α至OA3，……例如：当α＝30°时，OA1、OA2、OA3、OA4的位置如图2所示，其中OA1恰好落在ON上，∠A3OA4＝4α＝120°；当α＝20°时，OA1、OA2、O3、OA4的位置如图3所示，其中第4步旋转到ON后弹回，即∠A3ON＋∠NOA4＝4α＝80°，而OA5恰好与OA2重合解决如下问题：(1)若α＝30°，直接写出∠A3OA2的度数是___________(2)如图，若α＜30°，且∠A2OA4＝35°，求对应的α值(3)如图，若α＜30°，且OA4所在的射线平分∠A2OA3，直接写出α的值是___________度解：（1）解：如图所示．a=45°，------------2分

（2）解