2025年高考数学一轮知识点复习-用样本估计总体-专项训练【含答案】

用样本估计总体一、单项选择题1．下面是某城市某日在不同观测点对细颗粒物(PM2.5)的观测值：396275268225168166176173188168141157若在此组数据中增加一个比现有的最大值大25的数据，下列数字特征没有改变的是()A．极差 B．中位数C．众数 D．平均数2．某工厂随机抽取20名工人，对他们某天生产的产品件数进行统计，数据如表，则该组数据的第75百分位数是()件数7891011人数37541A．8.5 B．9C．9.5 D．103．一组数据按从小到大的顺序排列为1，3，5，6，m，10，12，13，若该组数据的中位数是极差的58A．7.5 B．8C．9 D．9.54．)为落实党中央的“三农”政策，某市组织该市所有乡镇干部进行了一期“三农”政策专题培训，并在培训结束时进行了结业考试．如图是该次考试成绩随机抽样样本的频率分布直方图．则下列关于这次考试成绩的估计错误的是()A．众数为82.5B．中位数为85C．平均数为86D．有一半以上干部的成绩在80～90分5．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图：则()A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差6．若一组样本数据x1，x2，…，xn的平均数为10，另一组样本数据2x1＋4，2x2＋4，…，2xn＋4的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数和方差分别为()A．17，54 B．17，48C．15，54 D．15，48二、多项选择题7．有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则()A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差8．病毒研究所检测甲、乙两组实验小白鼠的某医学指标值，得到样本数据的频率分布直方图(如图所示)，则下列结论正确的是()A．甲组数据中位数大于乙组数据中位数B．甲组数据平均数小于乙组数据平均数C．甲组数据平均数大于甲组数据中位数D．乙组数据平均数小于乙组数据中位数三、填空题9．甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如表(单位：环)：甲108999乙1010799如果甲、乙只有1人能入选，则入选的最佳人选应是________．10．某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7，6，8，9，8，7，10，m.若去掉m，该组数据的第25百分位数保持不变，则整数m(1≤m≤10)的值可以是________(写出一个满足条件的m值即可)．四、解答题11．某地旅游主管部门为了更好地为游客服务，在景区随机发放评分调查问卷100份，并将问卷评分数据分成6组：[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90)，[90，95)，[95，100]，绘制如图所示频率分布直方图．(1)已知样本中分数在[80，85)的游客为15人，求样本中分数小于80的人数，并估计第75百分位数；(2)已知样本中男游客与女游客比例为3∶2，男游客样本的平均值为90，方差为10，女游客样本的平均值为85，方差为12，由样本估计总体，求总体的方差．12．某滨海城市沙滩风景秀丽，夏日美丽的海景和清凉的海水吸引了不少前来游玩的旅客．某饮品店通过公开竞标的方式获得卖现制饮品的业务，为此先根据前一年沙滩开放的160天的进入沙滩的人数，做前期的市场调查来模拟饮品店开卖之后的利润情况，考虑沙滩承受能力有限，超过1.4万人即停止预约．以下表格是160天内进入沙滩的每日人数(单位：万人)的频数分布表．人数/万[0，0.2)[0.2，0.4)[0.4，0.6)[0.6，0.8)[0.8，1.0)[1.0，1.2)[1.2，1.4]频数/天881624a4832(1)绘制160天内进入沙滩的每日人数的频率分布直方图(用阴影表示)，并求出a的值和这组数据的65%分位数；(2)据统计，每10个进入沙滩的游客当中平均有1人会购买饮品，X(单位：个)为进入该沙滩的人数(X为10的整倍数．如有8006人，则X取8000)．每杯饮品的售价为15元，成本为5元，当日未出售饮品当垃圾处理．若该店每日准备1000杯饮品，记Y为该店每日的利润(单位：元)，求Y和X的函数关系式；(3)以频率估计概率，求该店在160天的沙滩开放日中利润不低于7000元的概率．13．某型合金钢生产企业为了合金钢的碳含量百分比在规定的范围值内，检验员在同一试验条件下，每天随机抽样10次，并测量其碳含量(单位：%)．已知其产品的碳含量服从正态分布N(μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X表示一天内10次抽样中其碳含量百分比在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的次数，求P(X≥1)及X的数学期望；(2)一天内的抽检中，如果出现了至少1次检测的碳含量在(μ－3σ，μ＋3σ)之外，就认为这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．下面是在一天中，检测员进行10次碳含量(单位：%)检测得到的测量结果：次数12345678910碳含量(%)0.310.320.340.310.300.310.320.310.330.32经计算得，x＝＝0.317，s＝＝0.011，其中xi为抽取的第i次的碳含量百分比(i＝1，2，…，10)．①用样本平均数x作为μ的估计值μ，用样本标准差s作为σ的估计值σ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？②若去掉x1，剩下的数的平均数和标准差分别记为μ1，σ1，试写出σ1的算式(用x，s，x1，μ1表示σ1)．附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.9973，0.997310≈0.9733.参考答案1．C[根据题意，若在此组数据中增加一个比现有的最大值大25的数据，即最大值变为396＋25＝421，极差为最大值与最小值的差，会发生改变，加入数据前，中位数为173+17622．C[抽取的工人总数为20，20×75%＝15，那么第75百分位数是所有数据从小到大排序的第15项与第16项数据的平均数，第15项与第16项数据分别为9，10，所以第75百分位数是9+102故选C.]3．C[这组数据一共8个数，中位数是6+m2，极差为13－1＝12，所以6+m2＝12×58，解得m4．C[由频率分布直方图知，众数为82.5，A正确；由(0.01＋0.03＋0.06)×5＝0.5，即中位数为85，B正确；由(0.01×72.5＋0.03×77.5＋0.06×82.5＋0.05×87.5＋0.03×92.5＋0.02×97.5)×5＝85.5，C错误；由(0.06＋0.05)×5＝0.55>0.5，则有一半以上干部的成绩在80～90分之间，D正确．故选C.]5．B[讲座前中位数为70%+75%2讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%，4个85%，剩下全部大于等于90%，所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%，B正确；讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，C错误；讲座后问卷答题的正确率的极差为100%－80%＝20%，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%－60%＝35%>20%，D错误．故选B.]6．A[由题意可知，数据x1，x2，…，xn的平均数为10，则＝10n，所以数据2x1＋4，2x2＋4，…，2xn＋4的平均数为x方差为×102＝＝102n，将两组数据合并后，新数据x1，x2，…，xn，2x1＋4，2x2＋4，…，2xn＋4的平均数为x＝方差为＝＝12n(5×102n－860n＋458n7．BD[取x1＝1，x2＝x3＝x4＝x5＝2，x6＝9，则x2，x3，x4，x5的平均数等于2，标准差为0，x1，x2，…，x6的平均数等于3，标准差为223＝663，故A，C均不正确；根据中位数的定义，将x1，x2，…，x6按从小到大的顺序进行排列，中位数是中间两个数的算术平均数，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位数是将x2，x3，x4，x5按从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均数，与x1，x2，…，x6的中位数相等，故B正确；根据极差的定义，知x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x68．BCD[根据甲组的样本数据的频率分布直方图可知，甲组的平均数大于中位数，且都小于7，同理可得乙组的平均数小于中位数，且都大于7，故甲组数据中位数小于乙组数据中位数，A错误；甲组数据平均数小于乙组数据平均数，B正确；甲组数据平均数大于甲组数据中位数，C正确；乙组数据平均数小于乙组数据中位数，D正确．故选BCD.]9．甲[甲的平均数为x甲＝1乙的平均数为x乙＝1甲的方差为s甲2＝15[(10－9)2＋(8－9)2乙的方差为s乙2＝15[(10－9)2×2＋(7－9)2∵x甲＝x乙，∵s甲210．7或8或9或10(填上述4个数中任意一个均可)[7，6，8，9，8，7，10，m，若去掉m，该组数据从小到大排列为：6，7，7，8，8，9，10，则7×0.25＝1.75，故第25百分位数为第二个数即7，所以7，6，8，9，8，7，10，m，第25百分位数为7，而8×0.25＝2，所以7为第二个数与第三个数的平均数，所以m(1≤m≤10)的值可以是7或8或9或10．]11．解：(1)由频率分布直方图，可得分数在[85，100]内的频率为(0.06＋0.05＋0.04)×5＝0.75，所以分数在[85，100]内的人数为100×0.75＝75，所以分数小于80分的人数为100－75－15＝10，由题意可设第75百分位数为x，其中x∈[90，95)，则1－(0.05×5＋0.04×5)＋(x－90)×0.05＝0.75，解得x＝94，故样本中分数小于80的人数为10人，第75百分位数约为94.(2)由已知可得总样本平均值为z＝nm+nx+mm+ny＝又由s2＝nn+msx2+＝32+3[10＋(88－90)2]＋22+3[12＋(88－85)2]＝425所以用样本估计总体，总体的方差为84512．解：(1)由题意，8＋8＋16＋24＋a＋48＋32＝160，解得a＝24.因为8+8+16+24+24160＝0.5，8+8+16+24+24+48所以65%分位数在区间[1.0，1.2)上，则65%分位数为1.0＋0.2×0.65−0.50.8−0.5画出频率分布直方图如图所示．(2)由题意知，当X≥10000时，Y＝10×1000＝10000元，当X＜10000时，Y＝X10×10－1000−X10×所以Y＝10000(3)记销售的利润不少于7000元的事件为A，则人数X≥8000，此时P(A)＝24+48+3216013．解：(1)由已知得，抽取一次碳含量在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.9973，所以P(X≥1)＝1－P(X＝0)≈1－0.997310≈1－0.