2025年高考数学一轮复习课时作业-正态分布（含解析）

PAGE2025年高考数学一轮复习课时作业-正态分布【原卷版】(时间:45分钟分值:80分)【基础落实练】1.(5分)已知随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若P(ξ≤1)=0.84,则P(-1≤ξ≤0)等于()A.0.34 B.0.68 C.0.15 D.0.072.(5分)(2023·贵州八校联考)设随机变量X~N(2,4),若P(X>a+2)=P(X<2a-3),则实数a的值为()A.1 B.53 C.5 D.3.(5分)若随机变量X服从正态分布N(5,1),则P(6≤X≤7)≈()附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.A.0.1359 B.0.3413C.0.4472 D.1【加练备选】某天文馆开馆后的1个月内每天的游客人数X服从正态分布N(2000,4900),则在此期间的某一天,该馆的游客人数不超过2210的概率为()(参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)A.0.99865 B.0.9973C.0.9772 D.0.001354.(5分)某校有1000人参加某次模拟考试,其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105,σ2)(σ>0),试卷满分150分,统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15,则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为(A.150 B.200 C.300 D.4005.(5分)(2023·济南模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),若函数f(x)=P(x≤ξ≤x+1)为偶函数,则μ=()A.-12 B.0 C.12 D6.(5分)(多选题)(2024·北海模拟)已知变量X服从正态分布X~N0,σ2,当σA.P-1B.P-1C.正态分布曲线的最高点上移D.正态分布曲线的最高点下移7.(5分)(2023·深圳模拟)若X~N9,22,则P(7<X<13)=________(精确到0参考数据:若X~Nμ,σ2,则X-μ<σ≈0.8.(5分)某种品牌摄像头的使用寿命ξ(单位:年)服从正态分布,且使用寿命不少于2年的概率为0.8,使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该品牌的摄像头,则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为________.

9.(10分)已知随机变量X~N(μ,σ2),且正态密度函数在(-∞,80)上是增函数,在(80,+∞)上是减函数,P(72≤X≤88)≈68.27%.(1)求参数μ,σ的值;(2)求P(64≤X<72).(结果精确到0.0001)参考数据:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈68.27%,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈95.45%,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈99.73%.【能力提升练】10.(5分)为了解某地区高中男生的身体发育状况,抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高中男生的体重情况,抽查结果表明他们的体重X(单位:kg)服从正态分布N(μ,22),且正态密度曲线如图所示.若58.5<X≤62.5属于正常情况,则这1000名男生中属于正常情况的人数是()A.997 B.954 C.819 D.68311.(5分)在如图所示的正方形中随机投掷40000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布X~N(-2,4)的密度曲线)的点的个数的估计值为()(若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545)A.906 B.1359 C.2718 D.341312.(5分)(多选题)(2024·厦门模拟)李明每天7:00从家里出发去学校,有时坐公交车,有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间,经数据分析得到:坐公交车平均用时30分钟,样本方差为36;自行车平均用时34分钟,样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布,则()A.P(X>32)>P(Y>32)B.P(X≤36)=P(Y≤36)C.李明计划7:34前到校,应选择坐公交车D.李明计划7:40前到校,应选择骑自行车13.(5分)(2024·泉州模拟)设随机变量X~N(72,σ2),若P(70<X<73)=0.3,则P(71<X<74)=________.

14.(10分)某市为了传承发展中华优秀传统文化,组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛,竞赛奖励规则如下:得分在70,80内的学生获三等奖,得分在80,90(1)现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩,求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率;(2)若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布Nμ,σ2,其中σ①若该市共有10000名学生参加了竞赛,试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数(结果四舍五入到整数);②若从所有参赛学生中(参赛学生数大于10000)随机取3名学生进行访谈,设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为ξ,求随机变量ξ的分布列和期望.附参考数据,若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则Pμ-σ≤Pμ-2σ≤X≤μ+2σ2025年高考数学一轮复习课时作业-正态分布【解析版】(时间:45分钟分值:80分)【基础落实练】1.(5分)已知随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若P(ξ≤1)=0.84,则P(-1≤ξ≤0)等于()A.0.34 B.0.68 C.0.15 D.0.07【解析】选A.由题意得P(ξ>1)=1-P(ξ≤1)=1-0.84=0.16,所以P(-1≤ξ≤0)=12×(1-0.16×2)=0.342.(5分)(2023·贵州八校联考)设随机变量X~N(2,4),若P(X>a+2)=P(X<2a-3),则实数a的值为()A.1 B.53 C.5 D.【解析】选B.因为P(X>a+2)=P(X<2a-3),所以由正态曲线的对称性知a+2+2a-323.(5分)若随机变量X服从正态分布N(5,1),则P(6≤X≤7)≈()附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.A.0.1359 B.0.3413C.0.4472 D.1【解析】选A.依题设,得P(4≤X≤6)≈0.6827,P(3≤X≤7)≈0.9545,所以P(6≤X≤7)≈12×(0.9545-0.6827)=0.1359【加练备选】某天文馆开馆后的1个月内每天的游客人数X服从正态分布N(2000,4900),则在此期间的某一天,该馆的游客人数不超过2210的概率为()(参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)A.0.99865 B.0.9973C.0.9772 D.0.00135【解析】选A.因为该天文馆开馆后1个月内每天的游客人数X服从正态分布N(2000,4900),所以P(1790≤X≤2210)=P(2000-3×70≤X≤2000+3×70)≈0.9973,所以P(X>2210)≈12×(1-0.9973)=0.00135,所以P(X≤2210)≈1-0.00135=0.998654.(5分)某校有1000人参加某次模拟考试,其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105,σ2)(σ>0),试卷满分150分,统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15,则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为(A.150 B.200 C.300 D.400【解析】选C.因为P(X<90)=P(X>120)=15P(90≤X≤120)=1-15×2=35,所以P(90≤X≤105)=所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为1000×310=3005.(5分)(2023·济南模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),若函数f(x)=P(x≤ξ≤x+1)为偶函数,则μ=()A.-12 B.0 C.12 D【解析】选C.因为函数f(x)=P(x≤ξ≤x+1)为偶函数,则f(-x)=f(x),所以P(-x≤ξ≤-x+1)=P(x≤ξ≤x+1),所以μ=-x+x6.(5分)(多选题)(2024·北海模拟)已知变量X服从正态分布X~N0,σ2,当σA.P-1B.P-1C.正态分布曲线的最高点上移D.正态分布曲线的最高点下移【解析】选BD.当σ变大时,方差变大,数据离散程度变大,所以P-127.(5分)(2023·深圳模拟)若X~N9,22,则P(7<X<13)=________(精确到0参考数据:若X~Nμ,σ2,则X-μ<σ≈0.【解析】因为X~N(9,22),根据参考数据,P(7<X<13)=P(μ-σ<X<μ+2σ)=12×0.682答案:0.828.(5分)某种品牌摄像头的使用寿命ξ(单位:年)服从正态分布,且使用寿命不少于2年的概率为0.8,使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该品牌的摄像头,则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为________.

【解析】由题意知P(ξ≥2)=0.8,P(ξ≥6)=0.2,所以P(ξ<2)=P(ξ≥6)=0.2.所以正态曲线的对称轴为直线x=4,即P(ξ≥4)=12,即每个摄像头在4年内能正常工作的概率为12,所以两个该品牌的摄像头在4年内都能正常工作的概率为12×1答案:19.(10分)已知随机变量X~N(μ,σ2),且正态密度函数在(-∞,80)上是增函数,在(80,+∞)上是减函数,P(72≤X≤88)≈68.27%.(1)求参数μ,σ的值;(2)求P(64≤X<72).(结果精确到0.0001)参考数据:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈68.27%,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈95.45%,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈99.73%.【解析】(1)由题意得参数μ=80.又P(72≤X≤88)≈68.27%,结合P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈68.27%,可知σ=8.(2)P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)=P(64≤X≤96)≈95.45%.因为P(X<64)=P(X>96),所以P(X<64)≈12×(1-95.45%)=2.所以P(X≥64)≈97.725%.又P(X<72)=12×[1-P(72≤X12×(1-68.27%)=15.所以P(X≥72)≈84.135%,所以P(64≤X<72)=P(X≥64)-P(X≥72)≈13.59%.【能力提升练】10.(5分)为了解某地区高中男生的身体发育状况,抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高中男生的体重情况,抽查结果表明他们的体重X(单位:kg)服从正态分布N(μ,22),且正态密度曲线如图所示.若58.5<X≤62.5属于正常情况,则这1000名男生中属于正常情况的人数是()A.997 B.954 C.819 D.683【解析】选D.由题意,可知μ=60.5,σ=2,故P(58.5≤X≤62.5)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,从而属于正常情况的人数是1000×0.6827≈683.11.(5分)在如图所示的正方形中随机投掷40000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布X~N(-2,4)的密度曲线)的点的个数的估计值为()(若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545)A.906 B.1359 C.2718 D.3413【解析】选B.因为X~N(-2,4),所以阴影部分的面积S=P(0≤X≤2)=12[P(-6≤X≤2)-P(-4≤X≤0)]≈12×(0.9545-0.6827)=0.1359,则在正方形中随机投掷一点,该点落在阴影内的概率为P=0.13512.(5分)(多选题)(2024·厦门模拟)李明每天7:00从家里出发去学校,有时坐公交车,有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间,经数据分析得到:坐公交车平均用时30分钟,样本方差为36;自行车平均用时34分钟,样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布,则()A.P(X>32)>P(Y>32)B.P(X≤36)=P(Y≤36)C.李明计划7:34前到校,应选择坐公交车D.李明计划7:40前到校,应选择骑自行车【解析】选BCD.对于选项A,由条件可知X~N(30,62),Y~N(34,22),根据对称性可知P(Y>32)>0.5>P(X>32),故A错误;对于选项B,P(X≤36)=P(X≤μ+σ),P(Y≤36)=P(Y≤μ+σ),所以P(X≤36)=P(Y≤36),故B正确;对于选项C,P(X≤34)>0.5=P(Y≤34),所以P(X≤34)>P(Y≤34),故C正确;对于选项D,P(X≤40)<P(X≤42)=P(X≤μ+2σ),P(Y≤40)=P(Y≤μ+3σ),所以P(X≤40)<P(Y≤40),故D正确.13.(5分)(2024·泉州模拟)设随机变量X~N(72,σ2),若P(70<X<73)=0.3,则P(71<X<74)=________.

【解析】因为随机变量X~N(72,σ2),且P(70<X<73)=0.3,所以P(71<X<74)=P(70<X<73)=0.3.答案:0.314.(10分)某市为了传承发展中华优秀传统文化,组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛,竞赛奖励规则如下:得分在70,80内的学生获三等奖,得分在80,90(1)现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩,求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率;(2)若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布Nμ,σ2,其中σ①若该市共有10000名学生参加了