八年级数学上册《实数》知识点讲义【解析版】

2020-2021学年苏科版八年级数学寒假学习精编讲义

温故知新篇04实数

思维导图

经

襄徽漪喊靖

平离根

姿徽够大小比貌

琳项皴物麟腐*舞承雪翕皴

■繇弊漏震微大通

卖籁潮懑舞

1f近似数和有如s字❷立方根

知识汇总

知识点1:平方根和立方根

^类型

平方根立方根

项目

被开方数非负数任意实数

符号表示±4a\[a

一个正数有两个平方根,一个正数有一个正的立方根；

且互为相反数;一个负数有一个负的立方根；

性质

零的平方根为空零的立方根是空

负数没有平方根;

(五)2=a(a>0)(Va)3=a

重要结论行=|4=["叱0)=a

11[-“("())

N-a=-y[a

知识点2:实数

有理数和无理数统称为运.

1.实数的分类

①按定义分：

…皿(有理数：有限小数或无限循环小数

无理数：无限不循环小数

②按与0的大小关系分：

正有理数

止数［4正无理数

实数Jo

'负有理数

负数

负无理数

细节剖析

(1)所有的实数分成三类:直限小数,无限循环小数,无限不循环小数.其中有限小数和无限循环小数统称有

理数,无限不循环小数叫做无理数.

(2)无理数分成三类:①开方开不尽的数，如石，次等:②有特殊意义的数，如n;③有特定结构

的数,如0.1010010001—

(3)凡能写成无限丕鲍小数的数都是无理数,并且无理数不能写成分数形式.

(4)实数和数轴上点是一一对应的.

2.实数与数轴上的点一一对应.

数轴上的任何一个点都对应一个实数,反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.

3.三类具有非负性的实数

在实数范围内，正数和零统称为非负数.我们已经学习过的非负数有如下三种形式：

(1)任何一个实数a的绝对值是非负数,即Ia20；

(2)任何一个实数a的平方是非负数,即/》0;

(3)任何非负数的算术平方根是非负数,即G20(«>0).

非负数具有以下性质：

(1)非负数有最小值一一变；

(2)有限个非负数之和仍是韭负数；

(3)几个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0.

数a的相反数是一a:一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是

0.

有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序:先乘方、地、再乘除,

最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行,有括号先算括号里.

5.实数的大小的比较

有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.

(1)实数和数轴上的点一一对应,在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大；

(2)正数大于0,0大于负数,正数大于一切负数,两个负数比较，绝对值大的反而上1

(3)两个数比较大小常见的方法有:求差法,求冏法，倒数法，估算法,平方法.

知识点3:近似数及精确度

B近似洲

接近准确值而不等于准确值的数,叫做这个精确数的近似数或近似值.

一般采用国企五△法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.

近似数中，四舍五入到哪一位,就称这个数精确到哪一位.精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.

细节剖析

(1)精确度是指近似数与准确数的接近程度.

(2)精确度一般用“精确到哪一位”的形式的来表示,一般来说精确到哪一位表示误差绝对值的大小,例如

精确到0.1米,说明结果与实际数相差不超过0.05米.

能力检测

选择题

1.（2020秋•道里区期末）下列各数中最大的是（）

771

A.0.78B.-C.87%D.-

84

【解答】解：2=0.875,87%=0.87,0.785,

84

・・•0.875>0.87>0.785>0.78,

7冗

->87%>->0.78,

84

，所给的数中最大的是工.

8

故选:B.

2.（2020秋•南关区期末）在石，-1.6,0,2这四个数中，最大的数是（）

A.石B.-1,6C.0D.2

【解答】解：

在石，-1.6,0,2这四个数中，最大的数是石.

故选：A.

3.（2020秋♦南岗区期末）一个正方体的体积扩大为原来的27倍，则它的棱长变为原来的（）倍.

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：一个正方体的体积扩大为原来的27倍,它的棱长变为原来的楠27倍,即3倍.

故选:B.

4.（2020春•孟村县期末）若直角三角形的两边长分别为“，上且满足Jo?-6〃+9+g-4|=（）,则该直角三角

形的第三边长为（）

A.5B.77C.4D.5或4

【解答】解:；〃2-6a+9+|6-4|=0,

a2-6«+9=0,6-4=0,

.\a=3,b=4,

.•・直角三角形的第三边长=J4?+3?=5,或直角三角形的第三边长=在一*=不,

・•.直角三角形的第三边长为5或旧，

故选：D.

5.（2020秋•新都区月考）下列语句中正确的是（）

A.16的算术平方根是±4

B.任何数都有两个平方根

C.•.•3的平方是9,.•.9的平方根是3

D.-1是1的平方根

【解答】解：A、16的算术平方根是4,故选项错误;

B、。的平方根是0,只有一个,故选项错误；

C、9的平方根是±3,故选项错误；

。、-1是1的平方根,故选项正确.

故选:D.

6.（2019秋•武进区期中）实数〃7、〃在数轴上的位置如图所示，化简|及-机|-机的结果为（）

・♦:----------1♦・>

-1M01m

A.n—2mB.-n—2tnC.nD.—n

【解答】解：由实数相、〃在数轴上.的位置可知，n-m<0,

所以I〃一m|-m=tn-n-m=-n,

故选：D.

7.（2020秋•镇平县期中）比较大小错误的是（）

A.#1V币B.后+2〈姬-1C.-7一厉>—6D.26>3应

2

【解答】解：•.•5<7,

.•.石<近，因此选项A不符合题意；

,.15<y/35<6,

7<V35+2<8,

•.-9<>/82<10）

.-.8<^/82-1<9,

庄+2<短-1,因此选项B不符合题意；

•.•4<V23<5,

.-.11<>/23+7<12,

<<7+后,

/.5.5<----------<6,

2

..「6〈-上叵<-5.5,因此选项C不符合题意；

2

•;36.=泵，=,而历,,

3夜>，因此选项D符合题意;

故选：D.

8.（2020春•老城区校级月考）在下列结论中，正确的是（）

A.J（^|7=±|B./的算术平方根是x

C.-V一定没有平方根口.次的平方根是±0

【解答】解：A』-》:：,故错误;

B./的算术平方根是|x|,故错误；

C.-%2,当x=OH寸,平方根为0,故错误；

D.卷的平方根为±6，正确.

故选：D.

填空题

9.（2020秋•二道区期末）用四舍五入法将6.789精确到百分位为6.79.

【解答】解:用四舍五入法将6.789精确到百分位为6.79,

故答案为：6.79.

10.（2020秋•道外区期末）比较大小:1.73_<_石.（填上〈”或“=”）

【解答】解：6,1.732,

/.1.73<\/3,

故答案为：<.

11.（2020秋•内江期末）若VT^+|2y+1|=0,贝［|产产。的值是」.

-2—

【解答】解:根据题意得，x-2=0,2y+l=0,

解得x=2,y=~—,

2

所以公。19y2020=2刈9*（一；）202°

20l920,9

=2x（-l）x（-l）

=（-D20,9X（-1）

=-lx

~2.

故答案为：I.

2

12.(2020秋•武威期末)实数。、。在数轴上的位置如图所示，则化简|〃-回+々的结果为—力一

・3•>

a0h

【解答】解:由数轴可得：avOvb,

则a-b<0,

\a-b\+a=b-a+a=b.

故答案为：

13.(2020春•房县期末)对于能使式子有意义的有理数”，由定义新运算：〃△匕=犯史.如果

a-3b

.____2

Ix+11+y]y-3+1xz+21=0,贝ijx△(y△z)=_——_.

【解答】解：v|x+l|..O,VJ-3..0,|AZ+2|..O,

又•」x+l|+Jy-3+|xz+2|=0,

.-Jx+l|=O,Jy-3=(),|xz+2|=0.

.\x4-l=0,y-3=0,xz+2=0.

x=-1,y=3,z=2.

11

=-----.

3

xA(yAz)=-lA(-y)

20

-3

10

2

3*

故答案为：-2.

3

14.（2020春•牡丹江期末）若35.36=2.938,4253.6=6.329,则^25360000=293.8.

［解答］解：425360000

=^25.36x1000000

=▼25.36x100

=2.938x100

=293.8.

故答案为：293.8.

15.（2015•资中县模拟）定义:不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作［x］.例如

［3.6］=3,按止匕规定，［1-2石］=_T_.

【解答】解：屈<2石=而<后，

4<2也<5,

—4>->-5,

-3>1-275>-4,

故,［1-2⑹=-4.

故答案为：-4.

16.己知屈的小数部分记为a,则“可以表示为_8_.

【解答】解：•.•64<78<81,

故答案为：V78-8-

三.解答题

17.（2020秋•南京期末）求下列各式中的x.

⑴3（1）2-75=0;

⑵（x+2）3=-125.

【解答】解：（1）3（x-l）2-75=0,

（x-1）2=25,

x—1=5,P戈x—1=-5,

解得：x=6或x=4

（2）•j（x+2）3=-125,

x+2=—51

解得：x=-7.

18.（2020秋•南关区期末）有理数〃在数轴上所对应的点如图所示.

（1）«_>_1,a2,a—一3（用“〈”或“〉”或“="填空）；

⑵化简：|a-l|-|“-2|+|“+3|.

二।----------1------1-2—>

-3-2-1012

【解答】解：⑴々>1,a<2,4>—3.

故答案为：>、<、>.

（2）-：a>\,a<2,a>-3,

ci—1>0,a—2V0,。+3>0,

Jo-1|一修一2|+|〃+3|

二（。-1）一［一（。-2）］+（々+3）

=a—1+。-2+。+3

=（a+a+a）+（3—1-2）

=3a+0

=3a.

19.（2020秋•肇源县期末）一个半圆形教具,它的半径为5分米,它的周长是多少分米?面积是多少平方分

米？（万取3.14,结果保留两位小数）

【解答】解:它的周长是、2%x5+2x5=5万+10=25.71（分米），

2

面积是万x52»39.27（平方分米），

2

答:它的周长是25.71米,面积是39.27平方分米.

20.（2020秋•重庆期末）计算：

⑴(-2-鸿T

(2)|-3|+(-1)3X(^-3.14)°-

【解答】解：⑴（/）—（」）—？+?；

7575

,43、/9、

=(---7)+(-+-)

=1；

(2)|-3|+(-l)3xU-3.14)°-(-1r3

=3-lxl+8

=3-1+8

=10.

21.（2020秋•兰州期末）已知2々-1的平方根是±3,3々+6-1的算术平方根是4,求a+2b的值.

【解答】解：・・・2。-1的平方根是±3,

...2々-1=9,

:.a=5y

3a+b-1的算术平方根是4,

/.3a+Z?—1=16,

3x5+Z?-1=16)

.*.Z?=2,

...a+2Z?=5+2x2=9.

22.（2020秋•成都期中）在数轴上点A表示〃，点3表示匕.且明6满足夜-10+2-扬=0.

（l）x表示〃+8的整数部分，y表示〃的小数部分,则工=11,y=;

（2）若点A与点C之间的距离表示AC,点B与点C之间的距离表示BC,请在数轴上找一点C,使得

AC=2BC,求点C在数轴上表示的数.

【解答】解：（1）;“一1。+|万-6|=0,

二.”=10,6=百,

.1a+人=10+,

1<>/3<2,

.-.1+10<V3+10<2+10,

BP,11<10+>/3<12,

r.a+6的整数部分为11,即，x=ll,

a+b的小数部分为10+6-11=后-1,即，尸百-1,

故答案为：11,6-1;

(2)设点C在数轴所表示的额数为c,

①当点C在AB的延长线上时，8c=G-c,AC=lO-c,

-.AC=2BC,

.-.10-c=2(V3-c),

c-2x/3—10,

②当点。在AB之间时，BC=C-6AC=10-C,

­.AC=2BC,

.•.10-c=2(c->/3),

10+2A/3

/.c=--------------,

3

③当点C在84的延长线上时，BC=c-C,AC=c-lO,

此时，AC不可能等T2BC,因此这种情况不存在，

综上所述，点C所表示的数为26-10或竺土亚.

3

23.(2020秋•北仑区期中)操作探究：已知在纸面上有一数轴(如图所示)

(1)折叠纸面，使表示的点1与-1重合,则-2表示的点与2表示的点重合;

(2)折叠纸面，使-1表示的点与3表示的点重合,回答以下问题：

①5表示的点与数—表示的点重合；

②G表示的点与数表示的点重合；

③若数轴上A、8两点之间距离为9(A在5的左侧)，且A、8两点经折叠后重合,此时点A表示的数是

点8表示的数是

(3)己知在数轴上点A表示的数是a,点A移动4个单位,此时点A表示的数和a是互为相反数,求”的值.

ill，」，！111111A

-2-1012

【解答】解：(1)折叠纸面，使表示的点1与-1重合，折叠点对应的数为匚里=0,设-2表示的点所对应点表

2

示的数为X,于是有3M=0,解得x=2,

2

故答案为2;

(2)折叠纸面,使表示的点-1与3重合,折叠点对应的数为二二口=1,

2

①设5表示的点所对应点表示的数为y,于是有等=1,解得y=-3,

②设G表示的点所对应点表示的数为z,于是有纪二巨=1,解得z=2-百，

2

③设点A所表示的数为〃，点8表示的数为乩由题意得：

“+'=1\\.b—a=9,解得:a=—3.5,b=5.5,

2

故答案为：-3,2-6,-3.5,5.5;

⑶①A往左移4个单位：(a-4)+a=0.解得：a=2.

②A往右移4个单位：(a+4)+“=0,解得：a=-2.

答：a的值为2或-2.

24.(2019秋•路北区期末)如图1,已知在数轴上有A、3两点，点A表示的数是-6,点3表示的数是9.点

尸在数轴上从点A出发