新教材2024年高中数学第5章计数原理2排列第2课时排列数的应用素养作业北师大版选择性必修第一册

第五章§2第2课时A组·素养自测一、选择题1．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为(D)A．24 B．48C．60 D．72[解析]由题意，可知个位可以从1,3,5中任选一个，有Aeq\o\al(1,3)种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列，有Aeq\o\al(4,4)种方法，所以奇数的个数为Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(4,4)＝3×4×3×2×1＝72.2．从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数字中任取2个不同的数字分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为(D)A．56 B．54C．53 D．52[解析]在8个数中任取2个不同的数可以组成Aeq\o\al(2,8)＝56(个)对数值．但在这56个对数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，即满意条件的对数值共有56－4＝52(个)．3．从8人中选3人排成一队，其中甲、乙同时参与排队或同时不参与排队，若参与排队，就肯定相邻，则不同的排法共有(C)A．252种 B．278种C．144种 D．362种[解析]若甲、乙都不参与排队，则不同的排法有Aeq\o\al(3,6)＝120(种)；若甲、乙都参与排队，则不同的排法有Aeq\o\al(1,6)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝24(种)，所以不同的排法共有120＋24＝144(种)．故选C．4．我国第一艘航母“辽宁号”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼－15”飞机打算着舰，假如甲机不能最先着舰，而乙机必需在丙机之前着舰(不肯定相邻)，那么不同的着舰方法有(D)A．12种 B．24种C．36种 D．48种[解析]甲机的着舰方法有Aeq\o\al(1,4)种，其余飞机的着舰方法有Aeq\o\al(4,4)种，而乙机与丙机的相对依次关系有Aeq\o\al(2,2)种，故不同的着舰方法有eq\f(A\o\al(1,4)·A\o\al(4,4),A\o\al(2,2))＝48种．5．把语文、数学、物理、历史、外语这五门课程支配在一天的五节课里，假如数学必需比历史先上，那么不同的排法有(C)A．48种 B．24种C．60种 D．120种[解析]五门课程随意支配有Aeq\o\al(5,5)种排法，数学课在历史课前和历史课在数学课前各占总排法数的一半，所以数学课排在历史课前的排法有eq\f(1,2)Aeq\o\al(5,5)＝60(种)．6．(多选)停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车须要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有(AD)A．Aeq\o\al(9,9)种 B．Aeq\o\al(9,9)Aeq\o\al(4,4)种C．8Aeq\o\al(8,8)种 D．9Aeq\o\al(8,8)种[解析]将4个空车位视为一个元素，与8辆车共9个元素进行全排列，共有Aeq\o\al(9,9)＝9Aeq\o\al(8,8)种．二、填空题7．用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1,2相邻，这样的六位数的个数是_40__.[解析]可分为三步来完成这件事：第一步：先将3,5进行排列，共有Aeq\o\al(2,2)种排法；其次步：再将4,6插空排列，共有2Aeq\o\al(2,2)种排法；第三步：将1,2放入3,5,4,6形成的空中，共有Aeq\o\al(1,5)种排法；由分步乘法计数原理得，共有2Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,5)＝40种不同的排法．8．将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，假如分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是_96__.[解析]先分组后用安排法求解，5张参观券分为4组，其中2个连号的有4种分法，每一种分法中的排列方法有Aeq\o\al(4,4)种，因此共有不同的分法4Aeq\o\al(4,4)＝4×24＝96(种)．9．2024年某地实行博物展，某单位将展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标记性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必需相邻，2件绘画作品不能相邻，则该单位展出这5件作品不同的方案有_24__种．(用数字作答)[解析]将2件书法作品排列，方法数为2种，然后将其作为1件作品与标记性建筑设计作品共同排列有2种排法，对于其每一种排法，在其形成的3个空位中选2个插入2件绘画作品，故共有不同展出方案：2×2×Aeq\o\al(2,3)＝24种．三、解答题10．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．(1)3个舞蹈节目不排在起先和结尾，有多少种排法？(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？[解析](1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有Aeq\o\al(2,5)种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有Aeq\o\al(6,6)种排法，故共有不同排法Aeq\o\al(2,5)Aeq\o\al(6,6)＝14400种．(2)先不考虑排列要求，有Aeq\o\al(8,8)种排列，其中前四个节目没有舞蹈节目的状况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有Aeq\o\al(4,5)Aeq\o\al(4,4)种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有(Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(4,5)Aeq\o\al(4,4))＝37440种．11．从数字0,1,3,5,7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0？其中有实根的方程有多少个？[解析]先考虑组成一元二次方程的问题．首先确定a，只能从1,3,5,7中选一个，有Aeq\o\al(1,4)种，然后从余下的四个数中任选两个作b，c，有Aeq\o\al(2,4)种，又0,1,3,5,7并无公因数，故由分步乘法计数原理知，组成的一元二次方程共Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,4)＝48(个)．方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)要有实根，必需满意Δ＝b2－4ac≥0.分类探讨如下：当c＝0时，a，b可以从1,3,5,7中任取两个，一元二次方程有Aeq\o\al(2,4)个；当c≠0时，分析判别式知b只能取5,7中的一个．当b取5时，a，c只能取1,3这两个数，一元二次方程有Aeq\o\al(2,2)个；当b取7时，a，c可取1,3或1,5这两组数，一元二次方程有2Aeq\o\al(2,2)个．此时共有(Aeq\o\al(2,2)＋2Aeq\o\al(2,2))个一元二次方程．由分类加法计数原理知，有实根的一元二次方程共有Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(2,2)＋2Aeq\o\al(2,2)＝18(个)．B组·素养提升一、选择题1．某地为了迎接2024年运动会，某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的依次不固定．每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪耀．在每个闪耀中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪耀的时间间隔均为5秒．假如要实现全部不同的闪耀，那么须要的时间至少是(C)A．1205秒 B．1200秒C．1195秒 D．1190秒[解析]由题意每次闪耀共5秒，全部不同的闪耀为Aeq\o\al(5,5)个，相邻两个闪耀的时间间隔为5秒，因此须要的时间至少是5Aeq\o\al(5,5)＋(Aeq\o\al(5,5)－1)×5＝1195秒．2．有4本不同的书A、B、C、D，要分给三个同学，每个同学至少分一本，书A、B不能分给同一人，则这样的分法共有(C)A．18种 B．24种C．30种 D．36种[解析]4本不同的书分给三个同学，共有6Aeq\o\al(3,3)＝36，书A、B分给同一人有Aeq\o\al(3,3)＝6，所以共有36－6＝30种，故选C．3．把5件不同产品摆成一排．若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有(B)A．48 B．36C．30 D．24[解析]将A，B捆绑在一起，有Aeq\o\al(2,2)种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有Aeq\o\al(4,4)种摆法，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)种摆法，而A，B，C3件产品在一起，且A，B相邻，A，C相邻时有2种状况，将这3件产品与剩下2件产品全排列，有2Aeq\o\al(3,3)种摆法．故A，B相邻，A，C不相邻的摆法有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)－2Aeq\o\al(3,3)＝36(种)．4．用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的6位数，其中个位数字小于十位数字的六位数共有(A)A．300个 B．464个C．600个 D．720个[解析]方法1：确定最高位有Aeq\o\al(1,5)种不同方法．确定万位、千位、百位，从剩下的5个数字中取3个排列，共有Aeq\o\al(3,5)种不同的方法，剩下两个数字，把大的排在十位上即可，由分步乘法计数原理知，共有Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(3,5)＝300(个)．方法2：由于个位数字大于十位数字与个位数字小于十位数字的应各占一半，故有eq\f(1,2)Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(5,5)＝300(个)．二、填空题5．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为_576__.[解析]“不能都站在一起”与“都站在一起”是对立事务，由间接法可得Aeq\o\al(6,6)－Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)＝576.6．如图是一个正方体纸盒的绽开图，若把1,2,3,4,5,6分别填入小正方形后，按虚线折成正方体，则所得到的正方体相对面上的两个数的和都相等的概率是_eq\f(1,15)__.[解析]6个数随意填入6个小正方形中有Aeq\o\al(6,6)＝720种方法；将6个数分三组(1,6)，(2,5)，(3,4)，每组中的两个数填入一对面中，共有不同填法Aeq\o\al(3,3)×2×2×2＝48种，故所求概率P＝eq\f(48,720)＝eq\f(1,15).三、解答题7．用0、1、2、3、4五个数字：(1)可组成多少个五位数；(2)可组成多少个无重复数字的五位数；(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数；(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数．[解析](1)各个数位上的数字允许重复，故由分步乘法计数原理知，共有4×5×5×5×5＝2500(个)．(2)方法1：先排万位，从1,2,3,4中任取一个有Aeq\o\al(1,4)种填法，其余四个位置四个数字共有Aeq\o\al(4,4)种，故共有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝96(个)．方法2：先排0，从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入有Aeq\o\al(1,4)种方法，其余四个数字全排有Aeq\o\al(4,4)种方法，故共有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝96(个)．(3)构成3的倍数的三位数，各个位上数字之和是3的倍数，按取0和不取0分类：①取0，从1和4中取一个数，再取2进行排，先填百位Aeq\o\al(1,2)，其余任排有Aeq\o\al(2,2)，故有2Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,2)种．②不取0，则只能取3，从1或4中再任取一个，再取2然后进行全排为2Aeq\o\al(3,3)，所以共有2Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＋2Aeq\o\al(3,3)＝8＋12＝20(个)．(4)考虑特别位置个位和万位，先填个位，从1、3中选一个填入个位有Aeq\o\al(1,2)种填法，然后从剩余3个非0数中选一个填入万位，有Aeq\o\al(1,3)种填法，包含0在内还有3个数在中间三位置上全排列，排列数为Aeq\o\al(3,3)，故共有Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,3)＝36(个)．8．4名男同学和3名女同学站成一排．(1)7名同学中，甲、乙、丙排序肯定(只考虑位置的前后依次)，有多少种不同的排法？(2)甲不在最左端，乙不在最右端，有多少种不同的排法？(3)7名同学中，甲乙两名同学之间必需恰有3名同学，有多少种不同的排法？(4)7名同学中，甲、乙两名同学相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？(5)女同学从左到右按从高到矮的依次排，有多少种不同的排法？(3名女生身高互不相等)[解析](1)7名同学的全部排法有Aeq\o\al(7,7)种，其中甲、乙、丙的排序有Aeq\o\al(3,3)种，所以甲、乙、丙排序肯定的排法有eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(3,3))＝840(种)．(2)方法1：甲不在最左端，按甲的排法分类：若甲在最右端，则有Aeq\o\al(6,6)种排法；若甲不在最右端，则甲有Aeq\o\al(1,5)种排法，乙有Aeq\o\al(1,5)种排法，其余同学有Aeq\o\al(5,5)种排法．综上，不同的排法共有Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)＝＝3720(种)．方法2：在排列时，先不考虑甲、乙站位的要求，有Aeq\o\al(7,7)种站