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文档简介
第五章§2第2课时A组·素养自测一、选择题1.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为(D)A.24 B.48C.60 D.72[解析]由题意,可知个位可以从1,3,5中任选一个,有Aeq\o\al(1,3)种方法,其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选,进行全排列,有Aeq\o\al(4,4)种方法,所以奇数的个数为Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(4,4)=3×4×3×2×1=72.2.从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数字中任取2个不同的数字分别作为一个对数的底数和真数,则可以组成不同对数值的个数为(D)A.56 B.54C.53 D.52[解析]在8个数中任取2个不同的数可以组成Aeq\o\al(2,8)=56(个)对数值.但在这56个对数值中,log24=log39,log42=log93,log23=log49,log32=log94,即满意条件的对数值共有56-4=52(个).3.从8人中选3人排成一队,其中甲、乙同时参与排队或同时不参与排队,若参与排队,就肯定相邻,则不同的排法共有(C)A.252种 B.278种C.144种 D.362种[解析]若甲、乙都不参与排队,则不同的排法有Aeq\o\al(3,6)=120(种);若甲、乙都参与排队,则不同的排法有Aeq\o\al(1,6)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)=24(种),所以不同的排法共有120+24=144(种).故选C.4.我国第一艘航母“辽宁号”在某次舰载机起降飞行训练中,有5架“歼-15”飞机打算着舰,假如甲机不能最先着舰,而乙机必需在丙机之前着舰(不肯定相邻),那么不同的着舰方法有(D)A.12种 B.24种C.36种 D.48种[解析]甲机的着舰方法有Aeq\o\al(1,4)种,其余飞机的着舰方法有Aeq\o\al(4,4)种,而乙机与丙机的相对依次关系有Aeq\o\al(2,2)种,故不同的着舰方法有eq\f(A\o\al(1,4)·A\o\al(4,4),A\o\al(2,2))=48种.5.把语文、数学、物理、历史、外语这五门课程支配在一天的五节课里,假如数学必需比历史先上,那么不同的排法有(C)A.48种 B.24种C.60种 D.120种[解析]五门课程随意支配有Aeq\o\al(5,5)种排法,数学课在历史课前和历史课在数学课前各占总排法数的一半,所以数学课排在历史课前的排法有eq\f(1,2)Aeq\o\al(5,5)=60(种).6.(多选)停车站划出一排12个停车位置,今有8辆不同的车须要停放,若要求剩余的4个空车位连在一起,则不同的停车方法有(AD)A.Aeq\o\al(9,9)种 B.Aeq\o\al(9,9)Aeq\o\al(4,4)种C.8Aeq\o\al(8,8)种 D.9Aeq\o\al(8,8)种[解析]将4个空车位视为一个元素,与8辆车共9个元素进行全排列,共有Aeq\o\al(9,9)=9Aeq\o\al(8,8)种.二、填空题7.用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字),要求任何相邻两个数字的奇偶性不同,且1,2相邻,这样的六位数的个数是_40__.[解析]可分为三步来完成这件事:第一步:先将3,5进行排列,共有Aeq\o\al(2,2)种排法;其次步:再将4,6插空排列,共有2Aeq\o\al(2,2)种排法;第三步:将1,2放入3,5,4,6形成的空中,共有Aeq\o\al(1,5)种排法;由分步乘法计数原理得,共有2Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,5)=40种不同的排法.8.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,假如分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是_96__.[解析]先分组后用安排法求解,5张参观券分为4组,其中2个连号的有4种分法,每一种分法中的排列方法有Aeq\o\al(4,4)种,因此共有不同的分法4Aeq\o\al(4,4)=4×24=96(种).9.2024年某地实行博物展,某单位将展出5件艺术作品,其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标记性建筑设计1件,在展台上将这5件作品排成一排,要求2件书法作品必需相邻,2件绘画作品不能相邻,则该单位展出这5件作品不同的方案有_24__种.(用数字作答)[解析]将2件书法作品排列,方法数为2种,然后将其作为1件作品与标记性建筑设计作品共同排列有2种排法,对于其每一种排法,在其形成的3个空位中选2个插入2件绘画作品,故共有不同展出方案:2×2×Aeq\o\al(2,3)=24种.三、解答题10.一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目,要求排出一个节目单.(1)3个舞蹈节目不排在起先和结尾,有多少种排法?(2)前四个节目要有舞蹈节目,有多少种排法?[解析](1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有Aeq\o\al(2,5)种排法,再将剩余的3个演唱节目,3个舞蹈节目排在中间6个位置上有Aeq\o\al(6,6)种排法,故共有不同排法Aeq\o\al(2,5)Aeq\o\al(6,6)=14400种.(2)先不考虑排列要求,有Aeq\o\al(8,8)种排列,其中前四个节目没有舞蹈节目的状况,可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置,然后将剩余四个节目排列在后四个位置,有Aeq\o\al(4,5)Aeq\o\al(4,4)种排法,所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有(Aeq\o\al(8,8)-Aeq\o\al(4,5)Aeq\o\al(4,4))=37440种.11.从数字0,1,3,5,7中取出不同的三个数作系数,可以组成多少个不同的一元二次方程ax2+bx+c=0?其中有实根的方程有多少个?[解析]先考虑组成一元二次方程的问题.首先确定a,只能从1,3,5,7中选一个,有Aeq\o\al(1,4)种,然后从余下的四个数中任选两个作b,c,有Aeq\o\al(2,4)种,又0,1,3,5,7并无公因数,故由分步乘法计数原理知,组成的一元二次方程共Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,4)=48(个).方程ax2+bx+c=0(a≠0)要有实根,必需满意Δ=b2-4ac≥0.分类探讨如下:当c=0时,a,b可以从1,3,5,7中任取两个,一元二次方程有Aeq\o\al(2,4)个;当c≠0时,分析判别式知b只能取5,7中的一个.当b取5时,a,c只能取1,3这两个数,一元二次方程有Aeq\o\al(2,2)个;当b取7时,a,c可取1,3或1,5这两组数,一元二次方程有2Aeq\o\al(2,2)个.此时共有(Aeq\o\al(2,2)+2Aeq\o\al(2,2))个一元二次方程.由分类加法计数原理知,有实根的一元二次方程共有Aeq\o\al(2,4)+Aeq\o\al(2,2)+2Aeq\o\al(2,2)=18(个).B组·素养提升一、选择题1.某地为了迎接2024年运动会,某大楼安装了5个彩灯,它们闪亮的依次不固定.每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同,记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪耀.在每个闪耀中,每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪耀的时间间隔均为5秒.假如要实现全部不同的闪耀,那么须要的时间至少是(C)A.1205秒 B.1200秒C.1195秒 D.1190秒[解析]由题意每次闪耀共5秒,全部不同的闪耀为Aeq\o\al(5,5)个,相邻两个闪耀的时间间隔为5秒,因此须要的时间至少是5Aeq\o\al(5,5)+(Aeq\o\al(5,5)-1)×5=1195秒.2.有4本不同的书A、B、C、D,要分给三个同学,每个同学至少分一本,书A、B不能分给同一人,则这样的分法共有(C)A.18种 B.24种C.30种 D.36种[解析]4本不同的书分给三个同学,共有6Aeq\o\al(3,3)=36,书A、B分给同一人有Aeq\o\al(3,3)=6,所以共有36-6=30种,故选C.3.把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有(B)A.48 B.36C.30 D.24[解析]将A,B捆绑在一起,有Aeq\o\al(2,2)种摆法,再将它们与其他3件产品全排列,有Aeq\o\al(4,4)种摆法,共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)种摆法,而A,B,C3件产品在一起,且A,B相邻,A,C相邻时有2种状况,将这3件产品与剩下2件产品全排列,有2Aeq\o\al(3,3)种摆法.故A,B相邻,A,C不相邻的摆法有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)-2Aeq\o\al(3,3)=36(种).4.用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的6位数,其中个位数字小于十位数字的六位数共有(A)A.300个 B.464个C.600个 D.720个[解析]方法1:确定最高位有Aeq\o\al(1,5)种不同方法.确定万位、千位、百位,从剩下的5个数字中取3个排列,共有Aeq\o\al(3,5)种不同的方法,剩下两个数字,把大的排在十位上即可,由分步乘法计数原理知,共有Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(3,5)=300(个).方法2:由于个位数字大于十位数字与个位数字小于十位数字的应各占一半,故有eq\f(1,2)Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(5,5)=300(个).二、填空题5.6人站成一排,甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为_576__.[解析]“不能都站在一起”与“都站在一起”是对立事务,由间接法可得Aeq\o\al(6,6)-Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)=576.6.如图是一个正方体纸盒的绽开图,若把1,2,3,4,5,6分别填入小正方形后,按虚线折成正方体,则所得到的正方体相对面上的两个数的和都相等的概率是_eq\f(1,15)__.[解析]6个数随意填入6个小正方形中有Aeq\o\al(6,6)=720种方法;将6个数分三组(1,6),(2,5),(3,4),每组中的两个数填入一对面中,共有不同填法Aeq\o\al(3,3)×2×2×2=48种,故所求概率P=eq\f(48,720)=eq\f(1,15).三、解答题7.用0、1、2、3、4五个数字:(1)可组成多少个五位数;(2)可组成多少个无重复数字的五位数;(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数;(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数.[解析](1)各个数位上的数字允许重复,故由分步乘法计数原理知,共有4×5×5×5×5=2500(个).(2)方法1:先排万位,从1,2,3,4中任取一个有Aeq\o\al(1,4)种填法,其余四个位置四个数字共有Aeq\o\al(4,4)种,故共有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)=96(个).方法2:先排0,从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入有Aeq\o\al(1,4)种方法,其余四个数字全排有Aeq\o\al(4,4)种方法,故共有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)=96(个).(3)构成3的倍数的三位数,各个位上数字之和是3的倍数,按取0和不取0分类:①取0,从1和4中取一个数,再取2进行排,先填百位Aeq\o\al(1,2),其余任排有Aeq\o\al(2,2),故有2Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,2)种.②不取0,则只能取3,从1或4中再任取一个,再取2然后进行全排为2Aeq\o\al(3,3),所以共有2Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)+2Aeq\o\al(3,3)=8+12=20(个).(4)考虑特别位置个位和万位,先填个位,从1、3中选一个填入个位有Aeq\o\al(1,2)种填法,然后从剩余3个非0数中选一个填入万位,有Aeq\o\al(1,3)种填法,包含0在内还有3个数在中间三位置上全排列,排列数为Aeq\o\al(3,3),故共有Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,3)=36(个).8.4名男同学和3名女同学站成一排.(1)7名同学中,甲、乙、丙排序肯定(只考虑位置的前后依次),有多少种不同的排法?(2)甲不在最左端,乙不在最右端,有多少种不同的排法?(3)7名同学中,甲乙两名同学之间必需恰有3名同学,有多少种不同的排法?(4)7名同学中,甲、乙两名同学相邻,但都不与丙相邻,有多少种不同的排法?(5)女同学从左到右按从高到矮的依次排,有多少种不同的排法?(3名女生身高互不相等)[解析](1)7名同学的全部排法有Aeq\o\al(7,7)种,其中甲、乙、丙的排序有Aeq\o\al(3,3)种,所以甲、乙、丙排序肯定的排法有eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(3,3))=840(种).(2)方法1:甲不在最左端,按甲的排法分类:若甲在最右端,则有Aeq\o\al(6,6)种排法;若甲不在最右端,则甲有Aeq\o\al(1,5)种排法,乙有Aeq\o\al(1,5)种排法,其余同学有Aeq\o\al(5,5)种排法.综上,不同的排法共有Aeq\o\al(6,6)+Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)==3720(种).方法2:在排列时,先不考虑甲、乙站位的要求,有Aeq\o\al(7,7)种站
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